М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 187
Текст из файла (страница 187)
(П6.26) Используя коммутационные соотношения О = [В1,Л2] = [$1,$2] = [ТмТг], обнаруживаем, что для и ьз (р+ 11)/2 выполняется неравенство ЛиВ1-и > У$1-и + ТиТ1-и (П6.27) Следовательно, если 11 и Л принадлежат множеству 1, то и (д + 11)/2 также принадлежит этому множеству. Поскольку О н 1 принадлежат 1, легко видеть, что любое число от О до 1, представимое в виде конечной двоичной дроби, лежит в множестве 1. Поэтому множество 1 всюду плотно на отрезке [О, 1]. Для завершения доказательства остается заметить, что выражения, входящие в формулу (П6.8), являются непрерывными функциями переменной 1.
° Доказательство теоремы Либа заключается в простом применении леммы П6.2. Ключевая идея состоит в выборе в качестве операторов в Лемме П6.2 с1Л1ероператорое — линейных отображений операторов. Это следует сделать так, чтобы они были неотрицательно определенными относительного скалярного произведения (А, В) ьз Фг(А1В). ,1(окала«пельс«пво (теоремы Либа).
Пусть 0 < Л < 1. Определим суперо- ператоры Вм 8ю 7ы 7ю Я ы Ез сле дующим образом: Заметим, что операторы Я1 и Вз коммутируют (также коммутируют пары 71 и Тю Е1 и Кз). Согласно упр. П6.8, все эти операторы являются неотрицатель- но определенными в смысле скалярного произведения Гильберта — Шмидта. Со- гласно лемме П6.2, справедливо неравенство (П6.34) Возьмем след от его обеих частей: 1г (Х1(ЛА1+ (1 Л)Аз)«Х(ЛВ1 + (1 Л)вз)1-с1 > «г ~Х1(ЛА1)~Х(ЛВ1)1-с~ + фг [Х1((1 Л)Аз) Х((1 Л)вз)~-с~ (П6 35) = Л 1г(Х1А', ХВ,' ') + (1 — Л) 1г(Х1А~ХВ' '), (П6.36) История и дополнительная литература Теорема Либа связана с доказательством неравенства о сильной субе,пдитивно- сти для квантовой энтропии; книги об истории данного вопроса перечислены в равд.
«История и дополнительная литератураь гл. 11. 784 Приложение 6. Докезательство теоремы Либа г (х) = — ЛА х, В (х) = лхв, 7~(Х) = (1 — Л)Азх, 7з(Х) = (1 — Л)ХВ, я. (х) = В (х) + 71(х), Яз(Х) ы Вз(Х) + 7з(Х). т. е. мы доказали утверждение о совместной вогнутости. (П6.28) (П6.29) (П6.30) (П6.31) (П6.32) (П6.33) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Ссылки, обозначенные как "атХ!че е-рт!и! диап1-рЬ/хвххзхх", доступны по ад- ресу в Интернете Ьсхр: //иии. атХ1ч. огд. )1) !Л.
АЬагопоч аль М, Веп-Ог. Раи!1 Фо1егвлФ сотри1а$!оп ш!ФЬ сопяяапя еггог. 1п Ртосее41пдз ол йе Тшеп!у-Лз1п!Ь Аппиа1 АСМ Яутпроз1итп оп йе ТЬеот у оЛ' СотриВпд, радев 176-188, 1997. [2) 1Л. АЬагопоч аль М.Веп-Ог. Раи!Г-во1егялФ с!иапяшп сотри1а1!оп чт!яЬ сопвяялФ еггог га!е. ЯЛАМ Л.
Сотар., раде яо арреяг, 1999. атХ1че е-рпп! диан!-рЬ/9906129. [3) 1Л. АЬагопоч, М. Веп-Ог, В. 1шрад1!аххо, апс1 Ы. Ы!вап. Ьпп!1ая!опв о! по!ву гечегя1Ые сотри$ая!оп. атХте е-рпп! дива!-рЬ/дбПО2В, 1996. [4] Ь. А61етап, Л. Ветягга!я, апг1. М.
А. Ниялд. 14иапйшп согарисаЫ!!Фу. ЯЛАМ Л. Сотар., 26(5): 1524-1540, 1997. )5] Ьеопагс1 М. Ас1!етап. Мо1еси1аг согпри!а1!оп оГ яо!и1!опв !о сотЫпаяог!а! ргоЫешв. Яс1епсе; 266: 1021, 1994. [6] 1еопяп1 М. Ад!ешап. Сошрис!пд ш!ФЬ ВЫА. Ясд Ага., 279: 54-61, Аид. 1998. [7) Ь. А1!еп апб Л.Н. ЕЪег!у. Орйса! Еевопапсе апб Тшо-1ече! А!отав. 1Лочег, Ыеш г'огас, 1975. [8] В. АЬагопоч.
№1ву 1Лиап!итп Сопврига!гоп. РЬ. !Л. ФЬев!в, ТЬе НеЬгеш 1)п!четв!1у, Легива!еш, 1999. )9] !Л. АЬагопоч. !ЛиапФшп сошрияая!оп. 1п В. Бяки!гег, ед!1ог, Аппиа1 Ееч!ешв оЛ Сотри!а!!она! РЬуз1сз У1. Мог!6 8с!епя!6с, 81пдароге, 1999. [10] 1Л. АЬагопоч, А. ККаеч, аль Ы.
Ы!вап. 1]иялтшп с1гсш!в ш!сЬ пшсег! ввавев. ЯТОС 1997, 1998. атХ1че е-рпп! диан!-рЬ/дВОВО29. [11] Н. Ага!г! апс1 Е. Н. 1 !еЬ. Епвгору !пег!иаИ!ея. Сотит. Ма!Ь. РЬуз., 18: 160- 170, 1970. )12] В. 8. АЬгашв апд Б. Ыоус1. 8!ши1аг!оп о1 шалу-Ьобу Регпц яув!ешв оп а г!иапсшп сотриФег. РЬув. Ееч. Ее!!., 79(13): 2586-2589, 1997. атХ!яе ерпп! диан!-рЬ/9702054. [13] А. АяЬВтЬппп апг! Б.
! уяв!и. 1Лррег Ьоипбв оп !Ье я!хе о1 г!ияляшп собев. 1ЕЕЕ Ттапв. Лп1. ТЬеоту, 45(4): 1206 †12, 1999. [14] Р. М. А1Ьегя1. А поте оп $Ье $гапв!1!оп-ргоЬаЫ1!су очег с-* а1деЪгав. Лей ж Май. РЬуз., 7(1): 25-32, 1983. [15) Апс1пя АшЬмпЬи !Лиан!шп 1ошег Ьоипбв Ъу циапяиш агдишептв. атХгае е-рпп! диан!-рЬ/0002066, 2000. [16] Т. Апс1о. Сопсач!Фу о1 сегсяЛп шаря оп роя!я!че бейл!яе шабат!сея аль арр!!сая!опв Фо Надашагб ргоаисСв. Е!пеат А1деута Арр1., 26: 203-241, 1979. 790 Список литературы [84[ Р. В. СЬегпой. )с)оСе оп ргойпсС 1огпш)ав Гог орегаСог веш)8гопрз.
в'. Риис)соиа) Аиа)увсз, 2: 238-242, 1968. [85] М.-В. СЬо!. Сотр1еСе1у ровИ1че 1)пеаг спарв оп согпр1ех таСпсез. виват А)деЬта аий 1)в А рр)сса)соив, 10: 285-290, 1975. [86) Л. Г. С1аивег, М. А. Ноте, А. ЯЬппопу, апй В. А. НоВ. Ргоровей ехрептепС Со СезС )оса1 Ыййеп-маг)аЫе СЬеог1ев. РЬув. Ееи. Ее)С., 49: 1804-1807, 1969. ]87] А. СЬшсЬ. Ап пиво)маЫе ргоЫет оГ е1етепСагу пшпЬег СЬеогу. Ат. Х Ма)Ь. (тергси)ей си (11Щ, 58: 345, 1936. ]88) 1. Св)ззйг апс1 Л.
Когпег. 1и(оттпа)сои ТЬеогус Сойсид ТЬеогетз (от Р)веге)е Метоту)езв Яуз)ета Асайепйс Ргевв, )с)еис Уота, 1981. [89] ААЬ Са!йе!га апй А.3. Ье88еСС. с4папспш СпппеПш8 )п а й)вв)раС)че вувсет. Аии. РЬуз., 149(2): 374-456, 1983. [90] М. С)апвеп. Рязс 8епега1)вес1 Рош)ег Сгалв1оппв. ТЬеот. Сотрид Ясд, 67: 55-63, 1989. (91] В. С)еие. ТЬе с)пегу сотр1ехВу о! огйег-йасин)п8. атХсие е-раис диаиС- рЬ/9911Щ, 1999. (92] Т. Н. Соппеп, С. Е. Ье)вегяоп, апй В. Ь. Шчеяс. 1и)тойис)сои Со А)допСЬтлв.
М1Т Ргевв, СвзпЬгЫ8е, Мазе., 1990. [93] С. СасЫп влй 1). М. Мапгег. оп)йп8 шГоппаС)оп гесопс)ЬаС)оп апс1 рг!ссасу атр))6саС)оп.,Ь Сгурсо)оду, 10: 97-110, 1997. [94] 1. 1. С1шзл8 апс1 П. Мос1Ьа. Вечегв)Ые яг)СЬшеС!с сей)п8 1ог с)пялсшп йаСа сотргеяяюп. 1ЕЕЕ 7)пиз. 1и1. Тйеоту, 46(3): 1104, Мау 2000. ]95] О. С.
Соту, %. Мазе, М. Рпсе, Е. Кш!1, В. 1 айатте, ЪЧ. Н. Еше1с, Т.Р. Нее), злй Я.Я. Яоспвгоо. ЕхрегппепСв1 с)папсшп еггог соггесС)оп. атХсие е-рпиг диаи1 рЬ/9802018, 1998. )96) 1.1. СЬпвл8 апс1 М. А. Ы)е!зеп. Ргевсг)рСюп 1ог ехрегппепСа1 йеСегпппаСюп о1СЬе с1упаппсв оЕа с)пзлСшп Ыас1с Ьох. Х Мой. Ор)., 44(11-12): 2455-2467, 1997.
атХ)ие е-рпис диаиС-рЬ/9610001. [97) Л. Н. Сопзтау. 11пргей!ссаЫе!СегаС)опв. 1п Ргосеейсидв о(Осе А)итог ТЬеоту Сои1етеисе, ра8ев 49-52, ВопЫег, Со)огайо, 1972. [98] Л.Н. Сописау. РгасСгап: а вппр)е пп)ссегва) рго8гапшпп8 )ап8па8е. 1п Т.М. Сочег апс1 В. Сор)паСЬ, ей)Сося, Орви Ргоу)етпз )и Соттии)са)сои аий Сотри)а))ои, радев 4-26, Ярг)п8ег-Чег)а8, )с)ест Уог)с, 1986. [99) Я.А. Соо)с.
ТЬе сотр1ехВу о1 СЬеогет-ргосйп8 ргосейпгев. 1п Ртос. Ютй Аии. АСМ Яутр. ои ТЬеоту о1 Сотри)сид, ра8ев 151-158, АвяоссаСюп Гог СотрпС)п8 МасЬшегу, Ыеи Уог)с, 1971. [100] О. СоррегвпйСЬ. Ап арргохппасе Ропг)ег Сгапвйпп ияе1п) т с)папСшп !ассопп8. 1ВМ ЕевеатсЬ Еерогс ЕО 10642, 1994. [10Ц 3.1. С)гас, Т. Ре)!)ввяг), апс! Р. Ео!)ег.
ЕпГогс)п8 соЬегепС ечо)пС!оп ш й)вв)раС)ие с)папСшп йупапйсв. Яссеисе, 273: 1207, 1996. [102] А.В. Са)йегЪвзйс, Е.М. Ва)пв, Р.ЧУ. ЯЬог, апй И.Л.А. Я)сапе. );[папСшп еггог соггесС)оп апс! огСЬо8опа) ЯеотеСгу. РЬув. Лес. 1еСС., 78: 405-8, 1997. 794 Список литературы [162] М.В.. Свхеу алй ?Л. Я. ЛоЬпвоп. Сотри1егв апй Лп!пссссб!!сду. ЪЧ. Н. Ргеегаап апс1 Сатрапу, ?с?еис "г"огас, 1979. [163] Н.
В. Сг!шсйв апс1 С.-Я. ?с?!и. Яеппс1мв1са! Роиг!ег сгялв?опп ?ог с?иапФиш сошрпсаФ!оп. Рбув. Веи. Лей., 76(17): 3228-3231, 1996. атХ?те е-рпп! диапб-рй/951 1007. [164] Л. Р. Согйоп. Ь?о1ве аС ор1!са? ?тес!пепе!ев; !п?оппас!оп сйеогу. 1п Р. А. М11ев, еИог. ?Лиап!ит Е!есстопссв апй Сойетеп! Идй! Ргосеес11пдв о? сйе ?п1егпаФ!опа? БсЬоо1 о? РЬув!св 'Епг!со Вепш' ХХХ?, Асайепйс Ргевв, ?деус г'ог?с, 1964. [165) О. Соссеяшап. С1мя о? с?иапФшп еггог-соггесс1пд сойев васпгас!пд 1Ье с?иапФшп Напппшд Ьоипй. Рйуа Веи. А, 54: 1862, 1996. [166) Р, Соссевшап. Я!абс!свет Сойев апй ?Лиап!ит Еттот Согтес!!оп. РЬ.
?Л. сйев!я, Са1Ногша ?пяди!си$е о? ТесЬпо1оду, Рмайепа, СА, 1997. [167] П. Согсеяшал. Раи?с-Со!егапс с?иап$шп сошриса$!оп ийсЬ ?йдЬегй!шепа!опа? вувсешя. агХсие е-рпп! диапб-рй/9602007, 1998. [168) ?Л. Со1сеяшап. ТЬеогу о??ап!С-со!егап1 с?иапсшп сошрпса1!оп. Рйув. Веи. А, 57(1): 127-137, 1998. агХсие е-рпп! диапйрй/9702029.
[169) Э. Соссеапап ялй Л. РгевЫ!!. ТЬе ННсЬВхег'в диЫе $о ФЬе ФЬгевйо!й 1Ьеогеш. Е!сгааПу сп ртератаВоп, 1: 1-9120, 2010. [170] ?. Сгоиег. ?и Ртос. 2дс" Аппиа! АСМ Яутровсит оп бйе Тйеогу о? Сотри!а!соп, радев 212-219, АСМ Ргевв, Ь?еси гог?с, 1996. [171) Ь.К. Сгоиег. Опвл1шп шесЬашсв Ье!ря ш веагсЬшд Гог а пеей!е 1п а Ьауясас?с. Рйув. Веи. ?е!!., 79(2): 325, 1997. атХсис е-ртт! диапр рй/9706022. [172] Л. Стая?са.
Яиап!ит СотприВпд. МсСгаи-Н111, ? опйоп, 1999. [173] С.Н. Сг!шшес1 апй Р.Н. 81!гга!сег. Ртобабс!сду апй Вапйот Ртосеввее. С1агепс1оп Ргеяв, Ох?огс1, 1992. [174] В..Л. НпдЬм, О. М. АЫе, Р.?)уег, С. С. ? псйег, С. Ь. Могдап, влс1 М. БсЬапег. ??пялсшп игур!одгарйу. Соп!етр. Рйув., 36(3): 149-163, 1995. атХ?ие е-рг!и! диап!рй/9504002. [175] Р.В. НаЬпов.
Есть-йстепв!опа! ?тес!от Ярасез. Чял ?довФгапй, Рг!псеФоп, '?с?. Л., 1958. [176] М. НвлппеппевЬ. Стоир Тйсогу апй !!в Арр!?саИоп !о Рйувсссй РтоЫетв. ?Лоиег, Ь?есч "г'огас, 1989. [177) Л. ?. Неппеввеу, Р. Со1йЬегд, апс? ?1.А. Рассегвоп. Сотригет Атсйсуесгитес А СЛиапйдаНие Арртоасй. Асайепйс Ргевв, ?сесч Уаттс, 1996. [178) М. НогойесЫ, Р. Ногос1есЫ, апй Н. НогойесЫ. БерагаЫ!Иу о? ппхей вФасея: песевяяху апй вп?5с?епФ сопЖ1опв. Рйув. 5е!Ь А, 223(1-2): 1-8, 1996.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
