Автореферат (1150681), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Международная школа “Advanced Methods of Modern Theoretical Physics:Integrable and Stochastic Systems”,устный доклад “Renormalization Groupapproach to turbulence” 16 августа - 21 августа, 2015, Дубна, Россияhttp://www.dubnaschool.cz/2015/2. International conference “Models in Quantum Field Theory”, устный доклад “Anomalous scaling of passive scalar fields advected by the NavierStokesvelocity ensemble” 21 сентября - 25 сентября, 2015, Петергоф, Россияhttp://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/common_e.htm3.
50-я международная зимняя школа Санкт-Петербургского ИнститутаЯдерной Физики, устный доклад “Anomalous scaling in magnetohydrodynamics” 27 февраля – 4 марта, 2016, Рощино, Россия6http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2016/index.shtml4. 19-й международный семинар “Quarks 2016”, устный доклад “Renormalization Group approach to turbulence” 29 мая – 4 июня, 2016, Пушкин,Россияhttp://quarks.inr.ac.ru/2016/5. 51-я международная зимняя школа Санкт-Петербургского ИнститутаЯдерной Физики, постерный доклад “Statistical restoration of brokensymmetries in fully developed turbulence” 27 февраля – 4 марта, 2017,Рощино, Россияhttp://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2017/index.shtml6. 10th CHAOS 2017 International Conference, устный доклад “Turbulentadvection of passive scalar field near two dimensions” 30 мая – 2 июня,2017, Барселона, Испанияhttp://www.cmsim.org/chaos2017.htmlПо теме диссертации опубликовано 6 научных работ визданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Webof Science и Scopus [1–6].Личный вклад автора.
Все основные результаты, изложенные в диссертации, получены соискателем лично либо при её прямом неотделимом участии в соавторстве.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения,четырёх глав, Заключения и списка литературы из 102 наименований. Работаизложена на 159 страницах и содержит 20 рисунков и 2 таблицы.Публикации.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаныметодология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатови представлены выносимые на защиту научные положения.Первая глава посвящена исследованию стохастического уравнения Навье-Стокса для вязкой сжимаемой жидкости [10]. В ней подробно рассказывается о построении теоретико-полевой формулировки для исходной стохастической задачи, исследуется ее ренормируемость, показана последовательностьпоиска критических размерностей полей и параметров.7Уравнение Навье-Стокса (далее НС) для вязкой сжимаемой жидкостиимеет вид:∇ = 0 [ 2 − ] + 0 − + ,(1)где(2)∇ = + это лагранжева (галилеево-ковариантная) производная, = /, = / ,и 2 = – оператор Лапласа.В этих уравнениях – скорость, – массовая плотность, – давлениеи – плотность внешней силы (на единицу объёма).
Все эти величины зависят от = {, x}, причём x = { }, = 1 . . . , где – произвольная (дляобщности) размерность пространства. Постоянные 0 и 0 являются двумянезависимыми молекулярными коэффициентами вязкости; в “вязких” членахв (1) мы явно разделили поперечную и продольную части. Суммирование поповторяющимся значкам подразумевается сейчас и будет подразумеваться вдальнейшем.К уравнениям (1) и уравнению неразрывности необходимо добавить уравнение состояния, = (). В самой простой форме, в линейном приближениионо выглядит как соотношение(3)( − ¯) = 20 ( − ¯)между разностями давления и плотности с их средними значениями.
Постоянная величина 0 имеет смысл (адиабатической) скорости звука.В стохастической формулировке задачи внешнюю силу следует понимать как случайное внешнее поле, моделирующее поступление в системуэнергии, полученной при перемешивании на больших масштабах. Принятосчитать, что детали её статистики не важны, так что распределение будемсчитать гауссовым с нулевым средним, не коррелированным по времени (дляобеспечения галилеевой симметрии), и включающим в себя некоторый типичный ИК масштаб (интегральный масштаб). С другой стороны, для использования стандартной техники РГ важно, чтобы её корреляционная функцияпри больших значениях аргумента убывала степенным образом. Более детальные рассуждения можно найти в [9]. В настоящей работе корреляционнаяфункция выбрана следующим образом [10]:Zk (k) exp{ikx},(2)⟨ () (′ )⟩ = ( − ′ )(4)>где (k)=0 03 4−−[︁⊥ (k)+]︁‖ (k).(5)8‖Здесь ⊥ (k) = − / 2 и (k) = / 2 – поперечный и продольныйпроекторы, = |k| – волновое число, 0 и положительные параметры;множитель 03 выделен для удобства.
Параметр = −1 обеспечивает ИКрегуляризацию; её точная форма несущественна и для простоты вычисленийбудем использовать резкую "отсечку". Величина 0 < ≤ 4 играет роль,подобную = 4 − в РГ теории критического поведенияСогласно общей теореме [11], стохастическая задача (1), (4), (5), эквивалентна теоретико-полевой модели с удвоенным набором полей Φ = {′ , ′ , , }и функционалом действия{︀}︀1 ′ ′ + ′ −∇ + 0 [ 2 − ] + 0 0 − +2 [︀]︀+ ′ −∇ + 0 0 2 − 20 ( ) ,(6)(Φ) =где – корреляционная функция (4), (5).
По повторяющимся значкам подразумевается суммирование, а по переменной = {, x} – интегрирование,например,Z′ ∇ Z= x ′ ()[ + () ] ().(7)В выражении (6) мы перешли к новому безразмерному параметру 0 = 0 /0 >0 и ввели новый член ′ 0 0 2 с другим положительным безразмерным коэффициентом 0 . Этот член не запрещен соображениями симметрии и размерности, поэтому он обязательно появится в процедуре ренормировки.Такая модель оказывается мультипликативно ренормируемой. Проводится ренормировка этой модели, определяются координаты ИК притягивающей неподвижной точки, которая определяет асимптотическое поведениеструктурных функций.
Координаты неподвижной точки следующие:ˆ* =4,3( − 1)(8)* = * = 1,с возможными поправками высших порядков по .Найдены критические размерности некоторых полей и параметров:∆ = 1 − /3,∆′ = − ∆ ,∆ = 2 − /3,∆ = 1(9)(результаты точные), а также∆ = − ∆′ = 2 − 5/6 + ( 2 ),∆ = 1 − 5/12 + ( 2 ).(10)посвящена переносу пассивного скалярного поля ансамблем скорости Навье-Стокса для вязкой сжимаемой жидкости.
К модели применяются методы ренормгруппы и операторного разложения.Вторая глава9Существует две основные задачи конвекции-диффузии для сжимаемогополя. Пассивный перенос поля плотности () ≡ (, x) (например, плотностипримеси) описывается уравнением: + ( ) = 0 2 + ,(11)а перенос “трейсера” (температуры, удельной энтропии или концентрации частиц примеси) описывается уравнением: + ( ) = 0 2 + .(12)Здесь ≡ /, ≡ / , 0 – молекулярные коэффициенты диффузии, 2 = – оператор Лапласа, v() – поле скорости ≡ () – гауссовыйшум с нулевым средним и заданным коррелятором,⟨ () (′ )⟩ = ( − ′ ) (r/),r = x − x′ ,(13)(r/) – некоторая функция, конечная при (r/) → 0 и быстро убывающая при (r/) → ∞. В дальнейшем мы не будем различать интегральныймасштаб , относящийся к шуму, и его аналог = −1 в корреляционнойфункции перемешивающей силы (5).Стохастические задачи (11), (13) эквивалентны полевой модели для удвоенного набора полей Φ ≡ {′ , , ′ , , ′ , } с функционалом действияΦ (Φ) = (′ , , ) + ( ′ , , ′ , ),(14)где{︀}︀1 (′ , , ) = ′ ′ + ′ − − ( ) + 0 2 −(15)2так называемое действие де Доминисиса-Янссена для стохастической задачи(11), (13) при фиксированном v, а второй член задаётся с помощью (6) и“отвечает” за статистику скорости; – корреляционная функция (13), и, какобычно, подразумеваются соответствующие интегрирования и суммированияпо векторным индексам.
В дальнейшем для удобства сделана замена 0 =0 0 .Задача (12) соответствует действию (14), где слагаемое задаётся так:{︀}︀1 (′ , , ) = ′ ′ + ′ − − ( ) + 0 2 .2(16)Неподвижная точка с координатами (8) и * = 1 является ИК притягивающей в пространстве констант связи , , , и управляет ИК асимптотическим поведением моделей (15), (16).10Получены критические размерности полей , ′ :∆ = −1 + /6,∆′ = + 1 − /6.(17)Эти выражения являются точными из-за отсутствия ренормировки полей и ′.Ключевую роль в дальнейших рассуждениях будут играть составные поля (“составные операторы” в квантово-полевой терминологии). Локальным составным оператором является моном или полином, состоящий из полей Φ()и их производных конечного порядка в одной точке пространства-времени = {, x}.
В функциях Грина с такими объектами появляются новые УФ расходимости из-за совпадения аргументов полей. Расходимости устраняются спомощью дополнительной процедуры ренормировки. Как правило, операторы при ренормировке смешиваются: ренормированные операторы задаютсянекоторой конечной линейной комбинацией изначальных мономов.Начнём с самого простого случая: операторов () = () в моделиплотности. Поскольку стохастическое уравнение (11) линейно по ,число полей в любой 1-неприводимой функции не может превышать количествополей в самом операторе.
Показано, что операторы мультипликативно ренормируемы: () = () с некоторыми константами ренормировки. Получены выражения для критических размерностей операторов :∆[ ] = ∆ + * .(18)Учитывая координаты неподвижной точки (8) и * = 1, получим∆[ ] = − + ( − 1) −,66( − 1)(19)с поправками высших порядков по .Операторы в модели трейсера УФ конечны, = 1, и их скейлинговыеразмерности задаются выражением∆[ ] = ∆ = − + /6,(20)это выражение точное, поправки высшего порядка по не появятся.В модели трейсера особое значение имеют тензорные операторы, построенные исключительно из градиентов пассивного скалярного поля. Такие операторы имеют наименьшую каноническую размерность, они содержат минимальное число производных (по одной на каждое поле).
Таким образом, онивыглядят так:(,)1 ... = 1 · · · ( ) + . . . .(21)11Здесь – число свободных векторных значков (ранг тензора), = + 2– полное число полей , входящих в оператор. Многоточие подразумеваетподходящие вычитания, в которых есть дельта-символы Кронекера, которыеделают выражение бесследовым с учётом всех свёрток по повторяющимсяиндексам. Например, − ( /) и так далее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
