Лекции А.В. Дмитрука (1156122)
Текст из файла
Ëåêöèè À.Â. Äìèòðóêà"Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå"Ìåõìàò, 4 êóðñ 2 ïîòîê, îñåíü 2008 ãîäàÑóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ â çàäà÷àõ íà ýêñòðåìóìÏðèâåäåì äâà êëàññè÷åñêèõ ïðèìåðà, â êîòîðûõ ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò.Ïðèìåð Âåéåðøòðàññà.ZJ=1t2 u2 dt → min,ẋ = u,x(0) = 0,x(1) = 1.0Èùåì ðåøåíèå â êëàññå u ∈ L∞ [0, 1]. ßñíî, ÷òî íà ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèèJ(u) > 0. Ïîêàæåì, ÷òî inf J = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ∀ ε > 0 ïîëîæèì uε (t) = 1/ε íà[0, ε], è ðàâíîé íóëþ âíå ýòîãî îòðåçêà.
ÒîãäàZ ε11J(uε ) =t2 2 dt = ε → 0.ε30Ïðèìåð Áîëüöà.ZJ=1(x2 + (u2 − 1)2 ) dt → min,ẋ = u,x(0) = 0,x(1) = 0.0Çäåñü îïÿòü íà ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèè J(u) > 0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè J(u) = 0,òî x(t) ≡ 0, ïî÷òè âñþäó ẋ(t) = u(t) = 0, íî òîãäà (u2 − 1)2 = 1, è J(u) > 0,ïðîòèâîðå÷èå.Ïîêàæåì, ÷òî inf J = 0. Äëÿ ëþáîãî n ïîëîæèì un (t) = sign sin (2πn t). Òîãäà|un (t)| ≡ 1, à |xn (t)| ≤ const n1 → 0 ïðè n → ∞, ïîýòîìó J(un ) → 0.Äëÿ ôîðìóëèðîâêè òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.Ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó ôóíêöèè.
Ïóñòü X − òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ôóíêöèÿ f : X → IR íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó â òî÷êå x0 , åñëèf (x0 ) ≤ lim f (x),x7→x0(0.1)è ïðîñòî ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó, åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ x0 ∈ X .Ëåììà 1. Ïóñòü f : X → IR − ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ñëåäóþùèå òðèñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû:à) f ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó íà X ;á) å¼ íàäãðàôèê epi f = {(x, z) ∈ X × IR : z ≥ f (x)} çàìêíóò â X × IR ;â) ∀ µ ∈ IR ëåáåãîâî ìíîæåñòâî Lµ (f ) = {x | f (x) ≤ µ} çàìêíóòî â X .1Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî X êîìïàêòíî, a ôóíêöèÿ f :X → IR ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó íà X.
Òîãäà f äîñòèãàåò íà X ñâîåãî ìèíèìóìà.Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè äâóìÿ ñïîñîáàìè. Îáîçíà÷èì A = inf f.1) Âîçüìåì ëþáóþ ìèíèìèçèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X, ò.å. òàêóþ, äëÿêîòîðîé f (xn ) → A. Ïîñêîëüêó X − êîìïàêò (íî, âîîáùå ãîâîðÿ, áåç ïåðâîé àêñèîìû ñ÷åòíîñòè), èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûáðàòü ïîäíàïðàâëåííîñòü (ò.å.îáîáùåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü) xnα , ïàðàìåòðèçîâàííóþ èíäåêñîì α èç íåêîòîðîãî íàïðàâëåííîãî ìíîæåñòâà, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x̂ ∈ X. Äëÿ íåå ïîïðåæíåìó f (xnα ) → A.
 ñèëó (0.1), f (x̂) ≤ A, íî òàê êàê çíàê < çäåñü áûòü íåìîæåò, ïîëó÷àåì f (x̂) = A.(Åñëè X îáëàäàåò ïåðâîé àêñèîìîé ñ÷åòíîñòè (íàïð. ìåòðè÷åñêîå), òî âìåñòîïîäíàïðàâëåííîñòè ìîæíî áðàòü îáû÷íóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü; â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî î÷åíü ïðîçðà÷íî.)2) Äëÿ ëþáîãî µ > A ìíîæåñòâî ïîäóðîâíÿ Lµ (f ) î÷åâèäíî íåïóñòî è çàìêíóòî.Ñåìåéñòâî ýòèõ ìíîæåñòâ öåíòðèðîâàíî, òàê êàê ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ ìíîæåñòâ èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå (íàäî âçÿòü ìèíèìàëüíîå èç äàííûõ µ, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå íåïóñòîå Lµ (f ) áóäåò ñîäåðæàòüñÿ â êàæäîì ìíîæåñòâå èç äàííîãîíàáîðà). Ïîñêîëüêó X − êîìïàêò, òî è âñå ýòè ìíîæåñòâà èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, ò.å.
íàéäåòñÿ òî÷êà x̂, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì èì: f (x̂) ≤ µ äëÿ ëþáîãî µ > A.Íî òîãäà f (x̂) ≤ A, è çíà÷èò f (x̂) = A.Ïðàêòè÷åñêè âñå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â çàäà÷àõ íà ýêñòðåìóì òàê èëèèíà÷å îñíîâàíû íà òåîðåìå Âåéåðøòðàññà.Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, âûïóêëàÿ ïî óïðàâëåíèþÍà ôèêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè ∆ = [0, T ] ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Å:ZJ=TL(t, x, u) dt + ϕ(x(0), x(T )) → min,(1.1)0ẋ = f (t, x, u) = a(t, x) + B(t, x) u,u(t) ∈ Uäëÿ ï.â. t ∈ ∆,(x(0), x(T )) ∈ M,x(t) ∈ S(t)∀ t ∈ ∆.(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)Çäåñü, êàê îáû÷íî, x : ∆ → IRn − àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ, à u : ∆ → IRr −èçìåðèìàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèè.2Ïðåäïîëîæåíèÿ:À1) ôóíêöèÿ L(t, x, u) íåïðåðûâíà íà ∆ × IRn × U è âûïóêëà ïî u ,À2) âåêòîð-ôóíêöèÿ a(t, x) è ìàòðèöà B(t, x) (ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé)íåïðåðûâíû íà ∆ × IRn , êîíöåâàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x0 , xT ) íåïðåðûâíà íà IR2n ,À3) ìíîæåñòâî M ⊂ IR2n çàìêíóòî (êàê ïðàâèëî, îíî çàäàåòñÿ íåêîòîðûì íàáîðîì îãðàíè÷åíèé òèïà ðàâåíñòâà η(x(0), x(T )) = 0 è íåðàâåíñòâà ζ(x(0), x(T )) ≤ 0ñ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè η è ζ ),À4) ïðè êàæäîì t ∈ ∆ ìíîæåñòâî S(t) ⊂ IRn çàìêíóòî, è õîòÿ áû ïðè îäíîìt0 ∈ ∆ îíî îãðàíè÷åíî: |S(t0 )| ≤ s0 ,À5) ìíîæåñòâî U ⊂ IRr åñòü âûïóêëûé êîìïàêò,À6) òðîéêà (f, S, U ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ôèëèïïîâà: ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëîK, ÷òî ∀ t ∈ ∆, x ∈ S(t), u ∈ U âûïîëíåíà îöåíêà|(x, f (t, x, u))| ≤ K (|x|2 + 1).(1.6)Ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ è áîëåå ñëàáîé îöåíêîésign (t − t0 ) (x, f (t, x, u)) ≤ K (|x|2 + 1).(1.7)(Åñëè, íàïðèìåð, S(t) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî, òî ñëåâà â (1.6) ñòîèò îãðàíè÷åííàÿâåëè÷èíà, ïîýòîìó óñëîâèå Ôèëèïïîâà àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíî.)Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (ïåðâûé âàðèàíò êîòîðîé áûë äîêàçàí À.Ô.
Ôèëèïïîâûì):Òåîðåìà 1. Ïóñòü â çàäà÷å Å ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí äîïóñòèìûé ïðîöåññ.Òîãäà ñóùåñòâóåò è (ãëîáàëüíî) îïòèìàëüíûé ïðîöåññ, ò.å. ôóíêöèîíàë J äîñòèãàåòñâîåãî ìèíèìóìà.Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ýòàïîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D ìíîæåñòâîâñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x(t), u(t)). Ìû ïîêàæåì, ÷òî D åñòü êîìïàêò â íåêîòîðîé òîïîëîãèè, à J ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó â ýòîé òîïîëîãèè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòüäîïóñòèìûå ïðîöåññû êàê ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà C(∆) × L∞ (∆).1) Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ òðàåêòîðèé x(t) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî â ïðîñòðàíñòâå C(∆).
Îáîçíà÷èì z = |x|2 +1. Òîãäà â ñèëó (1.2) è (1.6) èìååì|ż| = 2 |(x, f (t, x, u))| ≤ 2Kz, è òàê êàê â ñèëó À4 |z(t0 )| ≤ (s20 + 1) , òî ∀ t ∈ ∆|z(t)| ≤ |z(t0 )| e2K(t−t0 ) ≤ (s20 + 1) e2KT ,è òîãäà |x(t)| ≤ const = K0 . (Ïðè âûïîëíåíèè ëèøü îöåíêè (1.7) íàäî îòäåëüíîðàññìîòðåòü ñëó÷àè t < t0 è t > t0 .) Îòñþäà, èç ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòèçíà÷åíèé u(t) è íåïðåðûâíîñòè f âûòåêàåò â ñèëó (1.2), ÷òî è |ẋ(t)| ≤ const = K1 .3Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ òðàåêòîðèé x(t), ðàññìàòðèâàåìîåâ ïðîñòðàíñòâå C(∆), ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî è ðàâíîìåðíî ëèïøèöåâî (à ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî). Ïî òåîðåìå ÀñêîëèÀðöåëà ýòî ïðåäêîìïàêò âC(∆).2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèéU = {u ∈ L∞ (∆) :u(t) ∈ Uï.â.
íà ∆}.Ïîñêîëüêó U îãðàíè÷åíî, òî U ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì çàìêíóòîì øàðå ïðîñòðàíñòâà L∞ (∆), à òàê êàê ïî òåîðåìå Àëàîãëó òàêîé øàð åñòü êîìïàêò â ñëàáîé-* òîïîëîãèè, òî íàøå U åñòü ïðåäêîìïàêò â ñëàáîé-* òîïîëîãèè. (Íàïîìíèì, ÷òî ýòîòîïîëîãèÿ ñõîäèìîñòè íà êàæäîì ýëåìåíòå ïðîñòðàíñòâà L1 (∆), ñì. ÊÔ.)Ñëàáàÿ-* òîïîëîãèÿ â ëþáîì øàðå ïðîñòðàíñòâà, ñîïðÿæåííîì ê ñåïàðàáåëüíîìó(êàê ó íàñ: L∗1 = L∞ ), ìåòðèçóåìà, è ïîýòîìó ñõîäèìîñòü â ýòîé òîïîëîãèè ìîæíîðàññìàòðèâàòü íà îáû÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ.Èòàê, ìíîæåñòâî D âñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x(t), u(t)) åñòü ïðåäêîìïàêò âïðîñòðàíñòâå C(∆) × L∞ (∆) îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè C × σ ∗ − ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíîìåðíîé òîïîëîãèè ïî x è ñëàáîé-* òîïîëîãèè ïî u (ò.å.
îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè x è ñëàáîé-* ñõîäèìîñòè u ).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî D çàìêíóòî â ýòîé òîïîëîãèè. Âîçüìåì ëþáóþ ïîñëåäîñë.−∗âàòåëüíîñòü (xn , un ) ∈ D, òàêóþ ÷òî xn =⇒ x̂ ∈ C(∆), un −→ û ∈ L∞ (∆), èïîêàæåì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ïàðà (x̂, û) ∈ D, ò.å. ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Å.3) Òàê êàê ìíîæåñòâà M è S(t) çàìêíóòû, äëÿ ïðåäåëüíîãî x̂ îãðàíè÷åíèÿ (1.4)è (1.5) î÷åâèäíî âûïîëíåíû.4) Äëÿ ïðîâåðêè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.2) ïðåäñòàâèì åãî â èíòåãðàëüíîé ôîðìå. Äëÿ ëþáîãî t ∈ ∆ èìååìZ txn (t) = xn (0) +(a(τ, xn ) + B(τ, xn ) un ) dτ.0Òàê êàê xn (t) =⇒ x̂(t), ëåâàÿ ÷àñòü è ïåðâûå äâà ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè î÷åâèäíîñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïðåäåëàì.
Ïîêàæåì, ÷òî ∀ t ∈ ∆Z tZ tB(τ, xn ) un dτ →B(τ, x̂) û dτ.00Ðàçíîñòü ýòèõ èíòåãðàëîâ ïðåäñòàâèì â âèäåZ tZ t[B(τ, xn ) un − B(τ, x̂) un ] dτ +[B(τ, x̂) un − B(τ, x̂) û ] dτ.00Ïåðâûé èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè B åãî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à âòîðîé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ4ñë.−∗òàê êàê un −→ û, à ôóíêöèÿ B(τ, x̂(τ )) îãðàíè÷åíà è ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíàäëåæèòL1 (∆).Èòàê, äëÿ ïðåäåëüíîé ïàðû âûïîëíåíî ðàâåíñòâîZ tx̂(t) = x̂(0) +(a(τ, x̂) + B(τ, x̂) û) dτ,t ∈ ∆.0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ x̂(t) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, è äëÿ ïàðû (x̂, û) ïî÷òèâñþäó íà ∆ âûïîëíåíî óðàâíåíèå (1.2).5) Ïðîâåðèì ñëàáóþ-* çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà óïðàâëåíèé U.
Òàê êàê èñõîäíîåìíîæåñòâî U ⊂ IRr − âûïóêëûé êîìïàêò, îí åñòü ïåðåñå÷åíèå íåêîòîðîãî ñåìåéñòâàçàìêíóòûõ ïîëóïðîñòðàíñòâ (p, u) ≤ α, ãäå p ∈ IRr , α ∈ IR, è ïàðà (p, α) ïðîáåãàåòíåêîòîðîå ìíîæåñòâî F ⊂ IRr+1 . ßñíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü (p, α) èç ëþáîãî ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà â F, à â êà÷åñòâå òàêîâîãî (â ñèëó ñåïàðàáåëüíîñòè IRr )ìîæíî âçÿòü íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî (pi , αi ) ∈ F, i = 1, 2, .
. . . Òàêèì îáðàçîì,U åñòü ïåðåñå÷åíèå ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà ïîëóïðîñòðàíñòâ Ui = {u ∈ IRr : (p, u) ≤αi }, i = 1, 2, . . . . Ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà ôóíêöèéUi = {u ∈ L∞ (∆) :u(t) ∈ Uiï.â. íà ∆},Tè ïîêàæåì, ÷òî U = i Ui . Âêëþ÷åíèå ⊂ çäåñü î÷åâèäíî, íàäî óñòàíîâèòü ëèøüâêëþ÷åíèå ⊃ . Ïóñòü u ∈ Ui äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∀ i èìååòñÿ ìíîæåñòâî ïîëíîé ìåðû Ei ⊂ ∆, íà êîòîðîì u(t) ⊂ Ui .  ñèëó ñ÷åòíîéTàääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ìíîæåñòâîi Ei òàêæå èìååò ïîëíóþ ìåðó, è íà íåìTu(t) ⊂ i Ui = U, è çíà÷èò, u ∈ U.Òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî Ui ñëàáî-* çàìêíóòî. Ýòîâûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî ïðîñòîãî óòâåðæäåíèÿ.Ëåììà 2.
Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé vn (t) èç ïðîñòðàíñòâà L∞ (∆), ñëàáî-* ñõîäÿùèõñÿ ê ôóíêöèè v̂(t). Ïóñòü êàæäàÿ vn (t) ≤ 0ïî÷òè âñþäó íà ∆. Òîãäà è v̂(t) ≤ 0 ïî÷òè âñþäó íà ∆.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ýòî íå òàê, ò.å. v̂(t) > 0 íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâåE ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Òîãäà äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè l(t) ìíîæåñòâà Eâ ñèëó ñëàáîé-* ñõîäèìîñòè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿZ TZ Tl(t) vn (t) dt →l(t) v̂(t) dt.00RÍî èíòåãðàëû ñëåâà ≤ 0, à ñïðàâà ñòîèò E v̂(t) dt > 0 êàê èíòåãðàë îò ñòðîãîïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè ïî ìíîæåñòâó ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Ïðîòèâîðå÷èå.2Ïðèìåíÿÿ ýòó ëåììó äëÿ êàæäîãî i ê ôóíêöèÿìvn (t) = (pi , un (t)) − αiñë.−∗−→v̂(t) = (pi , û(t)) − αi ,ïîëó÷àåì ñëàáóþ-* çàìêíóòîñòü êàæäîãî ìíîæåñòâà Uiìêíóòîñòü ìíîæåñòâà U.5è òåì ñàìûì ñëàáóþ-* çà-6) Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèîíàë J : C × L∞ → IR ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó íàD îòíîñèòåëüíî ââåäåííîé ñõîäèìîñòè.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
