Диссертация (1150757), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Традиционным инструментом для такого анализа является преобразование Фурье. Классический анализ Фурье основан навозможности исследования функции () в частотной области с помощью преобразования:ˆ ( ) =∫︁∞ ()−2 .(2.3)−∞Важной особенностью преобразования Фурье является полное отсутствие локализации по времени. Таким образом, преобразование Фурье хорошо подходиттолько для таких процессов, свойства которых слабо меняются со временем. Однако если в некотором параметре процесса произошло значительное изменениеамплитуды одной из гармоник, то преобразование Фурье не сможет определитьмомент этого изменения и будет считать процесс стационарным.Одним из способов устранения этой проблемы является преобразование Гэбора, или как его еще называют — оконное преобразование Фурье. Принципработы этого преобразования заключается в следующем, исходная функция ()разбивается на участки постоянной ширины.
Далее для каждого участка применяется преобразование Фурье:∫︁∞(, , ) = ()−(−)22−2 (2.4)−∞Если сравнить это выражение с 2.3, то увидим, что временное окно выделяет участок функции с центром в точке и шириной . Чем больше параметр, тем большее разрешение по частотам мы можем получить. Однако увеличение приведет к снижению общего числа участков, на которые разделена функция (). Таким образом, увеличение разрешения по частотам влечет за собой56уменьшение разрешения по времени и наоборот.
Так широкое окно даст хорошее представление о низкочастотных составляющих, но будет избыточно длявысоких частот. Наоборот, узкое окно даст подробную информацию о высокочастотных гармониках, но не будет способно адекватно оценить низкие частоты.Для выхода из сложившейся ситуации необходимо сделать окно, ширина которого будет зависеть от частоты.
Таким свойством и обладает вейвлетное преобразование, которое многие исследователи называют «математическим микроскопом» [103], потому что оно имеет уникальное свойство раскладывать сигналодновременно по времени и по масштабу (или частоте).Вейвлетный анализ возник относительно недавно, в 1984 году А. Гроссманни Ж. Морле ввели это понятие, изучая сейсмические сигналы [104]. Эта работавызвала огромный интерес и уже сейчас он превратился в самостоятельную, хорошо развитую область математической физики [105]. В частности применениевейвлетного анализа в исследованиях турбулентности можно найти в [106, 107].Непрерывное вейвлет-преобразование получается путем свертки:∫︁∞ (, 0 ) =−∞* (),() 0(2.5)анализируемой функции () c двухпараметрической вейвлетной функцией,0 (), которая получается из материнского вейвлета 0 ():(︁ − )︁10√,0 () =0.(2.6)Параметр > 0, называемый масштабом вейвлетного преобразования, отвечаетза ширину вейвлета, а 0 — параметр сдвига, определяющий положение вейвлетапо оси [105].
Здесь * — комплексное сопряжение .Обычно интересующий нас параметр записан в виде временного ряда {},где каждое значение задано с одинаковым временным интервалом ∆, =0, . . . , − 1, — число отчетов в исследуемом ряду. Поэтому появляется необ-57ходимость численной реализации вейвлетного преобразования. Самый простойиз них основан на дискретизации уравнения 2.5: (, ) =−1∑︁′ *′ =0(︂)︂(′ − )∆,(2.7)однако этот алгоритм не является оптимальным. Если положить — число масштабов , а значения функции * уже вычислены во всех интересующих насточках, то для расчета необходимо совершить × 8 3 + ( ) арифметическихопераций [105].Второй алгоритм основан на теореме о свертке, которая утверждает, чтофурье-образ свертки двух функций равен произведению фурье-образов этихфункций.
Таким образом, применяя преобразование Фурье (2.3) к свертке (2.5),получаем выражениеˆ = ˆ · ˆ,0(2.8)и далее, применяя дискретное преобразование Фурье (2.1), приходим кˆ (, ) =−1∑︁ˆ ˆ* ( ) ,(2.9)=0где =⎧⎪⎨2/,при 6 /2;⎪⎩−2/,при > /2..(2.10)После вычисления правой части уравнения (2.9) применяем обратное преобразование Фурье и получаем необходимое вейвлетное преобразование. Еслирасчет фурье-образов производить алгоритмом быстрого преобразования Фурье,то для расчета данным методом необходимо совершить × log2 + ( )арифметических операций [105]. Для больших применение такого алгоритмаприводит к значительному увеличению производительности.58В качестве материнского вейвлета будем использовать один из наиболее часто распространенных морлет-вейвлет:20 () = −1/4 0 − ,(2.11)где 0 — параметр вейвлета.
Морлет-вейвлет обладает базисом, хорошо локализованным как по времени, так и по частоте, причем с увеличением 0 растетразрешение по частоте, но ухудшается по времени [105]. Обычно принимается0 = 2, как оптимальное, но для нашего исследования необходимо более точноеразрешение по частотам, поэтому примем 0 = 12.В связи с тем, что длина нашего акустического сигнала порядка 107 , необходимо использовать алгоритм вычисления, основанный на теореме о свертке. Дляморлет-вейвлета фурье-образ имеет следующий вид:ˆ0 ( ) = −1/4 ( )( −0 )22,(2.12)где ( ) — функция Хевисайда.Для пересчета масштабов вейвлета в частоты воспользуемся аналитическимвыражением [105]:(︃ () = 0 +√︀2+402)︃(2.13)Для визуализации полученных вейвлет-преобразований будем использоватьвеличину = | (, )|2 , которую называют локальным спектром энергии.
В нашем случае она характеризует распределение акустической энергии по времении частотам.Интегральная оценка акустической энергии во времени производится с помощью так называемого глобального спектра энергии, который также называютскалограммой или дисперсией вейвлет-преобразования [103]:59∫︁2⟨( )⟩ =| (, )|2 ,(2.14)1которая для дискретизированного сигналы имеет вид21 ∑︁⟨( )⟩ =| (, )|2 ,Δ =(2.15)1где 1 и 2 — начало и конец временного интервала, Δ — число измеренийна этом интервале. В работе [103] показано, что глобальный спектр энергиисоответствует сглаженному фурье-спектру мощности.Программа для обработки акустических сигналов реализована автором в пакете MATLAB.2.7Методика численного моделированияДля последующего анализа особенностей акустического поля блочной сверхзвуковой струи необходимо знать газодинамические характеристики в первой«бочке» струи. Несмотря на развитие аналитических моделей, расчет турбулентных неизобарических неизотермических струй остается задачей аналитическине решенной.
Поэтому для определения параметров струи проведено нестационарное численное решение двухмерных осесимметричных уравнений НавьеСтокса, осредненных по Рейнольдсу (RANS), дополненную −− модельютурбулентности, с использованием коммерческого пакета ANSYS Fluent.Уравнения RANS в интегральном виде выглядят следующим образом:∫︁∮︁[ − ] = +∫︁ — вектор консервативных переменных: .(2.16)60(︁ = )︁,(2.17)где(2.18)2 =ℎ+2(2.19)ℎ = (2.20)=−— полная энергия,— полная энтальпия,— энтальпия.
- вектор конвективных потоков:⎞⎛ + + ⎜ ⎟⎟⎜⎜ + + ⎟ .⎝⎠ + + (2.21) - вектор диссипативных потоков:⎛0 + + − ⎜⎜⎜0 + + − ⎝0 + + − ⎞⎟⎟⎟ .⎠(2.22)Компоненты тензора вязких напряжений определяются по формулам:(︂)︂ 2 2= 2( + )− ( + )++− ,33(2.23)61(︂)︂2 2 − ( + )++− ,= 2( + )33(2.24)(︂)︂ 22 = 2( + )− ( + )++− ,33(2.25))︂ ++ ,= ( + )(︂ = (︂ = )︂ = ( + )++ ,(2.26)(︂ = )︂ = ( + )++ ,(2.27)(2.28)а компоненты теплового потока по формулам: = −( + ),(2.29) = −( + ),(2.30) = −( + ),(2.31)где — турбулентная вязкость, а — турбулентная теплопроводность, которыеопределяются из соотношений: =,(2.32)62 = , (2.33)где — удельная теплоемкость при постоянном давлении, — турбулентноечисло Прандтля.Кинетическая энергия турбулентных пульсаций и турбулентная диссипация, определяются из уравнений() ( ) (︁ )︁ ˜+Γ+ − + ,=(2.34)() ( ) (︁ )︁+=Γ+ − + + ,(2.35)˜ — генерация кинетической энергии турбулентности, — генерация длягде удельной энергии диссипации, Γ и Γ — коэффициенты эффективной диффузиидля и , и представляют собой диссипацию для и вследствиетурбулентности, — перекрестный диффузионный член, и — источники,определяемые пользователем.Уравнения дополнены уравнением состояния идеального газа: = ,(2.36)а зависимость кинетической вязкости от температуры задавалась формулой Сазерленда:=(︂)︂ 32 + , +(2.37)где 0 = 1.716·105 Па·с, = 273.11, = 110.56.
Подробно метод изложенв [108].В связи с тем, что взаимодействие сверхзвуковых струй двигательной установки, используемой в вышеописанных испытаний, происходит на достаточ-63Рисунок 2.6: Фрагмент расчетной сеткином удалении от выходного сечения, для определения параметров в первой«бочке» целесообразно рассматривать только одно сопло. Задача решалась восесимметричной постановке.
Геометрия расчетного сопла полностью соответствовала экспериментальному. Расчетная область представляет собой блочноструктурированную сетку, состоящую из 70000 узлов, сгенерированную в коммерческом пакете ANSYS ICEM CFD. В пристеночной области внутри соплавыполнялось условие + < 1. Фрагмент расчетной сетки представлен на рисунке 2.6.2.8Выводы главы 2В данной главе проведено описание экспериментальной установки, модельного РДТТ, системы водоподачи, систем измерения и видеорегистрации, методики численного моделирования. Разработана программа проведения испытанийдля выяснения механизма влияния инжекции воды на уровень акустических нагрузок на корпус РКН. Разработана методика обработки результатов, основаннаяна вейвлетном преобразовании, позволяющая наиболее качественно проанализировать акустическое поле.64Глава 3Результаты экспериментовВ главе представлены результаты испытаний по исследованию влияния инжекции воды в слой смешения блочной сверхзвуковой струи акустический шум,направленный вверх по течению.Важной особенностью проведенных испытаний является нестационарное поведение давления в камере сгорания двигательной установки, в частности, отсутствие участка с постоянным значением, что сильно осложняет анализ испытаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
