Диссертация (1150465), страница 11
Текст из файла (страница 11)
№ 1. С. 114–116.[34] Рябов В. М. О точности вычисления значений и скачков оригинала методомВиддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 15. С. 35–38.[35] Рябов В. М. Метод обращения преобразования Лапласа, использующийзначения изображения на вещественной оси // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982.№ 1. С. 48–53.[36] Рябов В. М. О точности некоторых методов обращения преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып.
14. Л., изд-во Ленингр. ун-та, 1985. С.59–71.[37] Рябов В. М. Формула обращения преобразования Лапласа, основанная натеореме Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 22. С. 35–39.86[38] Рябов В. М. Свойства квадратурных формул наивысшей степени точности,применяемых для обращения преобразования Лапласа // ЖВМ и МФ.1989. Т. 29, № 7. С. 1083-1087.[39] Рябов В. М.
О многочленах, возникающих при численном обращении преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 12. Л., изд-во Ленингр.ун-та, 1981. С. 46–53.[40] Рябов В. М. Об одном способе обращения преобразования Лапласа //Кубатурные формулы и их приложения. Материалы X международногосеминара-совещания. Улан-Удэ, 2009. С. 130–137.[41] Рябов В. М. Свойства квадратурных формул наивысшей степени точности,применяемых для обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит.матем.
и математ. физ. 1989. Т. 29. № 7. С. 1083–1087.[42] Рябов В. М. Численное обращение преобразования Лапласа. — СПб.: Издво С.-Петерб. ун-та, 2013. 187 с.[43] Рябов В. М, Порошина Н. И. О вычислении дробно-экспоненциальнойфункции и интеграла от нее // Методы вычислений. Вып. 22. СПб., Изд-воС.-Петерб. ун-та, 2008. С.
132-146.[44] Рябцев И. И. Приближенное вычисление оригинала по значениям изображения в равноотстоящих точках действительной оси // Математика. 1966.№ 3. С. 139–143.[45] Самокиш Б. А. Замечание о вычислении определенных интегралов // Методы вычислений. Вып. 2. Л., 1963. С. 45–49.[46] Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л., 1980. 344 с.87[47] Смирнов В.
И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л., 1964. 440 с.[48] Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М, 1976. 328 с.[49] Фок В. А. Об остаточном члене некоторых формул квадратур. // Изв.АНСССР, 1930, № 448. С. 419.[50] Bellman R. E., Kalaba P. E., Lockett J. A. Numerical inversion of the Laplacetransform. N.-Y., 1966. 249 p.[51] Bobylev A. V., Cercignani C. The inverse Laplace transform of some analyticfunctions with an application to the eternal solutions of the Boltzmann equation// Applied Mathematics Letters. 2002.
Vol. 15. P. 807–813.[52] Boutros Y. Z. Numerical methods for the inversion of Laplace transform. Zurich,1964. 64 p.[53] Bruin M. G., Saff E. B., Varga R. S. On the zeros of generalised Besselpolynomials. I, II // Indagat. math. 1981. Vol.
43. No 1. P. 1–25.[54] Colombaro I., Giusti A., Mainardi F. A class of linear viscoelastic models basedon bessel functions // E-print. arXiv:1602.04664v1 [math-ph], 2016.[55] Gautschi W. On the Condition of a Matrix Arising in the Numerical Inversionof the Laplace Transform // Mathematics of Computation, Vol. 23, No. 105(Jan., 1969), pp. 109-118.[56] Luke Y.
The special functions and their approximations. Vol. 2. New York, 1969.485 p.[57] Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. AnIntroduction to Mathematical Models 2010, Imperial College Press. 347 p.88[58] Mainardi F., Spada G. Creep, relaxation and viscosity properties for basicfractional models in rheology // Eur. Phys. J. Special Topics 193, 133–160(2011) EDP Sciences, Springer-Verlag 2011.[59] May C.
P. Saturation and inverse theorems for combinations of a class ofexponential-type operators // Canad. J. Math. 1976. Vol. 28. No 6. P. 1224–1250.[60] Stroud A. H., Secrest D. Gaussian quadrature formulas. N.-Y., 1966. 374 p.[61] Talbot A. The accurate numerical inversion of Laplace transform // J. Inst.Maths. Applics. 1979. Vol. 23. P. 97–120.[62] Weideman J.
A. C., Trefethen L. N. Parabolic and hyperbolic contours forcomputing the Bromwich integral // Math. Comput. 2007. Vol. 76. No 259.P. 1341–1356.[63] Widder D. V. The Laplace transform. Princeton, 1946. 406 p.89ПриложениеВ Приложении представлены тексты программ, реализующие описанныев данной работе методы обращения интегрального преобразования Лапласа.Программы выполнены с использованием математического пакета Maple.Программа 1. Квадратурные формулы наивысшей степени точности.Программа вычисляет функцию–оригинал для изображения по Лапласуфункции F2 (α, x)1F2 (α, x) =xtZЭα (−1, τ ) dτ,0x = tα+1 ,используя квадратурные формулы наивысшей степени точности. Описание этого метода есть в Главе 1 Раздел 1.2. В программе входными параметрами являются Digits — машинная точность вычислений, а также a, x, n.r e s t a r t : D i g i t s := 2 0 ; with ( l i n a l g ) ;a:= 1 ; n:= 2 0 ; s := 1 ; x:= 4 0 0 ; a l := −0.4;a1 := a l +1; t := x ^(1/( a l + 1 ) ) ;A:= a r r a y ( 1 .
. n , 1 . . n ) : d:= v e c t o r ( n ) : AA:= v e c t o r ( n ) :Z:= a r r a y ( 1 . . n , 1 . . n ) : g:= v e c t o r ( n ) :for k from 0 to n−1 dofor j from n−1 by −1 to 0 doA[ k+1,n−j ] : = 1 /GAMMA( s +(k+j )∗ a )od :d [ k+1]:=−1/GAMMA( s +(n+k )∗ a )od :evalm (A) : evalm ( d ) :b:= l i n s o l v e (A, d ) :p:=1:for k from 1 to n do p:=p∗u+b [ k ] od :90expand ( p ) :xk:= e v a l f ( a l l v a l u e s ( RootOf ( p ) ) ) ;for k from 1 to n dopka [ k ] : = e v a l f (1/ xk [ k ] ) :pk [ k ] : = xk [ k]^( −1/ a ) :mua [ k ] : = 1 / pka [ k ] :od :for j to n dofor k to n doZ [ j , k ] : =mua [ k ] ^ ( j −1) od :g [ j ] : = e v a l f (1/GAMMA( s+a ∗( j −1)))od :AA:= l i n s o l v e (Z , g ) ;s1 : = 0 ;for k to n dos1 := s1+AA[ k ] ∗ t ^( s −1)/(1+(pk [ k ] / t )^ a1 )end do ;s1 / t ^( a l +1);91Программа 2. Обобщённые квадратурные формулы наивысшей степениточности.Программа вычисляет функцию–оригинал для изображения по Лапласуфункции F1 (α, x)−αF1 (α, x) = x α+1 Эα (−1, t),x = tα+1 ,используя обобщённые квадратурные формулы наивысшей степени точности.Описание этого метода есть в Главе 1 Раздел 1.3.
В программе входными параметрами являются Digits — машинная точность вычислений, а также a, x, n.r e s t a r t : D i g i t s := 2 0 ; with ( l i n a l g ) ;a:= . 4 ; n:= 3 0 ; s := a ; x:= 4 0 0 ;a l := a −1; t := x ^(1/( a l + 1 ) ) ;A:= a r r a y ( 1 . . n , 1 . . n ) : d:= v e c t o r ( n ) : AA:= v e c t o r ( n ) :Z:= a r r a y ( 1 . . n , 1 .
. n ) : g:= v e c t o r ( n ) :for k from 0 to n−1 dofor j from n−1 by −1 to 0 doA[ k+1,n−j ] : = 1 /GAMMA( s +(k+j )∗ a )od :d [ k+1]:=−1/GAMMA( s +(n+k )∗ a )od :evalm (A) : evalm ( d ) :b:= l i n s o l v e (A, d ) :p:=1:for k from 1 to n do p:=p∗u+b [ k ] od :expand ( p ) :xk:= e v a l f ( a l l v a l u e s ( RootOf ( p ) ) ) ;for k from 1 to n do92pka [ k ] : = e v a l f (1/ xk [ k ] ) :pk [ k ] : = xk [ k]^( −1/ a ) :mua [ k ] : = 1 / pka [ k ] :od :for j to n dofor k to n doZ [ j , k ] : =mua [ k ] ^ ( j −1) od :g [ j ] : = e v a l f (1/GAMMA( s+a ∗( j −1)))od :AA:= l i n s o l v e (Z , g ) ;s1 := 0 ;for k to n dos1 := s1+AA[ k ] ∗ t ^( s −1)/(1+(pk [ k ] / t )^(−a ) )end do ;s1 / t^ a l ;93Программа 3.
Метод Виддера с ускорением сходимости для функции ползучестиПрограмма вычисляет функцию ползучести (пространственная переменная x опущена)Ztε(t) = 1 + 4Э−0.8 (τ )dτ,0используя метод Виддера с ускорением сходимости. Описание этого метода естьв Главе 1 Раздел 1.4. Входными параметрами являются переменные r, n1 , t, m.r e s t a r t : D i g i t s := 6 0 ; p i := e v a l f ( Pi ) ; r : = 0 . 9 5 ;n1:= 3 0 0 ; n2:= 2∗ n1 ; n3 :=3∗ n1 ; t := 0 . 1 0 0 e −2;em:= proc (m, x )exp ( ( 2 ∗ I )∗ p i ∗x/m)end proc :pFp:= proc ( p )1+4/(p^0.2+1)end proc :w:= proc ( n , m, t )s := 0 ;for j to m doz := r ∗em(m, j ) ;s := s+z^(−n )∗pFp ( n∗(1− z )/ t )/(1 − z )end do ;s /mend proc :a:= w( n1 , 2∗ n1+1, t ) ; b:= w( n2 , 2∗ n2+1, t ) ;c := w( n3 , 2∗ n3+1, t ) ; a/2−4∗b+4.5∗ c ;94Программа 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
