Диссертация (1149843), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.33)3̃︀̃︀Запишем (2.33) в виде=˜3 ,˜(2.34)√︁˜ , , ) = 4 (1 − r̃3 )2 sin2 + (1 + 2r̃3 )2 cos2 .где (̃︀Проекция градиента на направление поля B равна(︂)︂(︂(︂ (︂)︂1 1 3 3 sin 1(∇)‖ = + = 2 10 44 − 3 sin2 − ̃︀̃︀(︂)︂)︂ (︂)︂(︂)︂ (︂)︂)︂ (2.35)111222− 3 + 2 cos − 2 + cos 4 − 32 + 3.̃︀̃︀3̃︀̃︀Введём обозначение(︀ (︀ (︀ 3)︀‖ (˜, , ) = 6 sin 2 4 ˜ − 1 sin2 −(︀)︀)︀ (︀)︀(︀)︀ (︀)︀)︀− 1 + 2˜3 cos2 1 − ˜3 + cos2 4˜3 − 1 2˜3 + 1 .Тогда 3 ‖ (̃︀, , ) ‖ (̃︀, , )(∇)‖ ==.10 4̃︀ 2 ̃︀102 2 2 ̃︀4Таким образом, первое неравенство (2.31) равносильно(2.36)57̃︀ 22√︁̃︀ 6 √︀⃒.‖ / ⃒⃒ (̃︀⃒‖ , , )(2.37)Аналогичным образом можно представить (∇)⊥ в виде(∇)⊥ = ⊥ (̃︀, , ),442̃︀ ̃︀ (2.38)где(︀(︀ (︀ 3)︀(︀)︀)︀ (︀)︀4 ˜ − 1 sin2 − 23 + 1 cos2 2˜3 + 1 +(︀)︀ (︀)︀)︀+2 sin2 1 − 4˜3 1 − ˜3 .⊥ (˜, , ) = 3 cos Следовательно, второе неравенство (2.31) равносильно1̃︀ 2√︀.̃︀ 6 √︀⊥ / |⊥ (̃︀, , )|(2.39)Вместо неравенств (2.37) и (2.39) будем далее использовать достаточныеусловия⎧̃︀ 2⎪⎪⎪̃︀ 6 1 √︀,⎪⎪⎨|⊥ (̃︀, , )|̃︀ 2⎪⎪̃︀ 6 2 √︁⃒⎪⃒.⎪⎪⃒‖ (̃︀⎩, , )⃒(2.40)Обозначим через Ω область, задаваемую неравенствами (2.40), а дополнение к ней − Ω.
Установим, как меняется вид областей Ω и Ω при изменениипроекции однородного магнитного поля 0 на направление, противоположноеM. В качестве заряженной частицы рассмотрим электрон с кинетической энергией = 50 МэВ. Сначала разберём случай B0 ↑↓ M. Результаты расчётовпоказывают, что при переходе от дипольного поля (Рис. 2.4 а) к суперпозиционному (Рис.
2.4 б, в, г) область Ω становится ограниченной. Для значений0 < 0 < 6.18 (1 = 10−5 Гс) область Ω является двухкомпонентной (Рис.2.4 б, в), а для 0 > 6.18 − однокомпонентной (Рис. 2.4 г). При увеличении580 площадь области Ω уменьшается и в предельном случае 0 → ∞ областьΩ превращается во всю полуплоскость (см. также [20, 78]).а)б)в)г)Рис. 2.4. Область применимости дрейфового приближения Ω и дополнение кней Ω для электрона с кинетической энергией = 50 МэВ при B0 ↑↓ M:а) 0 = 0, б) 0 = 5, в) 0 = 6.18, г) 0 = 28.59а)б)в)Рис. 2.5.
Область применимости дрейфового приближения Ω и дополнение кней Ω для электрона с кинетической энергией = 50 МэВ при B0 ↑↑ M:а) 0 = −13, б) 0 = −23.3, в) 0 = −37.60Обратимся теперь к случаю B0 ↑↑ M (Рис. 2.5). В этом случае, как и врассмотренном ранее, для конечных значений 0 область Ω является ограниченной. Для значений 0 , по модулю меньших критического значения, равного23.3, область Ω является двухкомпонентной (Рис. 2.5 а, б), а для значений 0 ,по модулю больших указанного критического значения, область Ω однокомпонентная (Рис. 2.5 в). При увеличении 0 , как и при B0 ↑↓ M, площадь областиΩ уменьшается, и в предельном случае 0 → ∞ область Ω превращается вовсю полуплоскость.Определим, при каких значениях силовая линия суперпозиционногополя с параметром , равным трём радиусам Земли , вдоль которой движется ведущий центр электрона, целиком лежит в области Ω (такое положениепримерно соответствует нахождению частицы в радиационном поясе).
Именнов этом случае применимо уже полученное решение задачи о динамике ведущего центра частицы в суперпозиционном поле. Для этого построим области Ω,соответствующие различным значениям . Положим 0 = −40. На Рис. 2.6области Ω представлены для значений , равных 200 (Рис. 2.6 а), 250 (Рис. 2.6б) и 600 МэВ (Рис.
2.6 в). Наряду с областями Ω в каждом случае изображена силовая линия суперпозиционного поля с экваториальным параметром = 3 . Из приведённых рисунков видно, что при E<250 МэВ силовая линия полностью лежит в области Ω (см. Рис. 2.6 а), при ≃ 250 МэВ касаетсяграницы Ω области Ω (см. Рис. 2.6 б), в то время как при значениях E>250МэВ лежит в области Ω лишь частично (см. Рис. 2.6 в). Таким образом, длявыбранных исходных данных выведенная квадратура () имеет смысл при < 250 МэВ.61а)б)в)Рис.
2.6. Область применимости дрейфового приближения Ω, дополнение кней Ω и силовая линия с экваториальным параметром = 3 при0 = −40: а) = 200 МэВ, б) = 250 МэВ, в) = 600 МэВ623ОБЛАСТИ ВЫСЫПАНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХЧАСТИЦ В ГЕОМАГНИТНОМ ПОЛЕ,ПРЕДСТАВЛЕННОМ ПЕРВЫМИГАРМОНИКАМИ РЯДА ГАУССА3.1.Области высыпания заряженных частиц в полемагнитного диполя в зависимости от безразмерныхкоординат и импульсовВ первой части настоящей главы будем предполагать, что геомагнитноеполе представляет собой поле магнитного диполя.Рассмотрим точечный источник электронов высокой энергии, положениекоторого в околоземном космическом пространстве задаётся координатами 0 ,0 , 0 декартовой системы координат с осью , направленной противоположно магнитному моменту диполя M (см. [30]).
Поставим вопрос об определении направлений инжекции j, при которых траектория электрона пересекаетповерхность Земли, а также областей высыпания, образованных точками пересечения траекторий электронов с земной поверхностью (высотой плотных слоёватмосферы, где становится существенным взаимодействие электронов высокойэнергии с ядрами атмосферы, будем пренебрегать).Система уравнений движений одиночной заряженной частицы с зарядом и релятивистской массой имеет вид⎧(︀ 2)︀22˙2−−− 3 ˙⎪⎪⎪¨=,⎪5⎪⎪(︀)︀⎨ ˙ 2 2 − 2 − 2 − 3 ˙(3.1)¨ =,⎪5⎪⎪⎪⎪3(˙−)˙⎪⎩ ¨ =,5√︀где = 2 + 2 + 2 , − скорость света, точками обозначены производные63по времени .Как и в первой главе, будем использовать следующие обозначения: −радиус Земли, − штермеровская единица длины, − релятивистский импульс.
В первой части первой главы было доказано, что при движении заряженной частицы в дипольном магнитном поле модуль скорости частицы являетсяинтегралом движения, поэтому единица длины имеет смысл.В безразмерных декартовых координатах⎧⎪⎪√︀√︀1 = √︀,=,=,23⎪333222⎪⎪ ⎪⎪⎨(︂ )︂ 32(︂ )︂ 23(︂ )︂ 2 34 =, 5 =, 6 =,⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ =(3.2)для отрицательно заряженной частицы ( < 0) система (3.1) примет вид⎧⎪′1 = 4 , ′2 = 5 , ′3 = 6 ,⎪⎪⎪)︀(︀ 2⎪⎪22⎪−−23−2365⎪213⎪,⎨ ′4 =5)︀(︀ 2(3.3)22⎪−2+3+1364321⎪⎪,′5 =⎪5⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ′ = 33 · 2 4 − 1 5 ,65√︀где = 21 + 22 + 23 , штрихами обозначены производные по безразмерномувремени .Заметим, что в случае, когда известны отношения 0 / , 0 / , 0 / и / , начальные данные 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 для системы (3.3) выражаются через них следующим образом:⎧(︂ )︂ 23(︂ )︂ 32(︂ )︂ 32⎪000⎪⎪, 20 =, 30 =,⎨ 10 = (︂ )︂ 23(︂ )︂ 23(︂ )︂ 23 (3.4)⎪⎪⎪⎩ 40 = cos 1, 50 = cos 2, 60 = cos 3,где cos 1 , cos 2 и cos 3 − направляющие косинусы вектора начальной скорости v0 .64Пусть направление инжекции j задано углом между начальной скоростью v0 и местной вертикалью и углом между направлением проекции v0на плоскость местного горизонта и местным азимутальным направлением.
Вслучае, когда инжектор находится на оси , начальные данные для системы(3.3) зависят от двух отношений |0 |/ = 0 / и / , а также углов и, связанных с направляющими косинусами вектора v0 посредством формулcos 1 = − sin cos , cos 2 = cos , cos 3 = − sin sin .(3.5)При этом безразмерный импульс ′ выражается через 0 / и / :′ =(︂0)︂2(︂=0 · )︂2.(3.6)Для решения поставленной задачи будем использовать вычислительныйалгоритм, основанный на методе статистических испытаний (см. [30]). Алгоритм заключается в последовательном расчёте траекторий релятивистских электронов в дипольном магнитном поле для углов и из предварительно определяемых промежутков [ , ], [ , ].
Углы и считаются случайнымивеличинами с равномерным законом распределения в указанных промежутках.Для каждого набора начальных данных будем производить численное интегрирование уравнений движения (3.3) разностным методом Рунге-Кутта-Мерсона4-го порядка с автоматическим выбором шага. Расчёт траектории будем проводить до тех пор, пока не окажется выполненным одно из следующих условий:1) траектория электрона пересекает сферу радиусом ;2) полная длина траектории превышает предельное значение = 20 ;3) геоцентрическое расстояние превышает критическое значение =10 и дальнейшее движение электрона сопровождается неограниченныммонотонным ростом .Число испытаний в серии примем равным 1 000 000.65На Рис.
3.1–3.3 представлены области высыпания электронов на земнуюповерхность для отношения 0 / , равного 1.5, 3 и 5 соответственно. При каждом из указанных значений 0 / расчёт областей высыпания проводился длячетырёх безразмерных импульсов ′ . Значения / , ′ и кинетической энергии электрона в ГэВ, соответствующие Рис. 3.1–3.3, приведены в табл. 3.1–3.3.а)б)в)г)Рис. 3.1. Области высыпания электронов в дипольном магнитном поле при0 / = 1.5: а) ′ = 0.26, б) ′ = 0.55, в) ′ = 1.10 г) ′ = 1.65.66а)б)в)г)Рис.
3.2. Области высыпания электронов в дипольном магнитном поле при0 / = 3: а) ′ = 1.03, б) ′ = 2.2, в) ′ = 4.4 г) ′ = 6.6.67а)б)в)г)Рис. 3.3. Области высыпания электронов в дипольном магнитном поле при0 / = 5: а) ′ = 2.85, б) ′ = 6.12, в) ′ = 12.23 г) ′ = 18.35.68Таблица 3.1. Значения / и ′ при 0 / = 1.5 , ГэВ /′70.340.26150.490.55300.701.10450.861.65Таблица 3.2. Значения / и ′ при 0 / = 3 , ГэВ /′70.341.03150.492.20300.704.40450.866.60Таблица 3.3.
Значения / и ′ при 0 / = 5 , ГэВ /′70.342.85150.496.12300.7012.23450.8618.35Результаты расчётов показывают, что при 0 / = 1.5 земная поверхность оказывается достижимой для электронов с ∈ [0∘ , 180∘ ) и ∈ [0∘ , 360∘ )соответственно. Область долгот точек высыпания представляет собой промежуток [−180∘ , 180∘ ). Область широт точек высыпания оказывается существен⋃︀но различной для разных ′ и равна [−46∘ , −12∘ ] [12∘ , 46∘ ] при ′ = 0.26 (Рис.3.1 а), [−42∘ , 42∘ ] при ′ = 0.55 (Рис. 3.1 б), [−53∘ , 53∘ ] при ′ = 1.1 (Рис. 3.1 в)и [−56∘ , 56∘ ] при ′ = 1.65 (Рис.
3.1 г). Таким образом, в зависимости от ′область высыпания может содержаться как в двух (Рис. 3.1 а), так и в одной69полосе широт (Рис. 3.1 б, в, г). Условно в структуре области высыпания можновыделить несколько компонент, которые в случаях б − г соединяются в окрестности оси = 0. Число компонент равно четырём при ′ = 0.26 (Рис. 3.1 а),трём при ′ = 0.55 и ′ = 1.1 (Рис. 3.1 б, в) и двум при ′ = 1.65 (Рис. 3.1 г).Вид областей высыпания при 0 / = 3 показан на Рис. 3.2. Результаты численного интегрирования свидетельствуют, что в этом случае траекторииэлектронов не могут пересекать сферу радиуса при ∈ (0∘ , 90∘ ), поэтому[ , ] = [90∘ , 180∘ ]. Область достижимых долгот представляет собой объединение промежутков [−180∘ , −4∘ ], [−6∘ , 39∘ ] и [86∘ , 180∘ ) при ′ = 1.03 (Рис.3.2 а), промежуток [−180∘ , 180∘ ) при ′ = 2.2, ′ = 4.4 и ′ = 6.6 (Рис.
3.2 б,в, г). Как и при 0 / = 1.5, область допустимых широт заключается в двух(′ = 1.03, Рис. 3.2 а) либо в одной полосе (′ = 2.2, ′ = 4.4 и ′ = 6.6, Рис. 3.2 б,в, г). Структура области высыпания характеризуется наличием при ′ = 1.03шести (Рис. 3.2 а) либо трёх (Рис. 3.2 б, в, г) компонент. Примечательно, чтопри увеличении импульса ′ общее число точек высыпания уменьшается и большая их часть концентрируется в одной компоненте (на Рис. 3.2 г в подобласти,находящейся на меньшем удалении от начала координат).На Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
