М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Мы будем часто обращаться к этому представлению из соображений наглядности. Упражнение 4.1. В упр. 2.11 вы вычислили собственные векторы матриц Паули. Найдите точки на сфере Блоха, соответствующие нормализованным собственным векторам различных матриц Паули. Пухем взятия экспоненты из матриц Паули получают три важных класса унитарных матриц — сперап»орм поворота относительно осей й, у и 2, задаваемые следующими формулами: 226 Глава 4. Квантовые схемы 'Упражнение 4.2. Пусть х — действительное число и А — такая матрица, что Ав = 1.
Покажите, что ехр(1Ах) = сов(х)1+ 1в1п(х)А. (4.7) С помощью этого соотношения проверьте формулы (4.4)-(4.6). "Упражнение 4.3. Покажите, что с точностью до общей фазы элемент з/8 удовлетворяет условию Т = В,(я/4). 'Упражнение 4.4. Представьте оператор Адамара Н в виде произведения поворота операторов Вв и В, и общего фазового множителя е'"' для некоторого действительного ~р. Если й = (п„пюп,) — вещественный трехмерный единичный вектор, то можно обобщить предыдущие определения и определить поворот на угол О вокруг оси й по формуле Вв(О) = ехр(-1Ой О/2) = сов ( -) 1 — 1в1п ~ — ) (пвХ+ пвУ+ п,Я), (4.8) 1,2) 1 2) где д — трехкомпонентный вектор (Х, У, Я) матриц Паули. Упражнение 4.5.
Докажите, что (й о.)в = 1, и проверьте с помощью этого равенства формулу (4.8). Упражнение 4.6 (интерпретация поворотов на сфере Блоха). Одна из причин того, что операторы Ва(О) называют операторами поворота, состоит в следующем факте, который вы должны доказать. Предположим, кубвт находится в состоянии, представленном блоховским вектором Л. Тогда оператор Ва(О) поворачивает это состояние на блоховской сфере на угол О относительно оси й .
Это обьясняет, откуда берется загадочный множитель 1/2 в определении матриц поворота. Упражнение 4.7. Покажите, что ХУХ = — У, и выведите отсюда уравнение ХВ„(О)Х = В„( — О). 'Упражнение 4.8. Произвольный унитарный оператор, действующий на кубитах, можно записать в виде (4.9) Н = ехр(1а)Ва(О) для некоторых вещественных чисел а и О и вещественного трехмерного еди- ничного вектора й. 1. Докажите это. 2. Найдите значения о, О и й, при которых получится оператор Адамара Н. 3. Найдите значения а, О и й, при которых получится оператор сдвига фазы 4.2. Операции на одном кубите 227 Произвольный унитарный оператор, действующий на одном кубите, можно представить многими способами в виде композиции поворотов и общего фазового сдвига. Следующая теорема дает такое представление, которое будет особенно полезно в дальнейшем при изучении условных операций. Теорема 4.1 (л — У - разложение для одного кубита).
Пусть У вЂ” унитарная операция на одном кубите. Тогда существуют такие действительные числа а, 11, 7 и б, что справедливо уравнение У = е' ВВ(р)В (7)В,(6). (4.11) Д оггазатеАВьспгво. Ввиду унитарности У строки и столбцы матрицы У ортонормальны, откуда следует наличие таких действительных чисел сВ, ~3, 7 и 6, что е'144 4г1'г э7г1 сов з — е'144 Ач1'г+з1'г1 в1п А 1 ец +4г7г гА'г1 з1п А ец +4г7г+г4'г> соз А' (4.12) щп г соз г Уравнение (4.11) непосредственно вытекает из определения матриц поворота и правила умножения матриц, Упражнение 4.9.
Объясните, почему любая операция на одном кубите мо- жет быть записана в виде (4.12). 'Упражнение 4.10 (Х вЂ” 1х - разложение поворотов). Постройте разложе- ние, аналогичное данному в теореме 4.1, используя В вместо В,. Упражнение 4.11. Пусть т и й — непараллельные единичные вещественные трехмерные векторы. Покажите, что любая унитарная операция У на одном кубите может быть записана в виде (4.13) и=с' Ва(А)Вь(7г)Ва(А)Вьюг)" при соответствующих значениях а, )Вь и уь. Теорема 4.1 полезна благодаря своему загадочному на первый взгляд следствию, которое, как будет ясно из следующего подраздела, является ключом к построению условных операций на нескольких кубитах: Следствие 4.2 Пусть У вЂ” унитарный элемент, действующий на одном кубите. Тогда существуют такие унитарные операторы А, В и С, действующие на одном кубите, что АВС = Х и с4' = еатАХВХС, где еьа — фазовый множитель.
Доказательство. В соответствии с обозначениями теоремы 4.1 положим А ы ВЩВ Я2), В ы В ( — у/2)В,( — (4+ 49)/2) и С хл В,((Б — 4б)/2). Заметим, что АВС-ЯЯВ)Я, (-) 44„( — ) Я. (- ) Я. ( ) =1. 44.14) Используя упр. 4.7 и принимая во внимание равенство Хг = Т, получим уравнение ХВХ-ХВ,( — )ХХаВ(-'+ )Х=В„(Х)я,('" ). (414) 228 Глава 4.
Квантовые схемы Тогда имеем АхВхс=я ФВ (-)В (т)я ( — )я,( — ) (444) = НВР)Н (у)НВ(б). Отсюда У = е' АХВХС, что и требовалось доказать. (4.17) -~Н~-,АА [ 4 [1 4~ Рис. 4.2. Наввания, условные обоаначения и унитарные матрицы наиболее распространенных влементов, действующих на одном хубите 'Упражнение 4.12. Укажите А, В, С и ся для элемента Адамара.
Упражнение 4.13 (тождества для схем). Полезно уметь упрощать схемы «с первого взгляда» с использованием тождеств для операторов. Докажите три следующих тождества: НХН=г; Н1 Н=-1', НХН=Х. (4.18) 'Упражнение 4.14. С помощью предыдущего упражнения покажите, что, с точностью до общего фазового множителя НТН = Н,(я/4). Упражнение 4.15 (композиции операций на одном кубите). Блоков- ское представление дает хороший способ увидеть, как действует композиция поворотов. 1. Покажите, что если сначала мы делаем поворот на угол )11 относительно оси йп а затем — поворот на угол ~32 относительно оси йю то в композиции получим поворот на угол Дг относительно оси йпь где (4.19) (4.20) сю = своз — В1взй1 ° йю яюйгэ = я1сзй1 + с4язйт — ЯАвзйз х йп пРичем с; = сое(8»/2), з; = е1п(Д/2), сю = соэ()8ю/2) и Яю = е»п(Дг/2). Элемент Адамара Элемент Паули Х Элемент Паули У Элемент Паули ю Фазовый элемент Элемент я/8 0 1 1 0 Π— 1 1 0 1 0 0 — 1 4.3.
Условные операции 229 2. Покажите, что если Д = Вг и йг = в, то уравнения принимают более простой вид стг =с — з й йг, г гзггйгг = зс(г+ йг) — з йг х г, г- (4.21) (4.22) где с лл с1 и з = зп Обозначения для наиболее распространенных элементов, действующих на одном кубите, приведены на рис. 4.2. Напомним основные правила для изображения квантовых схем: время течет слева направо, провода обозначают кубиты, а провод, перечеркнутый символом «/» — набор кубитов.
Рис. 4.3. Условное обозначение элемента спот. Верхний отрезок изображает управляющий кубит, нижний — управляемый Б терминах вычислительного базиса действие элемента скот задается формулой )с))$) — » )с))$ Ю с); иными словами, если управляющий кубит установлен в единицу, то значение управляемого кубита меняется на противоположное, в противном случае управляемый кубит не изменяется. Таким образом, в вычислительном базисе ~управляющий, управляемый) матричное представление элемента скот имеет ввд 1 О О О О 1 О О О О О 1 О О 1 О (4.23) Более общим образом, предположим, что У вЂ” произвольнаи унитарная операция на одном кубите, Тогда управляемое У вЂ” это операция на двух кубитах, по-прежнему с управляющим и управляемым кубитами.
Если управляющий 4.3,у'словные операции «Если А истинно, сделай В» — условные операции такого типа 8 часто используются в вычислениях как классических, так и квантовых. Б этом подразделе будет объяснено, как можно реализовать сложные условные операции с помощью квантовых схем, построенных из простых элементов. Простейшая и типичная условная операция — "управляемое нстн (см.
подразд. 1.2.1). Напомним, что этот элемент, который мы будем обозначать как снст, есть квантовый элемент с двумя входными кубитами, называемыми соответственно управллюгцим и управляемым (рис. 4.3). 230 Глава 4. Квантовые схемы кубит установлен в единицу, то к управляемому кубиту применяется операция У, в противном случае управляемый кубит не меняется; иными словами, (с)(Ф) ч ~с)Усф. Графическое изображение элемента «управляемое У» показано на рис. 4.4. Рис.
4.4. Операция «управляемое У» Верхний отреэок иэображвет управляюЩий кубит, нижний — управляемый Если управляющий кубит установлен в единицу, то к управляемому кубиту применяется операция У, в противном случае управляемый кубит не меняется Упражнение 4.16 (матричное представление элементов, действующих на нескольких кубитах). Как выглядит унитарная матрица 4 х 4, соответствующая (в вычислительном базисе) нижеприведенной схеме хт А какова унитарная матрица для следующей схемы? Упражнение 4.17 (построение сыот из управляемых Я-элементов). Постройте скот из одного элемента «управляемый Я» (т. е.
элемента, записывающегося в вычислительном базисе матрицей 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 и двух элементов Адамара; укажите, какой кубит будет управляющим, а какой — управляемым. Упражнение 4.18. Докажите, что 'Упражнение 4.19 (действие смот на матрицах плотности). Элемент Оиот действует как перестановка базисных векторов, так что его действие на матрице плотности р сводится к перестановке матричных элементов.
Выпишите это действие в явном виде (в вычислительном базисе). 4.3. Условные операции 231 Упражнение 4.20 (сыот в измененном базисе). В отличие от классических элементов идеальные квантовые элемейты не имеют, как сказал бы инженер-электрик, «входов с высоким импедансом». Действительно, выбор «управляющего» и «управляемого» кубитов произволен и зависит от того, в каком базисе действует оператор. Мы описали действие скот в вычислительном базисе, и в этом базисе значение управляющего кубита действительно не изменяется. Если, однако, сменить базис, то значение управляющего кубита изменяется: покажем, что в некотором базисе его фаза переворачивается в зависимости от состояния рщиеддемого кубита! Докажите справедливость утверждения 1 Выберите в качестве базисных состояний 1~) ьз (!0) ~ 11))/~/2 и покажите с помощью изображенного на рисунке тождества, что скот, у которого первый кубит считается управляющим, а второй — управляемым, действует следующим образом: !+>!+> 1+>!+> ! — )!+> 1->!+> !+>1-> 1-)1-) 1->1-> - !+)1-) (4.24) (4.25) (4,26) (4.27) В этом новом базисе состояние управляемого кубита остается, тогда как со- стояние управляющего кубита изменяется, если управляемый кубит находится в состоянии ! — ), и -не изменяется в противном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
