Автореферат (1155083), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Îáùàÿ ìîäåëüòàêîãî òèïà ââåäåíà è èññëåäîâàíà ðàíåå.3Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé äëÿ äàííîé ìîäåëè èìååòñëåäóþùèé âèä:a00 (t)µ1 (t)µ2 (t)µ3 (t)···µS (t) λ1 (t) a11 (t)µ1 (t)µ2 (t) · · · µS−1 (t)A(t) = λ2 (t) λ1 (t)a22 (t)µ1 (t) · · · µS−2 (t) ···λS (t) λS−1 (t) λS−2 (t) λS−3 (t) · · · aSS (t)ïðè÷åì aii (t) = −Pik=1 µk (t) −PS−ik=1 λk (t),,(1)è λk (t) = 0 ïðè k > N . äàííîé ðàáîòå ïîäðîáíåå èçó÷àåòñÿ áîëåå êîíêðåòíàÿ ñèòóàöèÿ.Îáùåå êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé íå ïðåâîñõîäèò S , ìàêñèìàëüíûé ðàçìåðãðóïïû ïîñòóïàþùèõ òðåáîâàíèé ðàâåí N ≤ S , èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿãðóïïû k ≤ N òðåáîâàíèé åñòü λk (t) =λ(t)k .Èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ ãðóï-ïû k ≤ S èìåþùèõñÿ â ñèñòåìå òðåáîâàíèé åñòü µk (t) =3 Ñàòèí,µ(t)k .ß.
À., Çåéôìàí, À. È., Êîðîòûøåâà, À. Â., Øîðãèí, Ñ. ß. Îá îäíîì êëàññå ìàðêîâñêèõ ñèñòåìîáñëóæèâàíèÿ. Èíôîðìàòèêà è åå ïðèìåíåíèÿ.2011 5, âûï. 4, 612;Çåéôìàí, À.È., Êîðîòûøåâà, À.Â., Êèñåëåâà, Ê.Ì., Êîðîëåâ, Â.Þ., Øîðãèí, Ñ.ß. Îá îöåíêàõ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ.// Èíôîðìàòèêà è å¼ ïðèìåíåíèÿ. 2014. 8, âûï. 3, 19-27;A.
I. Zeifman, A. Korotysheva, Ya. Satin, G. Shilova, T. Panlova. On a queueing model with group services,Lecture Notes in Communications in Computer and Information Science. 2013. 356, 198-205.7Çäåñü X = X(t), t ≥ 0, - ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ.Ýòî íåîäíîðîäíàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì è ïðîñòðàíñòâîìñîñòîÿíèé Z = {0, 1, . . . , S}. ¾Áàçîâûå¿ èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿ λ(t) è µ(t) ïðåäïîëàãàþòñÿ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìûìè íà [0, ∞) ôóíêöèÿìè âðåìåíè t. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p(t) = (p0 (t), p1 (t), .
. .)T , t ≥ 0 - âåêòîð-ñòîëáåöâåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé, ÷åðåç E(t, k) = E {X(t) |X(0) = k } ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ïðîöåññà (ñðåäíåå ÷èñëî òðåáîâàíèé) â ìîìåíò t ïðè óñëîâèè, ÷òî âíóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè îí íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè k . Ìàðêîâñêàÿ öåïü èìååòïðåäåëüíîå ñðåäíåå φ(t), åñëè E(t, k) − φ(t) → 0 ïðè t → ∞ è ëþáîì k .Òåîðåìà 1 . Ïðîöåññ X(t), îïèñûâàþùèé ÷èñëî òðåáîâàíèé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå, ñëàáî ýðãîäè÷åí ïðè ëþáîìN (1 ≤ N ≤ S )òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå:Z∞(2)(λ(t) + µ(t)) dt = +∞.0Ñëåäñòâèå 1 . Åñëè (2) ñïðàâåäëèâî, òî ïðîöåññ X(t) ñëàáî ýðãîäè÷åí, èìååòïðåäåëüíîå ñðåäíååφ(t)è ñïðàâåäëèâû îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè:kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 8Se−ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõp∗ (s), p∗∗ (s)|E(t, k) − φ(t)| ≤ 8S eïðè ëþáîìk,åñëè0∗µ(t)dt = +∞,à ïðè0µ(u)duR∞Rt0(3),è ëþáûõ2 −R +∞Rt0 ≤ s ≤ t,s, t,(4)µ(u)duλ(t) dt = +∞,ñîîòâåòñòâåííî:0∗∗kp (t) − p (t)k ≤ 8S (1 + ln S) e− S1Rt1Rt|E(t, k) − φ(t)| ≤ 8S 2 (1 + ln S) e− S00λ(τ ) dτ,(5)λ(τ ) dτ.(6)Ïóñòü X̄ = X̄(t) ÷èñëî òðåáîâàíèé äëÿ ¾âîçìóùåííîé¿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå åãî õàðàêòåðèñòèêè îáîçíà÷èì òåìè æå áóêâàìè ñ8÷åðòîé ñâåðõó.
Êðîìå òîãî, ïîëàãàåì, ÷òî ïðè âñåõ t ≥ 0 âûïîëíåíî óñëîâèåìàëîñòè kA(t) − Ā(t)k ≤ ε.R +∞Ñëåäñòâèå 2 . Ïóñòü 0òåëüíûõM, αè âñåõµ(t)dt = +∞,0≤s≤t−eRtsè âäîáàâîê, ïðè íåêîòîðûõ ïîëîæè-ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîµ(u)duÒîãäà ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ≤ M e−α(t−s) .p(0)âû íåðàâåíñòâàñîîòâåòñòâåííî ñïðàâåäëè-(8)εS(1 + ln 4SM ).α(9)t→∞t→∞p̄(0)ε(1 + ln 4SM ),αlim sup kp(t) − p̄(t)k ≤lim sup |Ep (t) − Ēp̄(t) | ≤è(7)Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (7) çàâåäîìî âûïîëíåíî, åñëè èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ 1−ïåðèîäè÷íà, ïðè ýòîì α =M =eR10µ(t) dt, àmax|t−s|≤1Rtsµ(u)du. 2 ãëàâû 2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, îïèñû-âàåìàÿ ïðîöåññîì ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ êàòàñòðîôàìè â ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòè êàòàñòðîô ðàçëè÷íûå.
Çäåñü ïðîäîëæåíû èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå ðàíåå.4Äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ïîëó÷åíî óñëîâèå ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè êïðåäåëüíîìó ðåæèìó è ïðåäåëüíîìó ñðåäíåìó. 1 ãëàâû 3 èññëåäóåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûìïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé, ÷àñòíûé ñëó÷àé êîòîðîé ðàññìîòðåí â 1 ãëàâû 2.
Ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè èïðèâåäåíû ïðèìåðû. 2 ãëàâû 3 ðàññìîòðåíû äâóñòîðîííèå óñå÷åíèÿ è ïðèâåäåíû ïðèìåðûäëÿ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ÷èñëî òðåáîâàíèé â êîòîðûõ îïèñûâàåò4 A.Zeifman, A. Korotysheva, Ya. Satin, V. Korolev, S. Shorgin, R. Razumchik. Ergodicity and perturbationbounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin. Int.
J. Appl.Math. Comput. Sci., 2015.9ñÿ íåîäíîðîäíûì ïðîöåññîì ðîæäåíèÿ è ãèáåëè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòûïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â [4].TÎáîçíà÷èì ÷åðåç p(t) = (p0 (t), p1 (t), . . . ) , t ≥ 0 âåêòîð-ñòîëáåö âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ïðîöåññà, λk (t) è µk (t) èíòåíñèâíîñòè ðîæäåíèÿ è ãèáåëèñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç A(t) - òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó èíòåíñèâíîñòåé.Ïîëàãàåìλn (t) ≤ Λn ≤ L < ∞,(10)µn (t) ≤ ∆n ≤ L < ∞,ïðè ïî÷òè âñåõ t ≥ 0.Îáîçíà÷èìgk =i−1Xdj ,Gk =kXdj ,j=i+1j=kãäå dj - ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà.Òåîðåìà 2 . Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè X(t) ñ èíòåíñèâíîñòÿìèλk (t)èµk (t).Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå−eäëÿ ëþáîãîíîðìå0 ≤ s ≤ t.Rtα(τ ) dτsÒîãäà ïðîöåññM≤ M e−α(t−s) ,X(t)èαòàêèå, ÷òî(11)ñëàáî ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷åí ïî1D.Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüåòñÿ.
Òîãäà{dk }òàêàÿ, ÷òî (11) âûïîëíÿ-X(t) ñëàáî ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷åí ïî íîðìå 1D, è ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå îöåíêè(pk (t) ≤äëÿ ëþáîãîM (di−1 ∆i +di+1 Λi ),α gkM (di−1 ∆i +di+1 Λi ),α Gkk<ik>i,(12)k.Ðàññìîòðèì óñå÷åííûé ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè X ∗ (t) ñ ïðîñòðàíñòâîìñîñòîÿíèé N1 , N1 + 1, . . . , N2 è èíòåíñèâíîñòÿìè λ∗k (t) = λk (t) ïðè N1 ≤ k < N2 ,è µ∗k (t) = µk (t) ïðè N1 < k ≤ N2 . Ïîëîæèì îñòàëüíûå èíòåíñèâíîñòè ðîæäåíèÿè ãèáåëè ðàâíûìè íóëþ. Ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè äàííîãî ïðîöåññàîáîçíà÷èì òåìè æå áóêâàìè ñî "çâåçäî÷êîé".10Ïóñòü{d∗k }- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë òàêàÿ, ÷òîeRt− α∗ (τ ) dτs≤ M ∗ e−α∗(t−s)(13),äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ M ∗ , α∗ è ëþáîãî 0 ≤ s ≤ t.Ïîëîæèì gk∗ =i−1Pd∗j è G∗k =j=kkPd∗j .j=i+1Ïóñòü òàêæåd = min (di−1 , di+1 ) ,W = infkgk d Gk, ,k i k.(14)Òåîðåìà 3 . Ðàññìîòðèì ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è ãèáåëè X(t), X ∗ (t) òàêèå,÷òî âûïîëíÿþòñÿ (11) è (13). ÏóñòüX ∗ (0) = i).p (0) = p∗ (0) = ei(òî åñòüX(0) =Òîãäà:kp (t) − p∗ (t) k ≤4M M ∗ ∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1dα α∗gN1 −1 ∆N1 GN2 +1 ΛN2·,+∗∗gNGN12(15)kp (t) − p∗ (t) k1E ≤4M M ∗ ∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1W α α∗gN1 −1 ∆N1 GN2 +1 ΛN2+.·∗gNG∗N21(16)èÑëåäñòâèå 3 .
Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Òåîðåìû 3 è, êðîìå òîãî, N2 =∞.Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:4M M ∗kp (t) − p∗ (t) k ≤∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1 gN1 −1 ∆N1,∗dα α∗ gN1(17)114M M ∗äëÿ ëþáîãîkp (t) − p∗ (t) k1E ≤∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1 gN1 −1 ∆N1,∗W α α∗ gN1(18)i > N1 .Ñëåäñòâèå 4 . Ïóñòü â óñëîâèÿõ Òåîðåìû 3 N1 = 0.
Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè:äëÿ ëþáîãî4M M ∗kp (t) − p∗ (t) k ≤∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1 GN2 +1 ΛN2,dα α∗ G∗N2(19)4M M ∗kp (t) − p∗ (t) k1E ≤∆i d∗i−1 + Λi d∗i+1 GN2 +1 ΛN2,W α α∗ G∗N2(20)i < N2 . 3 ãëàâû 3 ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Mt /Mt /S(â ñëó÷àå ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòè òðàôôèêà).Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè äâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè (ñì.
[4]). 4 ãëàâå èññëåäóåòñÿ íåêîòîðûé êëàññ ìîäåëåé ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè,à èìåííî íåîäíîðîäíàÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì, ââåäåííàÿ è â îäíîðîäíîì ñëó÷àå ðàññìîòðåííàÿ ðàíåå.5 óêàçàííîé ðàáîòå òàêæå ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå ñîäåðæàòåëüíîå îïèñàíèå ìîäåëè, äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåí äâóìåðíûé ïðîöåññ, îïèñûâàþùèé ÷èñëî òðåáîâàíèéâ ñèñòåìå, ñ èíòåíñèâíîñòÿìè ïîñòóïëåíèÿ λ(t), îáñëóæèâàíèÿ µ(t) è ïåðåõîäàêëèåíòà ñ îðáèòû íà ñåðâåð µ0 (t).Ïðîöåññ ñâåäåí ê îäíîìåðíîìó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé Q = (qij ) ñëåäóþùåãî âèäà:5 ZeifmanA., Satin Ya., Morozov E., Nekrasova R., Gorhsenin A.
On the ergodicity bounds for a constant retrialrate queueing model // Proceedings of the 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications andControl Systems and Workshops. 2016.12−λλµ−(λ + µ)0µ000000...0...Q(t) =00000 0 ···0 0 ··· −(λ + µ0 )λ000 0 ··· µ−(λ + µ)0λ0 0 · · · .0µ0−(λ + µ0 )λ0 0 ··· 00µ−(λ + µ) 0 λ · · · .......... ..
....... . .0λ00Äëÿ äàííîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè óñòîé÷èâîñòè, ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ.Ïóñòü ïðîöåññ áëèçîê ê îäíîðîäíîìó, è åãî èíòåíñèâíîñòè áëèçêè ê ïîñòîÿííûì. Òîãäà, ïðèìåíÿÿ îáùèé ïîäõîä6 , ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 4 . Ïîëîæèì, ÷òî èíòåíñèâíîñòè èìåþò âèäλ(t) = λ∗ + l(t), µ(t) = µ∗ + m(t), µ0 (t) = µ∗0 + m0 (t),ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:µ∗ µ∗0 > λ∗ (λ∗ + µ∗0 ),B < α∗ ,ãäåα∗ = min(λ∗ +µ∗0 −µ∗ b−1 , λ∗ +µ∗ −λ∗ (b+ab)−µ∗0 a−1 ), B ≥ l(t)+m(t)+l(t)(b+ab) + m0 (t).Òîãäà äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèép∗ (0), p∗∗ (0)ïðîöåññX(t)ñëàáî ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷åí è ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòèñõîäèìîñòè:k p∗ (t) − p∗∗ (t) k≤ 2e−(α∗−B )tk p∗ (0) − p∗∗ (0) k1D .Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèép(0)èp̄(0)íåîäíîðîäíîãî è îäíî-ðîäíîãî ïðîöåññîâ ñîîòâåòñòâåííî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà óñòîé÷èâî6 ZeifmanA., Korolev V.
On perturbation bounds for continuous-time Markov chains// Statistics & ProbabilityLetters. V. 88. 2014. P. 66-72.13ñòè:fB + α∗ flim sup k p(t) − p̄(t) k1D ≤ ∗ ∗.t→∞α (α − B )Ñïðàâåäëèâî òàêæå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 5 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî µ(t) = µ0 (t) è ñóùåñòâóåò òàêîå a ∈ (1; b),÷òîZ∞β(t)dt = +∞,0ãäåβ(t) = λ(t)(1 − b − ab) + µ(t)( a−1a. Òîãäàp∗ (0), p∗∗ (0)èk p∗ (t) − p∗∗ (t) k≤ 2e−Rtáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé0β(τ )dτX(t)- ñëàáî ýðãîäè÷íûé äëÿ ëþ-k p∗ (0) − p∗∗ (0) k1DÊðîìå òîãî, äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè èññëåäóåòñÿ óñå÷åííûé ïðîöåññ,à òàêæå ïîëó÷åíû îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè. çàêëþ÷åíèè îïèñàíû è ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó-÷åííûå â õîäå äèññåðòàöèîííîãî èññëåäîâàíèÿ. ïðèëîæåíèè ïðèâåäåíî îïèñàíèå ïðîãðàììû, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé âû-ïîëíÿþòñÿ ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà.Îñíîâíûå âûâîäû è ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè. ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:1) ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé;2) ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè è ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè ñêîðîñòèñõîäèìîñòè äëÿ ïðîöåññà ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ îñîáåííîñòÿìè;3) èññëåäîâàí è èñïîëüçîâàí ìåòîä äâóñòîðîííèõ óñå÷åíèé äëÿ ìîäåëåé, îïèñûâàåìûõ íåîäíîðîäíûìè ïðîöåññàìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè è ìîäåëè Mt /Mt /S ;4) ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè óñòîé÷èâîñòè è ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì.14Ïóáëèêàöèè àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè â èçäàíèÿõ, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ1.
Çåéôìàí, À., Êîðîòûøåâà, À., Êèñåëåâà, Ê., Êîðîëåâ, Â., Øîðãèí, Ñ. Îáîöåíêàõ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ.// Èíôîðìàòèêà è å¼ ïðèìåíåíèÿ. 2014. 8, âûï. 3, 19-27.2. Çåéôìàí, À., Êîðîòûøåâà, À., Ñàòèí, ß., Êèñåëåâà, Ê., Ðàçóì÷èê, Ð., Êîðîëåâ, Â., Øîðãèí, Ñ. Îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè äëÿ ìàðêîâñêèõñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ, îïèñûâàåìûõ ïðîöåññàìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ äîïîëíèòåëüíûìè ïåðåõîäàìè.// Ñèñòåìû è ñðåäñòâà èíôîðìàòèêè. 2017. 27.3. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A., Kiseleva, K., Korolev, V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
