Автореферат (1151134), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для этого динамика изменения резервов по данномувиду долгосрочного страхования представляется в непрерывном времени в виде системыдифференциальных уравнений Тиле.Решение системы позволяет получить требуемую модель страхового резерва. Для учета влияния на процентную ставку различных факторов, втом числе отражения ее связи с размером инвестируемых средств, в систему уравнений Тилевводится специальная функция, описывающая требуемую зависимость.Использование данной схемы дает возможность унифицированного построения модели, позволяющей найти размер страхового резерва, который будет адекватен обязательствамстраховщика в любой момент времени t.9Рис. 1. Схема построения модели резерва для договора долгосрочного личногострахованияПри построении моделей резервов использованы следующие обозначения: – интенсивность начисления процента (интенсивность изменения прироста инвестированного капитала), определенная для каждого момента времени; ij (t ) – интенсивности перехода, то есть «мгновенные» по времени вероятности смены состояния i на состояние j в момент времени t. x (t ) – интенсивность смертности по достижению возраста x+t при условии заключения договора страхования жизни в возрасте x.pi (t ) – интенсивность уплаты нетто-премии, которая производится, пока застрахован-ный риск находится в состоянии с номером i;bi (t ) – интенсивность выплаты аннуитета, которая производится, пока застрахованныйриск находится в определенном состоянии с номером i;cij (t ) – размер страховой выплаты, производимой при переходе застрахованного рискаиз состояния с номером i в состояние с номером j;d i (n) – размер страховой выплаты, производимой в случае, если застрахованный рискбудет находиться в состоянии с номером i в момент окончания договора;Vi (t )– размер страхового резерва, который необходимо сформировать в момент вре-мени t, если застрахованный риск находится в состоянии с номером i.102.

Экономико-математическая модель резерва, сформированного по договору смешанного страхования жизни, учитывающая зависимость процентной ставки отразмера резерва по этому договору.Страхование жизни предназначено для уменьшения неблагоприятных финансовыхпоследствий, вызванных смертью застрахованного лица. Смешанное страхование подразумевает, что обеспечение выплачивается выгодоприобретателю в случае смерти застрахованного лица в течение срока страхования и, возможно в другом размере, при его дожитии доокончания договора.Рассмотрим договор смешанного страхования жизни для некоторого лица (возрастаx), по которому предусмотрены нетто-премия, выплачиваемая непрерывно с интенсивностьюp1 (t ) в год, пока застрахованное лицо живо; выплаты на случай смерти с12 (t ) ; выплаты наслучай дожития d1 (n) .Такой договор описывается моделью с двумя состояниями (состояние 1 "застрахованное лицо живо" и состояние 2 "застрахованное лицо умерло") и единственным возможнымпереходом из первого состояния во второе (рис.

2).Рис. 2. Модель с двумя состояниями для договора смешанного страхования жизниВведение в существующие модели резервов по смешанному страхованию жизни кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от инвестируемого капитала позволит проанализировать влияние использования шкал процентных ставок. Еслифункция  зависит от размера резерва следующим образом: , V (t )  V0 , V1 (t )    0 11 ,V1 (t )  V0 ,(1)где V0  0 – критический уровень резерва, 0   0   1 , то динамика изменения резерва описывается дифференциальным уравнением Тиле:dV1 (t ) p1 (t )   V1 (t )V1 (t )   x (t )V1 (t )  c12 (t ) x (t ).

(2)dtРешение этого уравнения с кусочно-постоянной функцией интенсивности начисленияпроцента (1) будет иметь вид:t  0   x ( s ) dsp()c()()ed , t  t0 ,12x0 1V1 (t )   tt t 1   x ( ) d t 1   x ( s ) ds   p1 ( )  c12 ( )  x ( ) e d , t  t0 ,V0 e 0t0t(3)11где параметры p1 (t ) и t 0 удовлетворяют системе уравнений: V1 (t0 )  V0V1 (n)  d1 (n).(4)Решить в общем виде данную систему не представляется возможным, но в частныхслучаях решение можно получить приближенно с помощью численных методов.Приведенная формула (3) дает возможность учесть при формировании резерва посмешанному страхованию жизни не только кусочно-постоянную зависимость процентнойставки от размера резерва по этому виду страхования.

Также пользуясь данной модельюможно рассматривать зависимость интенсивности начисления процента от прочих факторов,не входящих в качестве параметров в систему уравнений Тиле (например, от срока инвестирования и т.п.).Аналогичным образом может быть построена модель резерва по смешанному страхованию жизни, учитывающая линейную зависимость интенсивности начисления процента отразмера инвестируемых средств, т.е. зависимость вида: V1 (t )   kV1 (t )  l ,где k, l – некоторые константы, k  0 .По сравнению с классическими выводами, построенные модели резервов по смешанному страхованию жизни позволяют принимать во внимание при формировании резервавлияние на величину процентной ставки большего набора факторов. Таким образом, эти модели отвечают более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционные, учитывающие зависимость процентной ставки только от текущего момента времени, что позволяетпринимать более обоснованные решения в области финансового менеджмента.3.

Экономико-математическая модель резерва для договора смешанного страхованияжизни, позволяющая учесть кусочно-постоянную зависимость процентной ставкиот размера совокупного резерва, сформированного страховщиком по данному видустрахования.Несмотря на то, что законодательством предписывается расчет резерва отдельно покаждому договору смешанного страхования жизни, инвестируется чаще всего совокупныйрезерв, сформированный для некоторого портфеля (набора) договоров. Таким образом, напрактике чаще всего возникает зависимость процентной ставки не от размера резерва покаждому договору, а от совокупного резерва по портфелю. Для учета подобной зависимостинеобходимо рассмотрение всего набора договоров как единого целого.Под портфелем понимается совокупность отдельных договоров страхования, при этомони могут различаться по некоторым параметрам (например, сроку действия договора, возрасту застрахованного, страховым суммам и т.д.).

В модель вводится предположения о зави12симости интенсивности начисления процента не от размера резерва по каждому договору, аот совокупного резерва по всему портфелю. В случае кусочно-постоянной зависимости такого типа с одним разрывом, функция интенсивности начисления процента задается соотношением , V (t )  V0 , V (t )    01 ,V (t )  V0 ,(5)mгде V (t )   V1 i (t ) – совокупный резерв по портфелю из m договоров, V1 i (t ) – размер резерваi 1в момент времени t, сформированного по договору с номером i, V0  0 – критический уровеньрезерва, 0   0   1 .Динамика общего резерва по портфелю описываетсясуммойуравнений для каждогодоговора, которые являютсядифференциальными уравнениямиТиле с определенной вышеинтенсивностью начисления процента:dV1 i (t )i p1i (t )   V (t ) V1 i (t )   xi i (t )V1 i (t )  c12(t )  xi i (t ),dt(6)где i  1m .Тогда формула для расчета величины резерва для каждого отдельного договора страхования будет иметь вид:t 0   xi i ( s ) ds p i ( )  c i ( )  i ( ) e d , t  t 0 ,112xi0V1 i (t )  tt(7)it()d1   xi i ( s ) ds1x iiiiit  p1 ( )  c12 ( )  x i ( ) e d , t  t 0 ,V1 (t 0 )e 0t0tгде момент времени t 0 и нетто-премии p1i можно найти, решив с использованием численныхметодов систему уравнений:m i  V1 (t0 )  V0 i 1V i (n)  d i (n).1 1(8)Формула расчета совокупного резерва получается суммированием формул для отдельных договоров страхования.Решение задачи учета кусочно-постоянной зависимостипроцентной ставки от размера совокупного резерва по всему портфелю договоров с произвольным числом разрывов может быть построено аналогичным образом.Предложенная в работе модель резерва для договора смешанного страхования жизни,учитывающая кусочно-постоянную зависимость процентной ставки от размера совокупного13резерва, сформированного страховщиком по данному виду страхования, отвечает более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционно используемая модель.4.

Экономико-математическая модель, описывающая резервы по страхованию потеридоходов вследствие полной постоянной утраты трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера резерва.Страхования потери доходов вследствие постоянной полной утраты трудоспособности (Total Permanent Disability Insurance) представляет собой страхование от урона, вызванного неспособностью заниматься приносящей доход деятельностью из-за психического илифизического ущерба, классифицируемого как постоянный в соответствии с условиями договора страхования.

Это долгосрочный вид страхования, договор должен действовать не менее5 лет. По данному виду страхования, как правило, предоставляются регулярные выплатыстрахового обеспечения при стойкой утрате трудоспособности до смерти застрахованноголица или достижения им оговоренного возраста (например, возраста выхода на пенсию).В России данный вид страхования не распространен. Тем не менее, модели, используемые для соответствующих страховых операций, могут быть применены для обоснованиясоциального обеспечения и операций социального страхования, что делает актуальным ихрассмотрение.Рассмотрим индивидуальный договор страхования на случай постоянной полной потери трудоспособности, заключенный сроком на n лет, по которому предусмотрены премия,непрерывно уплачиваемая с интенсивностью p1 (t ) , пока застрахованное лицо трудоспособно;выплата аннуитета с интенсивностью b2 (t ) , производимая в случае постоянной полнойпотери трудоспособности; выплата в размере c 23 (t ) , осуществляющаяся в случае смерти постоянно полностью нетрудоспособного застрахованного лица.Подобный договор страхования описывается моделью с тремя состояниями, соответствующими трудоспособности, полной постоянной нетрудоспособности и смерти застрахованного лица (рис.

3).Рис. 3. Модель с тремя состояниями для договора страхования потери доходоввследствие полной постоянной нетрудоспособности14Пусть функция интенсивности начисления процента  зависит кусочно-постоянно отразмера инвестируемого капитала, то есть от размера резерва Vi (t ) , сформированного по договору страхования на случай постоянной полной потери трудоспособности в момент времени t: , V (t )  V0 , Vi (t )    0 i1 ,Vi (t )  V0 ,(9)где V0  0 – критический уровень резерва, 0   0   1 .Динамика изменения резервов описывается системой дифференциальных уравненийТиле: dV1 (t ) dt  p1 (t )   V1 (t )   12 (t )  13 (t )  V1 (t )  12 (t )V2 (t ) dV2 (t )   V2 (t )    23 (t )  V2 (t )  b2 (t )   23 (t )c23 (t )dt(10)с функцией интенсивности начисления процента вида (9).Формулы для расчета резерва V1 (t ) и V2 (t ) получается при решении указанной системы и может быть представлена в следующем виде:0t0  1   2 3 ( s ) ds 1   2 3 ( s ) dsV  e t  b2 ( )  c23 ( )  23 ( ) ed , t  t0 ,0tV2 (t )  t(11)n  0   2 3 ( s ) dsb2 ( )  c23 ( )  23 ( ) e d , t  t0 ,tttгде момент времени t 0 определяется соотношениемt0nV0   b2 ( )  c23 ( )  23 ( ) e  0   23 ( s ) dsd .(12)t0Формула для расчета резерва V1 (t ) , формируемого в случае, если застрахованноелицо трудоспособно, может быть представлена в виде:tnV1 (t )   V2 ( ) 12 ( )  p1 ( ) e  0  12 ( s )  13 ( s ) dsd .(13)tДля нахождения интенсивности премии p1 (t ) необходимо воспользоваться принципом эквивалентности, который в данном случае соответствует требованию о равенстве нулюрезерва в начальный момент времени.

Характеристики

Список файлов диссертации