Диссертация (1150625), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это сделано для того, чтобы задача была достаточно сложной: небольшой радиус шара увеличивает дисперсию, потому что траектории, обрывающиеся вблизи его границы, будут вносить экстремальные значения в общую оценку, а разныйрадиус необходим, чтобы сохранить эту сложность как для малых, так и для больших размер-95ностей.
Начальной точкой для всех траекторий будет 0 = (0.2, 0.2 +0.6, 0.2−10.6+ 2 −1, . . . , 0.8). Васимметрии такого выбора лежит идея о том, что излишняя симметричность также способствуетупрощению задачи и уменьшению дисперсии.1.000.750.500.250.000.000.250.500.751.00Рисунок 3.11: Конфигурация задачи Дирихле, размерность = 2Иллюстрация 3.11 даёт представление о поставленной задаче в случае = 2: окружностьимеет центром точку сингулярности, а (0.2, 0.8) – точка старта.В отличие от задачи численного интегрирования, здесь мы имеем дело со смещённой оценкой. Это означает, что недостаточно сравнивать только дисперсию двух методов, потому чтоуменьшение дисперсии может сопровождаться увеличением смещения и наоборот2 . Однако надопонимать при этом, что для фиксированного смещение схемы для традиционного Монте-Карлопостоянно, поэтому первоочередное значение играет именно дисперсия.Помимо смещения и дисперсии, мы будем рассматривать два дополнительных показателя: среднюю длину траектории и отношение между количеством траекторий, оборванных в-окрестности куба и сферы , соответственно.
Кроме того, мы приводим значение коэффициента уменьшения дисперсии (variance reduction factor, VRF), высчитываемого как отношение2В зарубежной литературе этот эффект имеет распространённое название bias-variance tradeoff.96средней дисперсии Монте-Карло к средней дисперсии гибридного метода. Так, если количество22внешних повторов для обоих алгоритмов равно , то мы имеем две выборки, (,1 , .
. . , , )22и (,1 , . . . , , ). В этом случае мы определим показатель VRF как отношение вы2222борочных средних (,1 , . . . , , )/( ,1 , . . . , , ). Чтобы убедиться в том, чтонадёжность предлагаемого метода не носит случайный характер и что эффект уменьшения дисперсии не носит случайный характер, мы дополнительно проводим двухвыборочный -критерийСтьюдента, проверяющий нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Полученное-значение также указано в таблицах результатов работы алгоритмов.Таблица 3.2: Сравнение методов решения задачи Дирихле, = 10Контрольная величинаСреднее смещениеСредняя дисперсияСредняя длина траекторийСредняя доля траекторий на границе кубаVRF относительно Монте-Карлоp-valueMC31.9317101.728.740.65−−HQMC29.0610727.528.670.651.59< 1E−9Первый запуск сравниваемых алгоритмов проведём для размерности = 10.
Результатыего работы представлены в таблице 3.2. Отметим, что и смещение, и дисперсия уменьшеныпо сравнению с базовым Монте-Карло, причём результат уменьшения дисперсии статистическизначим. Вспомогательные контрольные величины свидетельствуют о том, что распределениевыхода траекторий на границу области соблюдено.Таблица 3.3: Сравнение методов решения задачи Дирихле, = 20Контрольная величинаСреднее смещениеСредняя дисперсияСредняя длина траекторийСредняя доля траекторий на границе кубаVRF относительно Монте-Карлоp-valueMC111.915928411.3364.580.72−−HQMC73.75530632.964.290.7211.170.00026Случай = 20 отражён таблицей 3.3.
Задача подобрана таким образом, что с ростом размерности она становится всё более и более тяжёлой (в плане смещения и дисперсии) для базовогоМонте-Карло. Тем не менее, выигрыш от применения гибридного метода только растёт, чтовидно по величинам смещения и VRF.Третья глава диссертационной работы представляет идею о гибридном расслоении на основедвоичного представления чисел с плавающей точкой. Показано, что квазислучайная последовательность (в особенности, (,)-последовательность) может быть рандомизирована таким образом, чтобы получить расслоенную выборку, при этом степень сохранения исходной структуры97гибко контролируется параметром алгоритма.
Приводится ряд утверждений о свойствах такойпроцедуры, и действие работы алгоритма иллюстрируется на конечных наборах точек Соболя иХолтона.Представленный приём применяется в задаче численного интегрирования, где он может служить альтернативой процедуре скрэмблинга, и в задаче Дирихле для оператора Лапласа. При моделировании траекторий сферического процесса получено значительное уменьшение дисперсиипри сохранении смещения, что является новой устойчивой и эффективной адаптацией квазиМонте-Карло.98ЗаключениеИтоги диссертационной работыИсследование, изложенное в диссертационной работе, посвящено установлению связи междуизвестными приёмами понижения дисперсии для метода Монте-Карло и методом квази-МонтеКарло.
Перечислим основные научные результаты, изложенные в диссертации.1) Получен новый класс случайных квадратурных формул, обладающих свойством точностидля системы обобщённых функций Хаара. В общем виде получена дисперсия таких формул в нескольких эквивалентных формах. Доказано, что применение этого класса являетсяновым универсальным способом понижения дисперсии.2) Существующие результаты теории случайных квадратурных формул обобщены, уточненыи дополнены. Полностью изучен вопрос о дисперсии класса формул, точных для широкогокласса систем со скользящим носителем.3) Предложена новая вычислительная схема, основанная на полученном классе формул ирандомизированных квазислучайных последовательностях, которая может служить альтернативой стандартной процедуре.
Изучен вопрос об оценивании погрешности при еёиспользовании и установлен ряд важных свойств монотонности оценок.4) Проведён ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность предложенной схемы. Указан ряд случаев, в которых предлагаемый метод является более выигрышным с точки зрения скорости убывания дисперсии.5) Разработан новый гибридный битовый метод рандомизации квазислучайных последовательностей.
Показано, что гибкая параметризация позволяет использовать его как альтернативу традиционному расслоению.6) Впервые представлена адаптация квази-Монте-Карло для метода „блуждания по сферам“,основанная на гибридной битовой рандомизации.
Работа алгоритма продемонстрированарядом численных экспериментов, в которых получено значительное уменьшение дисперсии по сравнению с традиционным методом Монте-Карло.99Рекомендации по применению результатов работыНовый класс случайных квадратурных формул может быть использован для понижения дисперсии в методе Монте-Карло или для уточнения дисперсии рандомизированного квази-МонтеКарло.
Важно отметить, что новые теоретические факты, дополняющие существующую теориюслучайных кубатурных формул, могут быть использованы для поиска новых классов формул,обеспечивающих гарантированное уменьшение дисперсии.Предложенный метод рандомизации квазислучайных последовательностей может рассматриваться как альтернатива существующим.
В частности, если процедура скрэмблинга оказываетсядостаточно трудоёмкой с вычислительной точки зрения, то гибридная рандомизация может служить эффективной заменой при удачном выборе параметра .Уменьшение дисперсии при решении рассматриваемой задачи Дирихле может быть достигнуто для произвольной конфигурации, но эффективность предлагаемого метода оказывается особенно явно выраженной в высоких размерностях и при наличии особенностей вблизи границыобласти.Перспективы дальнейшей разработки тематикиДля дальнейшего развития метода Qint одним из ключевых является вопрос о возможностиуточнения выражения для дисперсии и процедуры её оценивания.
В частности, известно, что(,)-последовательности обладают рядом дополнительных свойств равномерной распределённости. Формализация этих свойств в рамках процедуры Qint может привести к дополнительномувыигрышу по сравнению как с Монте-Карло, так и квази-Монте-Карло. Кроме того, текущая реализация имеет ряд ограничений на ( , )-разбиение и количество элементов такого разбиения.Снятие этих ограничений может значительно увеличить спектр применимости метода Qint.Квазислучайная адаптация для метода „блуждания по сферам“ может быть улучшена путёмнахождения автоматического способа калибровки параметров алгоритма. Это может привести кнаблюдаемому уменьшению дисперсии и в более простых конфигурациях задачи Дирихле.100Список рисунков1.1Расслоенная выборка . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2Точки Холтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3Точки Соболя как (0,2)-последовательность по основанию 2 . . . . . . . . . . . . . 252.1Первые шесть шагов правила бинарного рассечения, = 3 . . .
. . . . . . . . . . . 592.2Произведение кубических полиномов, = 1, без внешних повторов . . . . . . . . . 622.3Произведение кубических полиномов, = 1, 16 внешних повторов . . . . . . . . . 632.4Произведение кубических полиномов, = 15, без внешних повторов . . .
. . . . . 642.5Произведение кубических полиномов, = 15, 16 внешних повторов . . . . . . . . 652.6Плотность нормального распределения, = 2, без внешних повторов . . . . . . . . 662.7Плотность нормального распределения, = 3, без внешних повторов . .
. . . . . . 672.8Плотность нормального распределения, = 4, без внешних повторов . . . . . . . . 682.9Плотность нормального распределения, = 20, без внешних повторов . . . . . . . 692.10 Плотность нормального распределения, = 20, 16 внешних повторов . . . . . . . . 702.11 Функция „Морокофф-Кафлиш №1“, = 1, 16 внешних повторов . . . . .
. . . . . 712.12 Функция „Морокофф-Кафлиш №1“, = 2, 16 внешних повторов . . . . . . . . . . 712.13 Функция „Морокофф-Кафлиш №1“, = 30, без внешних повторов . . . . . . . . . 722.14 Функция „Морокофф-Кафлиш №1“, = 30, 16 внешних повторов . . . . . . . . . .
722.15 Кусочно-линейная функция, = 3, 16 внешних повторов . . . . . . . . . . . . . . . 732.16 Кусочно-линейная функция, = 5, 16 внешних повторов . . . . . . . . . . . . . . . 732.17 Кусочно-линейная функция, = 10, без внешних повторов . . . . . . . . . . . . . . 742.18 Кусочно-линейная функция, = 10, 16 внешних повторов . . . . . . . . . . . . .
. 743.1Пример неравномерного разбиения двоичного гиперкуба . . . . . . . . . . . . . . . 773.2Распределение точек Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3Распределение точек Соболя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
