Федоров Н.Д. Электронные и квантовые приборы СВЧ (2-е издание, 1979) (1152182), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При выбранных на рис. 5.1 направлениях Е0 и В, когда vппараллельна оси z, формулу (5.9) можно представить в векторной записи:(5.10)Уравнения (5.6), (5.8) показывают, что движение электрона можно представить какравномерное поступательное движение со скоростью vп и вращательное с постояннойугловой скоростью равной циклотронной частоте ωц, по окружности с радиусом R.С учетом этого траекторию электрона в скрещенных полях можно заменитьтраекторией точки, находящейся на расстоянии R от центра диска радиусом r, который безскольжения катится вдоль оси z, так что скорость его центра остается постоянной иравной vц (рис. 5.2), частота вращательного движения относительно точки касания равнаωц, а радиус диска определяется соотношениемРис.
5.283(5.11)называют скоростью переносного движения, или переноснойСкорость центра vпскоростью.Необходимо отметить, что величина и направление скорости vп и циклотронная частотаωц, которая соответствует угловой частоте вращения диска, и, следовательно, радиусдиска, не зависят от начальной скорости электрона. Однако величина R из (5.7в),определяющая расстояние от центра катящегося диска до точки, «прочерчивающей»траекторию электрона, зависит от величины и направления начальной скорости. Дляпростоты будем считать, что в начальный момент времени v0y=0, т. е. электрон влетает впространство между электродами параллельно оси z.
Рассмотрим несколько частныхслучаев.а. Начальная скорость электрона равна нулю (v0z=0). В этом случае из (5.7в)(5.12)т. е. с учетом (5.11) R=r и траектория электрона образуется точкой В, находящейся наободе катящегося диска. Траектория оказывается обычной циклоидой (см. рис. 5.2, кривая1). Максимальная скорость соответствует вершине циклоиды и равна vмакс=2Rωц и сучетом (5.9) и (5.12)(5.13)б. Начальная скорость электрона положительна (v0z>0).
В этом случае величина R в(5.7в) становится меньше, чем по формуле (5.12), и траектория соответствует движениюточки A на модели (см. рис. 5.2) и является укороченной циклоидой 2.в. Начальная скорость электрона положительна, но равна переносной скорости (v0z=vп).Из (5.7) R=0, b=r, поэтому в (5.6) z=vпt, т. е. траектория электрона – это прямая линия 3,соответствующая смещению центра круга О на рис.
5.2. Скорость движения электронаостается постоянной и равной vп. Прямолинейное и равномерное движение электрона –это результат равенства электрической и магнитной сил. Действительно, из (5.1) следует,что только при скорости v=E0/B Fэл=Fм, т. е. происходит взаимная компенсацияпротивоположно направленных сил, и электрон движется по инерции равномерно.г.
Начальная скорость электрона отрицательная (vz<0). Из (5.7в) следует, что в этомслучае R>r. На модели это соответствует движению точки С (см рис, 5.2). Электрондвижется по удлиненной циклоиде 4.Поясним дополнительно физический смысл скорости vп. Для этого из (5.6) найдемпроекцию скорости электрона на ось z:Найдем среднее значение vцср за период T=2π/ωц.Среднее значение второго слагаемого за периодравно нулю. Поэтому среднее значение проекциискорости остается постоянным и равным с учетом(5.7а) переносной скорости vп: vzср=vп=E0/B.Поэтому vп можно назвать средней скоростьюдвижения электронов вдоль оси z.В приборах типа М нашли широкоеприменениецилиндрическиеэлектроды.Движение электронов в этом случае удобнеерассматриватьвцилиндрическойсистемекоординат. Однако, не решая соответствующиедифференциальные уравнения, следует ожидать,что траекторию электронов по аналогии сРис.
5.384системой плоских электродов можно представить как движение точки, находящейся нанекотором расстоянии R от оси диска с радиусом r, катящегося по цилиндрическойнаправляющей со скоростью vп=E0/B, где E0 — напряженность поля в зазоре междуцилиндрическими электродами. Погрешность, вносимая при таком рассмотрении, зависитот соотношения радиусов электродов. Если радиусы отличаются мало, т. е. зазор междуэлектродами много меньше радиусов, то цилиндрические электроды можно рассматриватькак плоские, В этом случае отличие реальных траекторий от приближенныхнезначительно.В цилиндрической системе координат удобнее применять вместо линейных скоростейv0 и vп угловые θ0 и θп.
На рис. 5.3 показанытраекторииэлектронов,&&&&соответствующие угловой скорости θ0=0, 0 < θ 0 < θ п , θ п и. θ 0 < 0 Приθ0=θптраектория превращается в окружность. Этот случай аналогичен при плоских электродахравенству скоростей v0 и vп: траектория повторяет форму электродов.85§ 5.2.
Движение электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях приналичии СВЧ-поляПредположим, что в пространстве между двумя электродами кроме скрещенныхстатических электрического и магнитного полей имеется высокочастотное поле. Длясоздания этого поля используются замедляющие системы, которые позволяют обеспечитьРис. 5.4взаимодействие электронов с бегущим СВЧ-полем. В общем случае СВЧ-поле впространстве между электродами можно представить суммой волн пространственныхгармоник, имеющих различные фазовые скорости. Обычно в приборах типа Миспользуется нулевая пространственная гармоника (прямая или обратная).На рис. 5.4 приведена картина силовых линий СВЧ-поля рабочей пространственнойгармоники. Ось z совмещена с нижним электродом.
Предполагается, что в пространствона высоте y0 входит тонкий (ленточный) электронный поток. Если начальная скоростьэлектронов равна переносной (5.9), т. е.то в статическом режиме (без СВЧ-поля) электроны движутся далее в пространствепрямолинейно и с той же скоростью v0z= vп.Уравнения движения электронов при наличии СВЧ-поля отличаются от уравнений (5.4)для статического режима дополнительными слагаемыми, а именно:~&z& = ωц y& − eE z / m ,(5,14)~~~где E y , E z – проекции напряженности СВЧ-поля. Для общности проекция E z взята~положительной (направлена вдоль оси z), а E y – совпадающей с направлением Е0 (против~~оси у).
Это определило знак перед дополнительными слагаемыми в (5.14). E y , E z –функции координат и времени, поэтому решить систему (5.14) трудно. Влияние СВЧ-поляна движение электронов удобнее рассматривать в подвижной системе координат х', у', z',перемещающейся вдоль оси z со скоростью, равной фазовой скорости бегущей волны vф.Тогда связь координат(5,15)~~В подвижной системе координат СВЧ-поле становится неподвижным, а E y , E z –постоянными во времени, поэтому можно воспользоваться выводами, сделанными ранее86для статических полей, а значок (~) опустить.Используя (5.15) и (5.5), можно привести уравнения (5.14) к виду:(5.16)Из сравнения (5,16) и (5.14) следует, что переход в систему координат, котораядвижется со скоростью vф относительно электродов, эквивалентен уменьшениюнапряженности статического поля E0 на величину vфB.
Это очевидно, так как в новойсистеме координат скорость электронов становится меньше на величину vф, поэтомудолжна уменьшиться на еvфВ магнитная сила (5.1), действующая на электрон в этойсистеме координат. Таким образом, в подвижной системе координат на электрондействует эквивалентное статическое поле с постоянной напряженностью(5.17)и статическое поле, обязанное происхождением СВЧ-полю, с соответствующиминапряженностями E y , E z , зависящими от координат. Исключая из (5.17) В с помощью(5.9), получаем(5.18)Если vф=vп, то E'0=0.
Следовательно, в частном случае, когда фазовая скорость волны ипереносная скорость электронов равны, в уравнении (5.16) останутся толькосоставляющие СВЧ-поля.С учетом (5.18) уравнения движения (5.16) принимают вид:(5.19)Для анализа движения электронов в подвижной системе координат можноиспользовать выводы, полученные при рассмотрении статических полей, так какуравнения (5.19) и (5.4) имеют одинаковый вид, только вместо напряженности поля Е0необходимо брать напряженность результирующего поля Ep, являющуюся векторнойРис.
5.5суммой E'0 и напряженности Е СВЧ-поля, проекции которой обозначены Еу и Еz (рис. 5.5),т. е.(5.20)Вектор Е всегда направлен по касательной к силовой линии СВЧ-поля.87Таким образом, движение электронов в подвижной системе координат можнорассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.
Скоростьпоступательного движения по аналогии с (5.9) и (5.10) можно выразить формулой(5.21)т. е. в любой точке переносная скорость v'п должна быть перпендикулярна к векторумагнитной индукции В и результирующему вектору напряженности электрического поляЕр. Теперь для описания движения электрона в подвижной системе координат можноиспользовать механическую модель с катящимся диском (см, рис.
5.2), Величина v'п – этопоступательная скорость центра диска. Если в неподвижной системе координатпереносная скорость равна фазовой скорости (vп=vф), то по формулам (5.18) и (5.20) E'0=0,Ep=E и поэтому из (5.21)Следовательно, в этом частном случае v'п перпендикулярна Е, т. е. к касательной ксиловой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
