Раздел №4. Теоретические основы фильтрации (1151965)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Теоретические основы фильтрации4.1. Формулировка задачи фильтрацииВ достаточно общем виде задачу фильтрации можно сформулироватьследующим образом. Пусть непосредственному наблюдению доступнареализация векторного, в общем случае, случайного процесса ξ ( t ) ,являющегося детерминированной функцией от полезного векторного сигналаs ( t , λ ( t ) ) и помехи (векторной) n ( t ) :()ξ (t ) = Φ s (t, λ (t )) , n (t ) .(4.1)где λ ( t ) = λ1 ( t ) K λn ( t )  – векторный (многокомпонентный) случайныйTпроцесс, подлежащий оценке.Задание наблюдения ξ ( t ) , полезного сигнала s ( t ) и помехи n ( t )векторными величинами характерно, например, для задач пространственновременной обработки навигационных сигналов при использовании антенныхрешеток.

Для большинства других задач приема и обработки сигналов ГНСС,рассматриваемых далее, характерно задание указанных величин какскалярных, т.е.:ξ (t ) = Φ ( s (t, λ (t )) , n (t )) .Заметим попутно, что практически во всех задачах подразумеваетсяименновекторный(многокомпонентный)случайныйпроцессλ (t ) ,подлежащий оцениванию.В силу того, что оцениваемой величиной является именно случайныйпроцесс (случайная величина, меняющаяся во времени), задача оптимальнойфильтрации является одной из наиболее общей в теории статистическойрадиотехники и теории оптимального приема. В силу этого в рамках теорииоптимальной фильтрации в принципе могут быть решены многие другиезадачи (задачи поиска и обнаружения, задача оценки параметров сигнала идр.).Предполагаются известными следующие априорные сведения онаблюдаемом процессе ξ ( t ) :1.

известенконкретныйвидфункцииΦ (•)(т.е.способкомбинирования полезного сигнала и помехи);2. сигналs (t, λ (t ))являетсяизвестнойдетерминированнойфункцией аргументов t и λ ;3. известнывсенеобходимыевероятностныехарактеристикислучайного процесса λ ( t ) и помехи n ( t ) .Основная цель задачи фильтрации состоит в том, чтобы используяуказанныеаприорныхнаблюдениюсведенийреализациюислучайногодоступнуюпроцессанепосредственномуξ (t )сформироватьапостериорную плотность вероятности (АПВ) оцениваемого процесса λ ( t ) –p ( λ ξ ) . Имея АПВ процесса λ ( t ) можно получить собственно его оценкуλˆ ( t ) по любому критерию.Пусть в общем случае имеется наблюдение ξ ( t ) на интервале [ 0, t ] инеобходимо получить оценку λˆ ( t + τ ) .

В зависимости от значения величиныτ в теории оптимальной фильтрации различают три более узких задачи:1. при τ = 0 говорят о задаче текущей фильтрации (или просто озадаче фильтрации);2. при τ < 0говорят о задаче интерполяции (не путать синтерполяцией функций в математике!);3. при τ > 0 говорят о задаче экстраполяции (предсказании).Существуют задачи, которые по самой своей исходной постановкепредполагают неполные сведения о помеховой составляющей n ( t ) . К такимзадачамотносятся,например,алгоритмыпространственнойипространственно-временной обработки сигналов в условия воздействиямощныхпреднамеренныхинепреднамеренныхпомехиалгоритмыоптимального приема сигналов на фоне негауссовских помех.

Подобныезадачи также имеют решения в рамках методов оптимального приема. Приэтом, как правило, в таких алгоритмах (квазиоптимальных) присутствуютблоки (модули), отвечающие за оценку тех или иных параметров ихарактеристик помехи.В дальнейшем во всех задачах будет рассматриваться наблюдениевида:ξ ( t ) = s ( t , λ ( t ) ) + n0 ( t ) ,(4.2)где n0 ( t ) – белый гауссовский шум (БГШ) с нулевым математическиможиданием и двухсторонней спектральной плотностью мощности шумаN0 2 .В настоящее время в задачах оптимальной фильтрации наибольшеераспространение получил аппарат теории марковских случайных процессов.Это связано с тем, что теория марковских процессов достаточно хорошоразвита и для таких процессов получено много практически интересных иконструктивных результатов.Во всех задачах, рассматриваемых в рамках настоящего курса,оцениваемый случайный процесс λ ( t ) задается в виде стохастическогодифференциального уравнения:dλ ( t )= g (t, λ ) + nλ ( t ) ,dt(4.3)где g ( t , λ ) – некоторая заданная детерминированная функция; n λ ( t ) –векторный БГШ, называемый формирующим шумом.4.2.

Краткие сведения из теории марковских процессовМарковским процессом называется случайный процесс для которогопри фиксированном значении ξ ( u ) случайная величина ξ ( t ) , t > u независят от ξ ( s ) при s < u .Случайный процесс ξ ( t ) является марковским, если для любых nмоментов времени t1 < t2 < … < tn условная функция распределения значенияξ ( tn ) удовлетворяет следующему соотношению:{} {}P ξ ( tn ) ≤ ξ n ξ ( t1 ) = ξ1 ,…, ξ ( tn −1 ) = ξ n −1 = P ξ ( tn ) ≤ ξ n ξ ( tn −1 ) = ξ n −1 .(4.4)Таким образом, знания значений марковского процесса в более ранниемоменты времени не добавляют информации о значении процесса в текущиймомент времени.Из соотношения (4.4) следует, что n-мерная плотность вероятностимарковского процесса может быть представлена в виде:n −1p (ξ1 , ξ 2 , …, ξ n ) = p (ξ1 ) ⋅ ∏ p (ξ i +1 ξ i ) .(4.5)i =1Из соотношения (4.5) непосредственно следует, что что n-мерноераспределение марковского процесса полностью определяется одномернымраспределениемp (ξ1 )и условной плотностью вероятности переходаp (ξ 2 ξ1 ) .

Иначе говоря, описание марковского процесса достигаетсязаданием его двумерной ПВ:p (ξ1 , ξ 2 ) = p (ξ1 ) ⋅ p (ξ 2 ξ1 ) .(4.6)Непрерывные марковские процессы обладают также следующим{свойством: для них эволюция вероятности перехода P ξ ( t ) ≤ ξ ξ ( t0 ) = ξ 0}описывается уравнением вида:dP= L { P} ,dt(4.7)где L {•} – некоторые линейный оператор.Указанное свойство позволяет исследовать марковские процессы припомощихорошоразработанныхметодовтеориидифференциальныхуравнений.В теории марковских процессов показано, что при некоторыхдостаточно общих условиях, плотность вероятности перехода удовлетворяетследующему уравнению:∞−1) ∂ n∂( K n ( λ , t ) ⋅ p ( λ , t λ0 , t0 )  ,p ( λ , t λ0 , t0 ) = ∑∂tn! ∂λ n n =1n{(4.8)}n 1 где K n ( λ , t ) = limMλt+∆t−λtλ (t ) .()()∆t →0 ∆t В теории марковских процессов (и в частности в теории оптимальнойфильтрации) часто рассматривают важный частный случай уравнения (4.8),когда только первые два коэффициента K1 ( λ , t ) и K 2 ( λ , t ) отличны от нуля,а остальные коэффициенты K n ( λ , t ) при n ≥ 3 равны нулю:K n ( λ , t ) ≠ 0; n = 1,2 и K n ( λ , t ) ≡ 0; n ≥ 3 .(4.9)Марковские процессы, удовлетворяющие условию (4.9) называютдиффузионными.

При этом, как правило, коэффициенты K1 ( λ , t ) и K 2 ( λ , t )обозначают как a ( t , λ ) и b ( t , λ ) соответственно. Коэффициенты a ( t , λ ) иb ( t , λ ) традиционно называют коэффициентами сноса и диффузии илилокальными характеристиками процесса λ ( t ) .Таким образом, для диффузионных марковских процессов уравнение(4.8) упрощается и переходит в уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова(ФПК), называемое также прямым уравнением Колмогорова:∂∂p ( λ , t λ0 , t0 ) = −  a ( t , λ ) ⋅ p ( λ , t λ0 , t0 )  +∂t∂λ1 ∂2b ( t , λ ) ⋅ p ( λ , t λ0 , t0 ) +2 ∂λ 2 (4.10)Одномерная плотность вероятности диффузионного марковскогопроцессаp ( t , λ ) также удовлетворяет уравнению ФПК с начальнымусловием p ( t0 , λ ) = p0 ( λ ) :∂p ( t , λ ) = L { p ( t , λ )} =∂t,∂1 ∂2= −  a ( t , λ ) ⋅ p ( t , λ )  +b ( t , λ ) ⋅ p ( t , λ ) ∂λ2 ∂λ 2 (4.11)где L { p ( t , λ )} – оператор ФПК.В теории марковских процессов доказывается, что если случайныйпроцесс λ ( t ) описывается следующим дифференциальным стохастическимуравнением:dλ ( t )= g (t, λ ) + f (t, λ ) ⋅ nλ ( t ) ,dt(4.12)где g и f – детерминированные непрерывно дифференцируемые функциисвоих аргументов, удовлетворяющие условию Липшица; n λ ( t ) – БГШ;то процесс λ ( t ) является марковским процессом.При этом стохастическое уравнение (4.12) рассматривается либо вформе Ито, либо в форме Стратоновича.Видно, что уравнение (4.3) является частным случаем уравнения (4.12).В качестве простых примеров марковских диффузионных процессовприведем следующие гауссовско-марковские процессы.Постоянная величинаСтохастическое дифференциальное уравнение:dλ= 0,dtp ( t0 , λ ) = δ ( λ − λ0 ) .Коэффициенты сноса и диффузии: a ( t , λ ) = 0, b ( t , λ ) = 0 .Решение для одномерной ПВ: p ( t , λ ) = δ ( λ − λ0 ) .Винеровский процессСтохастическое дифференциальное уравнение:dλ= n (t ), λ (0) = 0 ,dtгде n ( t ) – гауссовский стационарный случайный процесс с нулевымматематическим ожиданием и дельтообразной корреляционной функцией(БГШ).M {n ( t )} = 0, Rn (τ ) =N0δ (τ ) .2Указанное уравнение для винеровского процесса также можнотрактовать как определение БГШ через винеровский процесс: БГШ естьпроизводная винеровского процесса по времени.Коэффициенты сноса и диффузии: a ( t , λ ) = 0, b ( t , λ ) =N0.2 −λ 2 1Решение для одномерной ПВ: p ( t , λ ) =exp , t > 0 .Ntπ N 0t 0 Гауссовский экспоненциально-коррелированный случайный процессСтохастическое дифференциальное уравнение:dλ= −αλ + γ n ( t ) , λ ( 0 ) = 0 ,dtгде n ( t ) – БГШ.M {n ( t )} = 0, Rn (τ ) =N0δ (τ ) .2Коэффициенты сноса и диффузии: a ( t , λ ) = −αλ , b ( t , λ ) = γ 2РешениедляодномернойстационарнойПВприN0.2t → ∞: −λ 2 γ 2 N0pst ( λ ) =exp , t →∞. , Dλ =α2D42π Dλ λ1В стационарном состоянии (при t → ∞ ) корреляционная функциятакого процесса является экспоненциальной:R (τ ) = Dλ exp ( −α τ ) .4.3.

Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации марковскихпроцессовКак правило, при решении различных задач теории оптимальнойфильтрации в зависимости от постановки и условия задачи рассматриваютуравнениеоптимальнойфильтрациимарковскихпроцессовлибовнепрерывном времени, либо в дискретном.Приведенные ниже уравнения описывают эволюцию во времениапостериорной ПВ (АПВ) p ( t , λ ξ t0 ) оцениваемого процесса λ при наличиинаблюдения ξ t0 на отрезке времени [ 0, t ] .Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессовв непрерывном времениУравнения для наблюдения и сообщения имеют соответственно вид:ξ ( t ) = s ( t , λ ( t ) ) + n0 ( t ) ,dλ ( t )= g (t, λ ) + nλ ( t ) ,dtгде n 0 ( t ) и n λ ( t ) – векторные БГШ с корреляционными матрицами N 0 и N λсоответственно.Уравнения оптимальной фильтрации Стратоновича:∂p ( t , λ )= L { p ( t , λ )} +  F ( t , λ ) − ∫ F ( t , λ ) p ( t , λ ) dλ  ⋅ p ( t , λ ) ,∂tгде p ( t , λ ) = p ( t , λ ξ t0 ) ;L {•} – оператор ФПК;(4.13)F ( t , λ ) = sT ( t , λ ) N 0−1 ξ ( t ) − (1 2 ) s ( t , λ )  – функция правдоподобия длянаблюдения ξ ( t ) .Первое слагаемое в правой части уравнения (4.13)– оператор ФПК –соответствует учету априорных сведений о динамике фильтруемогосообщения, второе слагаемое соответствует учету наблюдения ξ ( t ) .Отметим, что функция правдоподобия F ( t , λ ) будет иметь указанныйвид только для наблюдения на фоне некоррелированного гауссовского шума(БГШ).Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессовв дискретном времениВ этом случае уравнения для наблюдения и сообщения в дискретномвремени имеют соответственно вид:ξ k = s ( tk , λ k ) + n 0,k ,(4.14)λ k = g ( tk , λ k −1 ) + n λ ,kгде n 0,kи n λ ,k – векторные дискретные БГШ (ДБГШ) с нулевымиматематическими ожиданиями и корреляционными матрицами D0 и Dλсоответственно.Уравнения оптимальной фильтрации в дискретном времени для АПВфильтруемого процесса на текущем шаге λ k по имеющейся совокупностинаблюдений ξ 0k = {ξ 0 , …, ξ k } имеют вид:()p ( λ k ξ 0k ) = p ( λ k ξ 0k −1 ) ⋅ p ξ k λ k ,(4.15)p ( λ k ξ 0k −1 ) =(4.16)∫ p(λλ k −1k −1ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1 ,(где p ξ k λ k)– функция правдоподобия наблюдения; p ( λ k λ k −1 ) – условнаяПВ перехода для фильтруемого сообщения.Уравнения оптимальной дискретной фильтрации (4.15) и (4.16) имеютрекуррентный характер, т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций