Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Хотя на начертании схемы отмеченная выше частотная зависимость коэффициента обратной связи, а также комплексность средней крутизны не отражаются, параметры контура и элементов цепи обратной связи существенно отличаются от параметров при относительно низких частотах. 96. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА В предыдущих параграфах данной главы изучались условия возникновения колебаний и определялась устойчивость стационарного режима автогенератора.
Необходимо рассмотреть весь процесс установления автоколебаний: от включения до установления стационарного режима. Это важно для ряда приложений, когда приходится иметь дело с формированием коротких радиоимпульсов (например, в импульсных радиосистемах). Для полного описания работы автогенератора, охватывающего все стадии процесса установления, необходимо отказаться от условия малости амплитуд, лежащего в основе линейного дифференциального уравнения (9.9'). Использованное при составлении этого уравнения линейное выражение (9.6) га = снск (накД7!) = 8 (пск апас)» необходимо заменить нелинейной функцией (а = тр (иск — Юнак) (9.26) определяющей анодный ток (а при любых значениях иск и и,к. Для дальнейшего исследования удобно перейти от схемы, изображенной на рис.
9.3, а, к схеме, показанной на рис. 9.16. Использованная в этой схеме параллельная схема замещения колебательного контура, не меняя сути дела, упрощает составление дифферен- РкС. 9зб Схема такса|секс автотекератора, соо|астс1кткакак ураекежко (9.29). цнального уравнениЯ длЯ напрЯжеииЯ йак, действующего на кон- туре. При выбранных направлениях гоков и напряжений можно написать следующие исходные уравнения: то+(к+ (~ = (а (9.27) (с = С вЂ”," ~н = — "" (ь = — и г(б (9.28) Подставляя выражения (9.26) и (9.28) в (9.27), получаем + нак + ~ пак о(Г='Ф (нск ~)как)' (9" 29) Заметим, что если не Учитывать влиЯние иа„на пж 1, 7( с с) ~ то в с к Ко она к Введем обозначение Км = Кос — О.
(при Преобразуем теперь аргумент нелинейной функции ар, выразив ис„через иак. Непосредственно из схемы с трансформаторной свяаью (рис. 9.16) вьпекает соотношение и„= М (е((ь(е(г), а из третьего равенства (9.28) следует, что йьйУс иа„Я,. Следовательно и, и МК.
Итак, иск — 1)нак = ИИ, — О) пак = (7(ос ~"~) пак Тогда Ф (и,„— Ои,„) = ф!(ʄ— О) и,„) = = ф (Колпак). (931) Подставляя зто выражение в (9.29) и дифференцируя последнее по А получаем ~Р ид„! й~~„1 ! '~~'(Кос "~") — + — — + — и да СВ Щ СС С ги или "'"-+" !" " ',у(К.,и,„)1+ ' и„,=О. (9.33 Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение. Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (9.32) какой-либо подходящей аппроксимации функции Ф (К,и„„).
Наиболее удобной является аппроксимация с помощью степенного полинома. Чтобы ие слишком усложнять задачу, обычно исходят из неполного полинома третьей степени (см. (8.13)): /„=ф(КО, и,„) =а, Ко, и,„+а,(К;,и,„)'= а1 Кос иаь ! а~ ! (Ка иаь) (9.33) Входящее в выражение (8.8) слагаемое 1 ((l,) опущено, так как оно не оказывает влияния на поведенне функции и,„, Знак минус перед кубическим членом взят в соответствии с формулой (8.!4).
Аппроксимация (9.33) пригодна при фиксированном положении рабочей точки на вольт-амперной характеристике (в точке перегиба, см. рис. 8.5). Следовательно, при атом не учитывается изменение напряжения смещения У~ в процессе нарастания амплитуды колебания (при автоматическом смещении). Тем не менее, как показывает опыт, аппроксимация (9.33) все же позволяет выявить основные черты процесса установления колебаний в генераторе, работающем в мягком режиме.
Подставляя (9.33) в (9.32), получаем и~и„ и ~1 /~ + — ~ — ~ — — Ко, а,~ иа„+ ! аа ! Кос иэк~ + — иав = О да ги СС или '" — (2! а,„, ! — Т,„,и,',) — '" +оси,„=О, (9.34) д где использованы обозначения 2аанв (1% Кос ат)/С1 Уанв=3 ! аа ! Кос/С~ ы3= 1// С. Э Зб) Заметим, что в самовозбуждающемся генераторе а-,„„( О (см. 5 9.2). Разделив (9.34) на соа и введя малый параметр и = 2) ияя,(/соо, (9.38) получаем Д Яая / ° Уеья а 1 1 Дпак Переходя, наконец, к безразмерному времени т = соо/, получаем уравнение, известное под названием уравнения Ван дер Поля: (9.37) При малых напряжениях, когда )/уаея/2)аеяя~ пан(( 1 уравнение (9.37) переходит в линейное уравнение, совпадаюсцее с уравнением (9.9') (при переходе в последнем к безразмерному времени, а также при учете различия между схемами на рис.
9.3 и 9.!6). С увеличением амплитуды напряжения аая все сильнее проявляется нелинейность системы, обусловленная величиной (у„ /2 ~ сс,яа () из,. Методов, позволяюших получить точное решение нелинейного уравнения (9.37), не существует. и/Е ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ АВТОГЕИЕРАТОРА В применении к данной задаче суть приближенного метода заключается в том, что отыскивают решение нелинейного уравнения (9.37) в форме высокочастотного колебания мея = А (сое/) соз сое/ = А (т) соз т, (9.38) где со, = сор — резонансная частота контура, т.
е. соа = 1/)/ьС; А (т) — функция„медленно изменяющаяся во времени. Основанием для такого подхода является допущение высокой добротности колебательного контура, при которой для существенного изменения амплитуды и, следовательно, запасенной в контуре знергии требуется время, измеряемое значительным числом периодов. Условие медленности изменения амплитуды, сформулированное в у 3.1, предполагается выполненным. Итак, для отыскании приближенного решения уравнения (9.37) остается найти только функцию А (т), т. е. огибающую амплитуд колебания. Частота колебания просто приравнивается соо = 1/)//.С а началытая фаза, которая в решении (9.38) опушена, может быть принята любой в зависимости от начальных условий запуска генератора'. з В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания н пропессе установления могут являться функпиями вРемени.
Для определения попрааки к частоте необходимо находить. второе или даже более амсокие приближения. Подставим (9.38) в уравнение (9.37). Предварительно найдем троизводные от функции и „= А (т) соз т, для краткости опустим зргумент функции А (т), а производную АА (т)Д(т обозначим чезез А: и = А соз "з; — "' = — А яп т + А соз з, анан ан з!т — '"' = — Асозт — Аяпт — Аяпт+Асозт ж — Асозт — 2Аз(пт, дзз э днак ! А(нвк) ! д 3 3 (А соз т) = Жт 3 за 3 з!з Аз 1 э!Аз Аз = — — яп т + — — сот 'з ж — — яп т. 4 нт 4 Слагаемое с А отбрасывается, так как вторая производная чедленно меняющейся функции является величиной второго порядка малости; слагаемое, содержащее соз Зт = соз Зезэй которое получаезси при возведении в куб соз т отбрасывается, так как утро- :иная частота отфильтровывается колебательным контуром, настроенным на частоту зэв.
Кроме того, следует иметь в виду, что по- 1 следнее слагаемое — (з(АзЫт) соз т после подстановки в уравнение 4 (9.37) и умножения на малую величину а также отбрасывается, как величина малая по сравнению со слагаемыми с коэффициентами А, А или вА'. Произведение еА соз т также отбрасывается. В результате уравнение (9.37) приводится к виду 2А яп т — еА яп т+ — яп т втэка А" 2(вээкв! 4 =(2А — аА+ т'н" ) яп т = О. 2 ! аанв ! Так как яп т чь О, то приходим к следующему уравнению для амплитуды: тэна 2А в(А ' ~ =О. 2! ывнв ! 4 Умножая иа А и учитывая, что 2АА = з(АМт, переписываем это уравнение в форме — — в1А — ' — 7! =О.
дА / з тэна (9.39) Нз ~ 2!вээнв! 4 ! Получилось уравнение первого порядка относительно квадрата амплитуды. Стационарная амплитуда Ав, определяется сразу, достаточно приравнять нулю производную от А'. Таким образом, 2(<зэка! 4 откуда А „=9/')/т„„,/3! а,кк! (9,4О) и уравнение (9.39! принимает вид ИАтИт — е (А' — А'/А,) = О. (9.41) Для решения этого уравнения используется подстановка А' = !/х. Тогда А,'т = 1/х„и д(!/к) / ! е~ д» ~к или — +е(х — х„) =О.
кк дт Разделяя переменные "х /(х — хтт) = — ест н интегрируя, получаем !и (х — х„) + С = — ет. Следовательно, !и (х — х„) — !и (х, — х„) = ве езт ко — ктт (9.42) откуда х = х, И + (х,/х„— 1) ект) или — — 1+ — '" — 1 е Наконец. учитывая выражение (9.36) я т = ые/, а также то, что "ткь ( О, получаем Лет А ст !+ ('! тИю - 1) е ~ ! ткк 9 . (9.43) Пусть начальное значение амплитуды колебания в момент т = О равно А,. Тогда соответствуюшее этому моменту значение х равно !/А'„. Полагая в последнем выражении т = О, находим постоянную интегрирования С: С = — !и (хе хст) Лэ 1 ! ( ст 1)е — 2!аэкэ1~ лет е — !аэкэ!' ( л„, ла и выражение (9.44) принимает внд пэк (1) Аэ е! экв(' соч (оз„1+8 ), совпадающий с видом выражения (9.10), выведенного для липейноао режима (прн малых амплитудах).
тат)/Ат 4 б а (Ный(Г Рис. 9.18. Характер нарастания огибакэ щей антоколсбании прп различных начальных условиях, Рнс. 9.17. Процесс установления колебания в автогенераторе. При г-э- оо (стационарный режим) пэк (э) Аст соз (озог + 8о). Ограничение амплитуд, обусловленное введением кубического члена в аппроксимацию вольт-амперной характеристики (9.33), иллюстрируется рис. 9.17, на котором представлен процесс установления колебания в автогенераторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
