Лекции А.В. Дмитрука (1156122), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñíà÷àëà áîëåå ïðîñòîéôóíêöèîíàë I : L∞ (∆) → IR,ZTI(u) =Φ(t, u) dt,0ãäå ôóíêöèÿ Φ íåïðåðûâíà ïî (t, u) ∈ ∆ × U è âûïóêëà ïî u.Òåîðåìà 2.ò.å. åñëè unI ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó íà U îòíîñèòåëüíî ñëàáîé-* ñõîäèìîñòè,−→ û, òîlim I(un ) ≥ I(û).ñë.−∗nÇäåñü íàì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå äâà ôàêòà.Ëåììà 3.
Ïóñòü un ∈ U è ||un − û||1 → 0. Òîãäà I(un ) → I(û), ò.å. I íåïðåðûâåí íà U îòíîñèòåëüíî ñõîäèìîñòè ïî íîðìå L1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñõîäèìîñòè un (t) → û(t) ïî íîðìå L1 âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå: ∀ δ > 0mes {t : |un (t) − û(t)| ≥ δ} → 0. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà èΦ(t, un (t)) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê Φ(t, û(t)), ò.å. ∀ ε > 0mes {t : |Φ(t, un (t)) − Φ(t, û(t))| ≥ ε} → 0.Èç íåïðåðûâíîñòè Φ ïî (t, u) âûòåêàåò, ÷òî ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 òàêîå, ÷òî èçíåðàâåíñòâà |u0 − u00 | < δ ñëåäóåò, ÷òî ∀ t |Φ(t, u0 ) − Φ(t, u00 )| < ε. Ïîýòîìó äëÿäàííûõ ε, δ{t : |Φ(t, un (t)) − Φ(t, û(t))| ≥ ε} ⊂ {t : |un (t) − û(t)| ≥ δ}.Òàê êàê ìåðà ïðàâîãî ìíîæåñòâà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî è ìåðà ëåâîãî òàêæå ñòðåìèòñÿê íóëþ.Òàê êàê ôóíêöèè Φ(t, un (t)) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû (îïÿòü â ñèëó íåïðåðûâíîñòè Φ), òî èç èõ ñõîäèìîñòè ïî ìåðå ê Φ(t, û(t)) âûòåêàåò è ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâîò ýòèõ ôóíêöèé. Ëåììà äîêàçàíà.2Òåîðåìà 3 (Ìàçóð).
Ïóñòü â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå V äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un , ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ê û (ò.å. ñõîäÿùèõñÿ íà êàæäîì ëèíåéíîì ôóíêöèîíàëå l ∈ V ∗ ). Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íûõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèéýëåìåíòîâ un , ñõîäÿùèõñÿ ê û ïî íîðìå, ò.å. ∀ n ñóùåñòâóåò ýëåìåíòvn =mnXαn(i) ui ,ãäå αn(i) ≥ 0,i=1mnXαn(i) = 1,i=1òàêîé ÷òî vn =⇒ û.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Ω = {un , n = 1, 2 . . . .}, è ïóñòü Q åñòü åãî âûïóêëàÿçàìêíóòàÿ îáîëî÷êà (ò.å. çàìûêàíèå ìíîæåñòâà âñåõ êîíå÷íûõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèéýëåìåíòîâ èç Ω ). Òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî û ∈ Q.6Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòî íå òàê, òî ïî òåîðåìå ÕàíàÁàíàõà íàéäåòñÿ ëèíåéíûéôóíêöèîíàë l ∈ V ∗ , ñòðîãî îòäåëÿþùèé òî÷êó û îò Q : ïðè íåêîòîðîì δ > 0(l, û) ≥ (l, Q) + δ.Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî un ∈ Q è (l, un ) → (l, û).2Òåïåðü ìû ìîæåì äàòü−∗Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un ∈ L∞ , un ñë.−→ û,ò.å. ñõîäèòñÿ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëîâ èç L1 . Òîãäà (âíèìàíèå!) ìîæíî ñ÷èòàòü,ñë.÷òî un ∈ L1 è un −→ û îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëîâ èç L∞ (èáî L∞ ⊂ L1 ).Ïîëîæèì A = lim I(un ). Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî I(û) ≤ A. Áåç íàðóøåíèÿîáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî I(un ) → A. Âîçüìåì ëþáîå ε > 0. Òîãäà ∃ N òàêîå, ÷òî∀ n ≥ N èìååì I(un ) < A + ε.
Ïî òåîðåìå Ìàçóðà ∀ n ≥ N íàéäåòñÿ âûïóêëàÿP n (i)êîìáèíàöèÿ vn = mi=N αn ui òàêàÿ ÷òî ||vn − û||1 → 0. ñèëó âûïóêëîñòè ôóíêöèè Φ ïî u èìååìI(vn ) ≤mnXmnXαn(i) I(ui ) <i=Nαn(i) (A + ε) = A + ε.i=NÏî ëåììå 3 I(vn ) → I(û), è ñëåäîâàòåëüíî, I(û) ≤ A + ε.
Ýòî âûïîëíåíî ∀ ε > 0.Îòñþäà I(û) ≤ A, ÷.ò.ä.2Èç òåîðåìû 2 ëåãêî âûòåêàåò ñëàáàÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó ôóíêöèîíàëàRTñë.−∗J = 0 L(t, x, u) dt. Ïóñòü xn =⇒ x̂, un −→ û. ÒîãäàJ(xn , un ) = (J(xn , un ) − J(x̂, un )) + J(x̂, un ).Ñêîáêà ñïðàâà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, èáî |L(t, xn (t), un (t)) − L(t, x̂(t), un (t))| =⇒ 0 âñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè L. À ïîñëåäíèé ÷ëåí åñòü I(un ) äëÿ ôóíêöèèΦ(t, u) = L(t, x̂(t), u).
Ïî òåîðåìå 2 lim J(x̂, un ) ≥ J(x̂, û), à òîãäà è lim J(xn , un ) ≥J(x̂, û). Äîáàâëåíèå êîíöåâîãî ôóíêöèîíàëà ϕ(x(0), x(T )) íè÷åãî íå ìåíÿåò, òàê êàêîò ïðîñòî íåïðåðûâåí îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè x .Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî â íåêîòîðîé òîïîëîãèè ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ D åñòü êîìïàêò, à ôóíêöèîíàë J ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó.
Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà J äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà íà D. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.27Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿÐàññìîòðåííàÿ çàäà÷à Å, êîíå÷íî, íå îõâàòûâàåò âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Óêàæåì íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ ýòîé çàäà÷è, â êîòîðûõ òàêæåìîæíî óñòàíîâèòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ. Òî÷íûå ôîðìóëèðîâêè è òåì áîëåå äîêàçàòåëüñòâà ìû çäåñü íå ïðèâîäèì.à) Ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ôóíêöèè a(t, x), B(t, x), L(t, x, u) íåïðåðûâíû ïî ñîâîêóïíîñòè ñâîèõ ïåðåìåííûõ, â òîì ÷èñëå ïî t. Âíèìàòåëüíî ïðîñëåæèâàÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îò íåïðåðûâíîñòè ïî t ìîæíî îòêàçàòüñÿ,îñòàâèâ ëèøü èçìåðèìîñòü ïî t è ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå çíà÷åíèé x (èëè x, u ) âñå ýòè ôóíêöèè áûëè ðàâíîñòåïåííî îòíîñèòåëüíî tíåïðåðûâíû ïî x (èëè x, u ), ò.å.
÷òîáû îíè èìåëè îáùèé ∀ t ∈ ∆ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ïî x (èëè x, u ).á) Ìíîæåñòâî U ⊂ IRr ìîæåò çàâèñåòü îò t, ò.å. îãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèåìîæåò èìåòü âèä u(t) ∈ U (t). Çäåñü íàäî òðåáîâàòü, ÷òîáû äëÿ ï.â. t ∈ ∆ ìíîæåñòâîU (t) áûëî âûïóêëûì êîìïàêòîì è ñîäåðæàëîñü â íåêîòîðîì øàðå, íå çàâèñÿùåì îò t,è êðîìå òîãî, ÷òîáû ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå t 7→ U (t) áûëî èçìåðèìûì. (Îäíî èçýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèé: äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G ⊂ IRr ìíîæåñòâî{t : U (t) ∩ G 6= Ø} èçìåðèìî.)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëàáîé-* çàìêíóòîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâà ôóíêöèéU çäåñü íàäî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó îá èçìåðèìîì âûáîðå (ñì. ÈÒ).â) Ìíîæåñòâî U ìîæåò çàâèñåòü òàêæå è îò x, è òîãäà ìû ôàêòè÷åñêè èìååì ñìåøàííîå îãðàíè÷åíèå u(t) ∈ U (t, x(t)). Çäåñü íàäî òðåáîâàòü, ÷òîáû äëÿ ï.â.t ∈ ∆ è äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé x ìíîæåñòâî U (t, x) áûëîðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûì âûïóêëûì êîìïàêòîì, è ÷òîáû ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå(t, x) 7→ U (t, x) èìåëî çàìêíóòûé ãðàôèê (ýòî ýêâèâàëåíòíî åãî ïîëóíåïðåðûâíîñòèñâåðõó).
Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ïàðà (x̂, û) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó îãðàíè÷åíèþ, ò.å. û(t) ∈ U (t, x̂(t)), îïèðàåòñÿ íà ò.í. Q− ñâîéñòâî ×åçàðè, ñîñòîÿùååâ ñëåäóþùåì. Äëÿ ëþáûõ (t, x) è ëþáîãî ε > 0 ïóñòü Qε (t, x) åñòü çàìûêàíèåâûïóêëîé îáîëî÷êè îáúåäèíåíèÿ U (t0 , x0 ) ïî âñåì (t0 , x0 ) èç ε− îêðåñòíîñòè (t, x).TÒîãäàε>0 Qε (t, x) = U (t, x).ã) Óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ẋ = f (t, x, u) ìîæåò áûòü íåëèíåéíîé ïî u. Òîãäà íàäî òðåáîâàòü, ÷òîáû ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñêîðîñòåé f (t, x, U ) ýòîé ñèñòåìû áûëîîãðàíè÷åííûì, à âûïóêëûì è çàìêíóòûì áûëî ìíîæåñòâî ñêîðîñòåé ðàñøèðåííîéñèñòåìû:ẏ = L(t, x, u) + v,ẋ = f (t, x, u),u ∈ U,v ≥ 0.Âûïóêëîñòü ñàìîãî ìíîæåñòâà U íå èãðàåò óæå ðîëè.
Çäåñü íàäî ðàññìàòðèâàòüñõîäèìîñòü òðàåêòîðèé (y(t), x(t)) â ïðîñòðàíñòâå C[0, T ] × C n [0, T ], à äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðåäåëüíîé òðàåêòîðèè â âèäå ðåøåíèÿ óêàçàííîé ñèñòåìû ïðè íåêîòîðûõóïðàâëåíèÿõ u(t), v(t) ïðèìåíÿòü îäèí èç âàðèàíòîâ òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå,íàïðèìåð, ëåììó Ôèëèïïîâà î âêëþ÷åíèè:8ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ(t, u) èçìåðèìà ïî t è íåïðåðûâíà ïî u ∈ U. Òîãäà ëþáàÿèçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ v(t) ∈ ϕ(t, U ) ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîéèçìåðèìîé ôóíêöèè u(t) ∈ U :v(t) = ϕ(t, u(t)) .ä) Çàäà÷è íà íåôèêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè t ∈ [t0 , t1 ] ìîæíî ñâîäèòü íàôèêñèðîâàííûé îòðåçîê ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ íîâîãî âðåìåíè τ ∈ [0, 1] ñëåäóþùèìîáðàçîì:dzdxdt= z,= 0,= z [a(t, x) + B(t, x) u].dτdτdτÎáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî çäåñü z − ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, à íå óïðàâëåíèå, êàê áûëîðàíüøå (ïðè âûâîäå ÏÌ).
Ïðè ýòîì íîâàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà îñòàåòñÿ ëèíåéíîéïî óïðàâëåíèþ. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è íàäî òðåáîâàòü, ÷òîáûíàøëàñü ìèíèìèçèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà êîòîðîé t0 è t1 îãðàíè÷åíû.Òîãäà ïîñëå ñâåäåíèÿ åå íà ôèêñèðîâàííûé îòðåçîê âðåìåíè ïîëó÷èì îãðàíè÷åííîñòüz, è ïðè âûïîëíåíèè òåõ æå óñëîâèé À1À6 ðåøåíèå áóäåò ñóùåñòâîâàòü.å) Ïóñòü â çàäà÷å Å ìíîæåñòâî U − êîìïàêò, íî íå âûïóêëûé.
Çäåñü ìíîæåñòâî óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé U óæå íå áóäåò ñëàáî-* çàìêíóòûì. Ìîæíî ïîêàçàòü,e÷òî åãî ñëàáîå-* çàìûêàíèå ñîñòîèò èç ôóíêöèé u(t) ∈ co U. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Eçàäà÷ó ñ ýòèì ðàñøèðåííûì ìíîæåñòâîì óïðàâëåíèé. Òàê êàê co U − âûïóêëûée ñóùåñòâóåò è äîñòèãàåòñÿêîìïàêò, ïî äîêàçàííîé òåîðåìå 1 ìèíèìóì â çàäà÷å Eíà íåêîòîðîì ïðîöåññå (x̂, û), ãäå û(t) ∈ co U. Êàê îí ñâÿçàí ñ èíôèìóìîì â èñõîäíîé çàäà÷å Å ? Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ïîëíîñòüþ ëèíåéíà:ẋ = A(t)x + B(t)u, à ôàçîâîå îãðàíè÷åíèå (1.5) îòñóòñòâóåò. Ïîñêîëüêó äàííîå óïðàâëåíèå û(t) åñòü ñëàáûé-* ïðåäåë íåêîòîðûõ óïðàâëåíèé un (t) ∈ U, òî íåòðóäíîïîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ôàçîâûå êîìïîíåíòû xn (t) =⇒ x̂(t) (ïðè ñõîäèìîñòèèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé), è áîëåå òîãî, â ñèëó ëèíåéíîñòè ñèñòåìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòüun (t) ∈ U ìîæåò áûòü âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîíöû xn ïðîñòî ñîâïàäàëèñ êîíöàìè äàííîé òðàåêòîðèè x̂.
Òîãäà ïðîöåññû (xn , un ) äîïóñòèìû â çàäà÷å Å,elim J(xn , un ) = J(x̂, û), ïîýòîìó èíôèìóì â çàäà÷å Å ðàâåí ìèíèìóìó â çàäà÷å E.Ïðîöåññ (x̂, û), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì â çàäà÷å Å; îí íàçûâàåòñÿ ñêîëüçÿùèì ðåæèìîì, ïîñêîëüêó ðåàëèçóåòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèïðîöåññîâ, ó êîòîðûõ óïðàâëåíèå "î÷åíü ÷àñòî" ïåðåêëþ÷àåòñÿ ìåæäó òî÷êàìè ìíîæåñòâà U, ïðèíèìàÿ â ïðåäåëå çíà÷åíèå û(t) ∈ co U.Àíàëîãè÷íîå ÿâëåíèå "îâûïóêëåíèÿ" âîçíèêàåò òàêæå â ñëó÷àå, êîãäà ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà L(t, x, u) íå âûïóêëà ïî u (êàê â ïðèìåðåÁîëüöà).
Åñëè óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ëèíåéíà, ìíîæåñòâî U − âûïóêëî (íî íå îáÿçàòåëüíî çàìêíóòî íàïðèìåð, âñå ïðîñòðàíñòâî), è îïÿòü ôàçîâîå îãðàíè÷åíèå (1.5)îòñóòñòâóåò, òî ñïðàâåäëèâà êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Áîãîëþáîâà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òîe â êîòîðîé ôóíêöèþèíôèìóì â èñõîäíîé çàäà÷å Å ðàâåí èíôèìóìó â çàäà÷å E,e x, u),L(t, x, u) íàäî çàìåíåíèòü íà åå îâûïóêëåíèå ïî u, ò.å. âçÿòü ôóíêöèþ L(t,êîòîðàÿ ïðè ëþáûõ (t, x) åñòü íàèáîëüøàÿ âûïóêëàÿ ïî u ôóíêöèÿ, íå ïðåâîñõîäÿùàÿ L(t, x, u) .9æ) Íàêîíåö, ìíîæåñòâî U ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åííûì, íàïðèìåð, U = IRr .Çäåñü íàäî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû, òåì íå ìåíåå, íà ìèíèìèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íîðìû ||un ||p ïðè íåêîòîðîì p > 1 áûëè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû, è òîãäà âñîîòâåòñòâóþùåì ïðîñòðàíñòâå u ∈ Lp (∆) ðåøåíèå áóäåò ñóùåñòâîâàòü. Äëÿ ýòîãîíà ôóíêöèþ L(t, x, u) íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ äîñòàòî÷íî áûñòðîãî ðîñòà ïî u.Òàêîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàëñÿ åùå â ÊÂÈ, ãäå áûëà óñòàíîâëåíà òåîðåìà Òîíåëëè èåå ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, ñì.
ÈÒ, ÎÏÓ.Ëèòåðàòóðà[ÀÔ] À.Ô. Ôèëèïïîâ. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ.Âåñòíèê ÌÃÓ, ñåð. ìàòåì., ìåõ., àñòðîí., ôèç., õèì., 1959, 2, ñ. 2532.[ÈÒ] À.Ä. Èîôôå, Â.Ì. Òèõîìèðîâ. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì., Íàóêà, 1974.[ÀÒÔ] Â.Ì. Àëåêñååâ, Â.Ì. Òèõîìèðîâ, Ñ.Â. Ôîìèí. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.Ì., Íàóêà, 1979, Ôèçìàòëèò, 2006.[ÊÔ] À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â. Ôîìèí. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1968.[ÎÏÓ] Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.
Êîëëåêòèâíàÿ ìîíîãðàôèÿ êàôåäðû ÎÏÓ (ïîäðåä. Í.Ï. Îñìîëîâñêîãî è Â.Ì. Òèõîìèðîâà), Ì., ÌÖÍÌÎ, 2008.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
