Диссертация (1149843), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тип кривой определяет число , представляющее собой эксцентриситет. Постоянная−2является параметром кривой второго порядка.Ограничимся сначала случаем, когда область Σ (R0 , Rc , ) задаётся только неравенством (1.35) (когда это не так, будет обсуждаться далее). Границамиобластей Σ (R0 , Rc , ) в этом случае являются1. гиперболы, если > 1;2. парабола, если = 1;3.
эллипс, если 0 < < 1;264. пара пересекающихся прямых, проходящих через начало координат, если− = 0 (в дипольном магнитном поле последнее условие эквивалентноравенству = 0).Отметим, что тип невырожденных кривых второго порядка, являющихсяграницами области Σ (R0 , Rc , ), не зависит от параметра .Представим (1.35) в виде системы неравенств⎧ − ⎪⎪⎨ ≥ 2 (1 − cos ) ,⎪⎪⎩ ≤ − 2 (1 + cos ) .(1.36)Границами областей, задаваемых системой (1.36), являются кривые⎧ − ⎪⎪⎨ = 2 (1 − cos ) ,(1.37) − ⎪⎪⎩ = 2. (1 + cos )В дипольном поле уравнения (1.37) принимают вид⎧⎪⎪⎨ = 2 (1 − cos ) ,⎪⎪.⎩ = − 2 (1 + cos )(1.38)Исследуем более подробно свойства областей Σ (R0 , Rc , ), задаваемыхсистемой неравенств (1.36).Если < 1, то система уравнений (1.37) задаёт эллипс, один из фокусов которого совпадает с началом координат.
В случае − > 0 вершиныэллипса, лежащие на горизонтальной оси, находятся от начала координат нарасстояниях ( − )/(1 − ) и ( − )/(1 + ) соответственно. Большаяпо площади часть эллипса лежит в правой полуплоскости (предполагается, чтополярная ось направлена вправо). В случае − < 0 расстояния от фокусовдо вершин горизонтальной оси равны ( −)/(1−) и ( −)/(1+) соответственно, большая по площади часть эллипса лежит в левой полуплоскости,длина горизонтальной полуоси равна = 2| − |/(1 − 2 ).27Если > 1, то границы области Σ (R0 , Rc , ) представляют собой ветвигиперболы, вершины которой находятся в одной полуплоскости: в левой, если − > 0 и в правой, если − < 0.
Расстояния от вершин до фокуса,находящегося в начале координат, равны ( − )/( − 1) и ( − )/( + 1)при − > 0; ( − )/( − 1) и ( − )/( + 1) при − < 0,расстояние между вершинами = 2| − |/( 2 − 1).Если = 1, то граница области Σ (R0 , Rc , ) − парабола с вершинойв левой полуплоскости, если − > 0 и в правой полуплоскости, если − < 0. Расстояние от фокуса до вершины параболы = | − |/2.Отметим, что во всех приведённых случаях является кусочно-линейнойфункцией .Чтобы установить, принадлежит ли импульс p области Φ(R0 , Rc , ), когда соответствующая область ∆(, ) является однокомпонентной, достаточнопроверить выполнение условия неотрицательности функции в точке Rc .
Если∆(, ) является двухкомпонентной, то помимо указанного условия необходимоустановить, принадлежат ли точки R0 и Rc одной и той же компоненте ∆(, ).Математическая формулировка условия двухкомпонентности разрешённой области при > 0 (B0 ↑↓ M) дана в [39]. В [80] и [29] соответствующая формулировка дана для случая < 0 (B0 ↑↑ M). Сопоставление указанных формулировок позволяет записать условие двухкомпонентности области ∆(, ) в виде28системы неравенств⎡⎧⎪⎪0 < ≤ √1 ,3 3⎨⎢⎪⎢ ⎡ ′⎢ > ≥ 1 ,⎢⎪⎣⎪⎢⎪⎢ ⎩ 1 ≥ > ′′ ;⎢⎢⎧⎢⎪⎢⎪ < 0,⎢⎪⎪⎡⎧⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎪⎨ > 0,⎢⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎢⎢⎪⎪(︀√)︀⎪⎨2 − 4 − /2 < 1,⎢ ⎢⎩0 <⎢⎢ ⎢⎧⎢ ⎪⎢⎢⎪⎢⎪⎢⎪⎪ ≤ 0,⎢⎪⎪⎪⎨⎢⎪⎡⎢⎢⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎢ ⎪ < −Γ3 ,⎪⎣⎪⎣ ⎪⎣⎪⎪⎩⎩ ⎪ > −Γ2 ,где′ ′′112Γ2Γ3(︂)︂11=21 − 1 −,21(︂)︂112=2 − 2 −,2213.52 + 1=−,9(︃(︀)︀ )︃2+arccos54−11=1 + 2 cos,63(︃(︀)︀ )︃ − arccos 542 − 111 + 2 cos,=63(︃(︂)︂3(︂)︂2 )︃161124=−+−,9 33349(︂)︂82= 3 −,391= 2,1 2= −,41 2= −,4= −2,(1.39)29 и − вещественные положительные корни уравнений3 + 2 − 1 = 0 и 3 − 2 − 1 = 0 соответственно.Из результатов, приведённых в [29, 39, 72] следует, что точки с координатами r̃0 , r̃c принадлежат одной компоненте области ∆(, ), если⎡⎧⎪⎪ (˜⎪ , , , ) ≥ 0,⎢⎪⎨⎢⎪⎢⎢ ⎪˜ > ˜1 ,⎢⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎢ ⎩˜0 > ˜1 ,⎢⎧⎢⎪⎢⎪ (˜ , , , ) ≥ 0,⎢⎪⎪⎢⎪⎨⎢⎢ ˜ < ˜1 ,⎢⎪⎣⎪⎪⎪⎪⎩˜0 < ˜1 ,при > 0 и⎡⎧⎪⎪ (˜ , , , ) ≥ 0,⎢⎪⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎪ ≥ 0,⎢⎪⎪⎡ ⎧⎢⎪⎪ ⎪⎢⎪⎨ ⎨⎢ ⎢ > 0,⎢ ⎢⎢⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎢ ⎩0 > 0;⎪⎢⎪⎢⎧⎢⎪⎪⎢ ⎪⎢⎪⎪⎢ ⎨ < 0,⎢⎪⎪⎢⎢⎪⎪⎣⎢⎪⎪ ⎩⎢⎩ ⎪0 < 0⎢⎢⎧⎢⎪⎢⎪ (˜ , , , ) ≥ 0,⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎪ < 0,⎢⎪⎪⎡ ⎧⎢⎪⎪ ⎪⎢⎪⎨ ⎨⎢⎪⎢ ⎢ ˜ > ˜2 ,⎢ ⎢⎢⎪⎢⎪⎪⎢ ⎩˜0 > ˜2 ,⎢⎪⎪⎢⎧⎢⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎢ ⎨˜ < ˜2 ,⎢⎪⎪⎢⎢⎪⎪⎣⎣⎪⎪⎪⎩ ⎪⎩˜0 < ˜2 ,(1.40)(1.41)30при < 0, где⎧(︀)︀⎪⎨ 1 1 − 2√1 + 6 cos (/3 − /3) , если > 0 и ′ ≥ ≥ 1 ,3˜1 =(︀)︀⎪⎩ 1 1 + 2√1 + 6 cos(/3) , если < 0 и 1 ≥ ≥ ′′ ;3˜2 − больший положительный корень уравнения2423 + 2 + + = 0,если < 0 и < 0,cos =13.52 + 9 + 13.(1 + 6) 2Все параметры, входящие в систему неравенств (1.39), являются функциямимодуля импульса и параметра , а , и − ещё и угла , поэтому прификсированных значениях 0 , 0 и представляет собой систему неравенствотносительно и :⎡⎧⎪0 < (, ) ≤ √1 ,⎪⎢⎪3 3⎢ ⎨⎡⎢ ′ (, ) > (, , ) ≥ 1 (, ) ,⎢⎪⎣⎢⎪⎩⎢⎪1 (, ) ≥ (, , ) > ′′ (, ) ;⎢⎢⎧⎢⎪⎢⎪0,⎢⎪⎪ <⎧⎡⎢⎪⎪⎢⎪⎪ ⎪⎢⎪⎪⎢ ⎪, ) > 0,⎢⎪⎪⎢ ⎨ (,(︂)︂√︁⎢⎪⎪⎢⎢⎪⎪⎪⎢⎪ (, , )2 − 4 (, , ) (, ) − (, , ) /2 (, ) < 1,0<⎢⎪⎪⎩⎪⎢⎢ ⎨⎢ ⎧⎢ ⎢⎢ ⎢⎪⎪ < 0,⎢⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎪⎢⎨⎢⎪⎪ (, , ) ≤ 0,⎢⎢⎪⎢⎡⎢⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎪⎪⎢⎪ (, , ) < −Γ3 ,⎢⎪⎪⎪⎣⎣⎪⎣⎪⎪⎪⎪⎩ (, , ) > −Γ ,⎩ ⎪2(1.42)31где (, )= (, , ) = ′ (, )= ′′ (, )=1 (, )=2 (, )= 33 √ ,(︂(︂)︂)︂√1 0 cos 0 cos cos2 01+02 −,√2 0(︂)︂1 3 213 √ 1 (, ) − 1 (, ) − (, ) ,2 1(︂)︂11 3 23 √ 2 (, ) − 2 (, ) − (, ) ,2 2(︁ 2 6)︁ ⎞⎛54 √3 + arccos 6 3 − 1 ⎝1 + 2 cos⎠,363(︁ 2 6)︁ ⎞⎛54 √3 − arccos 6 3 − 1 ⎝1 + 2 cos⎠,3636 313.5 2 6 + √3 ,9 3 (︂)︂3641 (, , ) = (, , ) −+273 (, )3 (, )(︂)︂2216 (, , ) −+ 4,9 (, )9 (, )(︂)︂28 (, , ) −, (, , ) = 33 (, )9 (, )1 (, ) = 2, (, ) (, ) 2 (, )1Γ2 (, ) =−, (, )4 (, ) 2 (, )1Γ3 (, ) =−, (, )42 3 (, ) = − 3 √ , 1 (, )=− (, ) и (, ) − вещественные положительные корни уравнений3 + 2 − 1 = 0 и 3 − 2 − 1 = 0 соответственно.32Запишем системы неравенств (1.40) и (1.41) в виде⎡⎧⎪⎪|| ≤ 1,⎪⎢⎪⎨⎢⎪(︀)︀⎢21 (, , ) / 3 2 ,⎢ ⎪ cos > ⎢⎪⎢⎪(︀)︀⎪22⎢⎪⎩(,,)/3,cos>100⎢⎢⎧⎢⎪⎢⎪|| ≤ 1,⎢⎪⎪⎢⎪⎨⎢(︀)︀⎢ cos < 2 1 (, , ) / 3 2 ,⎢⎪⎣⎪⎪(︀)︀⎪⎪2⎩0 cos 0 < 1 (, , ) / 3 2при > 0,⎡⎧⎪⎪ (, , ) ≥ 0,⎪⎡ ⎧⎢⎪⎪ ⎪⎢⎪⎪ ⎪⎢⎪|| ≤ 1,⎪⎢ ⎪⎢⎪⎪⎪⎪⎢⎪⎨⎢⎪⎢⎢⎪⎪⎢ > 0,⎢⎪⎪⎢ ⎪⎢⎪⎨ ⎪⎢⎪⎪⎪⎢ ⎢⎪⎩ > 0,⎢ ⎢⎢⎪⎢ ⎪⎢ ⎧ 0⎢⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎢⎪⎪|| ≤ 1,⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎪⎢⎪⎨⎢⎪⎢⎪⎢⎪⎢⎪⎢ < 0,⎪⎢⎪⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎪⎪⎪⎢⎪⎪⎩⎩0 < 0,⎢⎢⎢⎧⎢⎪⎢⎪ (, , ) < 0,⎢⎪⎪⎡⎧⎪⎢⎪⎪⎪⎢⎪⎪⎪|| ≤ 1,⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎪⎢⎪⎢⎨⎪⎢⎪(︀ √ )︀⎢⎢⎪⎪⎢cos>(,,)/ ,⎪2⎢⎪⎪⎪⎢⎪⎨⎢⎪(︀ √ )︀⎪⎢ ⎢⎪⎩⎢ ⎢cos>(,,)/ ,002⎢⎢⎪⎢⎧⎢⎪⎪⎢ ⎪⎢⎪⎪⎢ ⎪|| ≤ 1,⎢⎪⎪⎢ ⎪⎪⎪⎢⎪⎪⎢⎨⎪⎢⎪(︀ √ )︀⎢⎢⎪⎪⎢cos<(,,)/ ,⎪2⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎪⎣⎪⎪(︀)︀⎪⎪⎩ ⎪⎩0 cos 0 < 2 (, , ) / √ ,(1.43)(1.44)33при < 0, где⎧√︀⎪⎪1−21 + 6 (, ) (, , ) cos (/3 − /3) ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨если > 0 и ′ (, ) ≥ (, , ) ≥ 1 (, ) ;1 =√︀⎪⎪1+21 + 6 (, ) (, , ) cos (/3) ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩если > 0 и 1 (, ) ≥ (, , ) ≥ ′′ (, ) ;2 − больший положительный корень уравнения2423 + 2 + + = 0 при < 0 и (, ) < 0, определяется формулой (1.34).Отметим некоторые свойства областей в импульсном пространстве, задаваемых системой неравенств (1.42) при фиксированном значении .Нетрудно видеть, что если при фиксированных значениях 0 , 0 и система неравенств (1.42) относительно модуля импульса и угла не имеетрешений, то границами области Σ (R0 , Rc , ) являются только кривые второгопорядка.
Известно, что при = 0 не существует таких 0 и 0 , при которыхобласть ∆(, ) является однокомпонентной для любых и угла . Докажем,что последнее утверждение справедливо и для суперпозиционного магнитногополя.Рассмотрим случай > 0. Система (1.42) будет выполнена в этом случае,если⎧⎪⎨0 < (, ) ≤1√,3 3(1.45)⎪⎩ ′ (, ) > (, , ) ≥ 1 (, ) .При → ∞ функция (, ) стремится к 0 при фиксированном : 31lim (, ) = 3 · lim √ = 0,→∞ →∞ (1.46)поэтому при достаточно больших первое неравенство (1.45) будет выполнено.34Из определения (, , ) следует, что⎧⎪⎪⎪+∞, если cos > 0⎪⎪⎨lim (, , ) = 0, если cos = 0→∞⎪⎪⎪⎪⎪⎩−∞, если cos < 0.Заметим, что (, , ) ∼√(1.47) при → ∞, cos ̸= 0.Вычислим пределы функций ′ (, ) и 1 (, ) при → ∞.
Из определения 1 (, )6 313.5 2 6 + = −∞.√3→∞9 3 lim 1 (, ) = − lim→∞(1.48)Поскольку lim 1 = 1, то→∞(︂)︂ 3 211= −1. (1.49)lim (, ) = · lim3 √ 1 (, ) − 1 (, ) − (, )→∞2 →∞ 1′Из (1.47) − (1.49) и соотношений эквивалентности для функций (, , )и 1 (, ) при → ∞ следует, что неравенство ′ (, ) > (, , ) ≥ 1 (, )будет выполнено при достаточно больших и cos < 0. Поскольку уже быладоказана справедливость первого неравенства (1.45) при → ∞, для любойточки R0 найдутся такие и , что соответствующая область ∆(, ) будетдвухкомпонентной и, таким образом, сформулированное утверждение для случая > 0 доказано.Если < 0, то достаточные условия двухкомпонентности задаются системой неравенств⎧⎪⎨ (, , ) ≤ 0,(1.50)⎪⎩ (, , ) < −Γ3 (, ) .Из (1.47) следует, что при cos < 0 первое неравенство (1.50) будет выполнено при достаточно больших . При → ∞ параметр (, ) стремится к350, поэтому уравнение для корня примет вид2 − 1 = 0,откуда следует, что радиус круговой орбиты → 1 при → ∞.
Поскольку−Γ3 (, ) = −Γ3 ( (, )) → 1 при → 0, система (1.50) оказывается выполненной для ∈ (/2, 3/2) и достаточно больших и, таким образом, утверждение доказано полностью.Сформулируем теперь четыре следующих важных утверждения о структуре области Σ (R0 , Rc , ).1.а) Если при фиксированных значениях 0 , , 0 , и > 0 системанеравенств (1.43) относительно модуля импульса и угла выполнена для любых и из пересечения областей (1.35) и (1.42), тограницами области Σ (R0 , Rc , ) являются только кривые второгопорядка.б) Если при фиксированных значениях 0 , , 0 , и < 0 системанеравенств (1.44) относительно модуля импульса и угла выполнена для любых и из пересечения областей (1.35) и (1.42), тограницами области Σ (R0 , Rc , ) являются только кривые второгопорядка.2.а) Если при заданных 0 , , 0 , и > 0 существует пара (, ), длякоторой выполнены (1.35) и (1.42) и не выполнена система (1.43), тограницы области Σ (R0 , Rc , ) не являются кривыми второго порядка.б) Если при заданных 0 , , 0 , и < 0 существует пара (, ), длякоторой выполнены (1.35) и (1.42) и не выполнена система (1.44), тограницы области Σ (R0 , Rc , ) не являются кривыми второго порядка.363.а) Пусть > 0,22 () = min1 (, , ) , () = max1 (, , ) .2, 3, 3 2Тогда если⎧⎪⎨0 cos 0 < () ,или⎪⎩ cos < () ;⎧⎪⎨0 cos 0 > () ,(1.51)⎪⎩ cos > () ,то границами области Σ (R0 , Rc , ) являются только кривые второгопорядка.б) Пусть < 0, () = min √,Пусть также⎧⎪⎨0 < 0,⎪⎩ < 0;2 (, , ) , () = min √2 (, , ) .,или⎧⎪⎨0 > 0,(1.52)⎪⎩ > 0.Тогда если верна система (1.51), то границами области Σ (R0 , Rc , )являются только кривые второго порядка.√︀24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
