Алгоритмы с группированием наблюдений. Квазислучайные процессы. Эквивалентный коррелятор (1151983)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Алгоритмы с группированием наблюдений5.1. Квазислучайные процессыПрежде чем перейти к алгоритмам с группированием наблюденийнеобходимо привести краткие сведения о т.н. квазислучайных процессах,которые играют ключевую роль в алгоритмах с группированием наблюдений.Как правило, при синтезе алгоритмов фильтрации марковскихпроцессовоцениваемыйСПзадаётсяввидестохастическихдифференциальных уравнений:dλ g  t , λ   nλ  t  ;dtКвазислучайнымиdλ A  λ  t   nλ  t  .dtназываютпроцессы,(5.1)которыеполностьюопределяются заданием своего значения в некоторой точке (например, приt  t0 ).

Это эквивалентно тому, что такой процесс удовлетворяет следующемудифференциальному уравнению:dλdλ g  t , λ  или (для линейной модели) A  λ t  .dtdt(5.2)То есть у квазислучайного процесса отсутствует формирующий шумn λ  t  в правой части. Другими словами марковский квазислучайный процессимеет нулевой коэффициент диффузии N λ  0 .Вдискретномвремениквазислучайныйпроцессописываетсясравнениями вида:λ k  g  tk , λ k 1  или (для линейной модели) λ k  F  λ k 1 .(5.3)Замечательной особенностью квазислучайных процессов является то,что для них можно получить точное решение уравнения Стратоновича(например, для модели наблюдения сигнала на фоне аддитивного БГШ) вявном виде. Именно это и позволяет произвести техническое упрощение валгоритмах с группированием.Получим такое явное решение для линейной модели (5.3).

Модельнаблюдения будет иметь вид: k  s  tk , λ k   nk .(5.4)Так как по условию задано значение процесса λ 0 при t  t0 , то значениеоцениваемого процесса в момент t  tk будет очевидно равно:λ k  F k  λ 0  exp  A   t  tk    λ 0(5.5)Представим модель наблюдения (5.4) в виде: k  s  tk , F k λ 0   nk .(5.6)ФП наблюдения  k в модели (5.6) имеет вид:21p  k λ 0  ck  exp  k  s  tk , F k λ 0   2 Dn ,0(5.7)Видно, что для каждого момента времени t  tk сигнал зависит отпостоянной случайной величины λ 0 . Поэтому задача сводится к оценкепостоянной случайной величины λ 0 по наблюдению (5.6).Решение такой задачи (выражение для АПВp  λ 0 ξ 0k  на всеминтервале наблюдения t0 ; tk  ) из общих уравнений нелинейной фильтрациимарковских процессов Стратоновича даётся следующим выражением(предлагается вывести в качестве простого упражнения):kp  λ 0 ξ 0k   c%k  p pr  λ 0    p  q λ 0 q 12 1 c%k  p pr  λ 0    exp  q  s  tq , F q λ 0  q 1 2 Dn ,0k(5.8)Для получения ПВ p  λ k ξ 0k  достаточно воспользоваться правиломпересчета ПВ при функциональном преобразовании:λ k  Fk  λ 0  λ 0   Fk   λ k  Fk  λ k .1Тогда получаем:k111p  λ k ξ   c%k  det  F k    p pr  F k  λ k   p  q  F k  λ k q 1k021 c%k  det F   p pr  F λ k    exp  q  s  tq , F q  k λ k   q 1 2 Dn ,0 c%%k  det F  k   p pr  F  k λ k  kkk(5.9)1 k 1 kq kq kq k exp λFλFλst,Fst,st,q q qkkqk 2 Dn ,0 q 1 Dn ,0 q 15.2.

Алгоритм с группированием наблюденийИсходная идея алгоритма с группированием наблюдений заключается втом, чтобы формировать оценки процесса λ k с темпом меньшим, чем темппоступления наблюдений  l . Обозначим далее интервал формированияоценок через h  tk  tk 1 , а темп поступления наблюдений hd  tl  tl 1 . Такаяпостановка связана с тем, что в радиотехнических системах, как правило,большинство оцениваемых процессов протекают гораздо медленнее темпапоступления наблюдений.Существуют, по крайней мере, два варианта решения подобной задачи:1. алгоритм калмановско-винеровская фильтрация;2. алгоритм с группированием наблюдений.Алгоритм калмановско-винеровской фильтрации является точнымрешением упомянутой выше задачи в рамках линейной фильтрации.Алгоритм с группированием наблюдений является приближеннымрешением именно задачи нелинейной фильтрации.

Из чего следует болееширокаяобластьпримененияименноалгоритмасгруппированиемнаблюдений.Пусть необходимо оценить процесс λ 0  t  , описываемый модельюаприорной динамикиdλ 0 g t, λ 0   nλ t dt(5.10)по наблюдениям вида:  t   s  t , λ 0   n0 .Для получения алгоритма с группированием наблюдений разобьём осьвремени на интервалы группирования tk 1 , tk  . На каждом таком интервалеисходный фильтруемый процесс λ 0  t  аппроксимируется квазислучайнымпроцессом λ  t  , совпадающим с процессом λ 0  t  в некоторой точкеtk  tk 1 , tk  (рисунок 5.1):λ  tk   λ 0  tk   λ k ,и удовлетворяющего уравнению:dλ f  t , λ  или при линейной аппроксимацииdtλ k  Fd  λ k 1 ,непрерывном времени) иFd  exp  A d  h dλ Ad  λ t dt(в(в дискретномвремени).Будем тогда вместо задачи оценки исходного процессаλ0 t рассматривать задачу фильтрации аппроксимирующего процесса λ  t (рисунок 5.1).Далее заметим следующее.

Так как квазислучайный процесс полностьюопределяется заданием в некоторой точке, то новый аппроксимирующийпроцесс λ  t  (который мы и хотим фильтровать!) полностью определяетсязаданием последовательности λ k  λ  tk  . Одновременно с этим решение дляАПВ квазислучайного процесса λ  t  на каждом интервале tk 1 , tk  можнополучить аналитически. Именно это и позволяет в итоге упростить решениезадачи фильтрации. t 0  t ttk 1tktkРисунок 5.1tk 1Полнуюошибкуоценкиисходногопроцессаλ0 t вмодифицированной задаче (фильтрация процесса λ  t  , аппроксимирующегоλ 0  t  ) можно разбить на две составляющие:1. ошибкафильтрацииаппроксимирующегопроцессаλ t  :ε1  t   λˆ  t   λ  t  ;2. ошибка аппроксимации: ε 2  t   λ  t   λ 0  t  .Функция f  t , λ  , моменты времени tk  tk 1 , tk  , а также длительностьинтерваловh  tk  tk 1выбирают так, чтобы обеспечить приемлемыезначения ошибки аппроксимации ε 2  t  .Минимизация же первой ошибки ε1  t  обеспечивается применениемметодов теории оптимальной фильтрации марковского процесса λ  t  .Обозначим через pk  t , λ  АПВ процесса λ  t  на интервале tk 1 , tk  .Тогда, учитывая результат (5.9) можно записать:pk  t , λ   c%k  det  Fd L   pk  λ k ξ 0k 1   exp  I k  λ k   Ek  λ k  ,1 LIk  λ k   k 1,l s  tk 1,l , Fdl L λ k Dn ,0 l 1(этоиесть(5.11)корреляционныйинтеграл в алгоритме с группированием наблюдений),1 LEk  λ k  s  tk 1,l , Fdl  L λ k  s  tk 1,l , Fdl  L λ k  .2 Dn,0 l 1Причем pk  λ k ξ 0k 1  – экстраполированная ПВ по наблюдениям напредыдущих интервалах – определяется как:pk  λ k ξ 0k 1   pλλ k 1k 1ξ 0k 1  p  λ k λ k 1  dλ k 1 ,(5.12)где p  λ k λ k 1  – условная ПВ, определяемая моделью динамики процессаλ 0  t  (5.10).В непрерывном времени выражение для корреляционного интегралаI k  λ k  в алгоритме с группированием наблюдений будет иметь вид:2Ik  λ k  N0tk   t  s  t , exp  A  t  t    λ  dt .dkktk 1В рамках локальной гауссовской аппроксимации (например, РФК)алгоритм с группированием наблюдений будет иметь вид:λ  t   exp  A d  t  tk    λ k , t  tk 1 , tk  ,Dλˆ k  λɶ k  λ,1k H  λɶ   ɶ 1 Dλ 1, k  Dλ ,k1 L T ɶ H λ k ,l  H λɶ k ,l ,Dn,0 l 1Dn,0LTk ,ll 1k ,l s tk 1,l , λɶ k ,l ,   (5.13)ɶ  F D FT  DDλ ,khλ , k 1 hn ,λλɶ k  Fh  λˆ k 1 , λɶ k ,l  Fdl  L λɶ k , H λ% k ,l s tk 1,l , λ% k ,lλT.Из выражения для коррелятора видно, что в корреляторt полученногоалгоритма фильтрации в опорном сигнале подставляются оценки РНПсигнала, которые изменяются внутри интервала группирования h всоответствие с моделью аппроксимирующего квазислучайного процесса(указанная модель динамики задаётся матрицами A d и Fd ).На практике в навигационных приемниках в качестве модели динамикиаппроксимирующих квазислучайных процессов выбирают: для фазы несущей – линейную модель вида: %k ,l  %k ,l 1  hd  f k 1 ; для задержки кода – модель постоянной величины (ступенчатаяаппроксимация).Указанная модель для задержки кода допустима в силу медленностиизменения задержки на интервалах группирования 1…20 мс (именно такиедлительности интервалов h используются в большинстве существующихНАП).5.2.

Эквивалентный корреляторРассмотренный алгоритм с группированием наблюдений позволяет нетолько упростить аппаратную реализацию алгоритмов фильтрации (т.е.упросить жизнь инженеру-разработчику), но и облегчить моделирование ианализхарактеристикалгоритмов(т.е.упроситьжизньнаучномусотруднику).Основная идея статистического эквивалента коррелятора состоит в том,чтобы заменить «настоящий» коррелятор I k  λ k  на статистическую модель.А именно представить I k  λ k  в виде комплексной случайной гауссовскойвеличины:IQk  λ k   I k  j  Qk  M IQ  λ k   nIQ ,(5.14)где I k и Qk – синфазный и комплексный отсчеты коррлятора; nIQ –комплексный ДБГШ;nIиnQ– независимые ДБГШ с нулевымиматематическими ожиданиями и равными дисперсиями DI  DQ .Представление величины выхода коррелятора именно в виде моделигауссовской величины (5.14) обосновано тем, что даже при воздействии наприемник негауссовской помехи в корреляторе осуществляется умножениена опорный код ПСП, значительно снижающий корреляцию отсчетоввходного сигнала, и суммирование достаточно большого числа слагаемых вида  k  sk λ% k .

Все это приводит к «гауссизации» помехи на выходекоррелятора.Как будет показано ниже математическое ожидание M IQ  λ k  будетзависеть только от ошибок текущих экстраполированных оценок РНПсигнала (т.е. M IQ  λ k   M IQ  ε λ%  ). Таким образом, моделирование честногокоррелятора, включающее моделирование входящего и опорного сигналов наПЧ (!!), заменяется моделированием истинных РНП и оценок РНП,формируемых в алгоритме.Дляконкретизациикоррелятораλ k   k(5.14)видабудемматематическихполагать,чтовыраженийвекторРНПмоделисигналаf k  , а модели динамики компонент λ k внутри интервалаkгруппирования h имеют вид:%k ,l  %k ,l 1  hd  f k 1 ;%k ,l  %k 1 .При этом оценка фазы несущей, как правило, привязана либо к началуинтервалагруппирования( tk  tk 1 ),либоксерединеинтервала(tk   tk 1  tk  2 ).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы