Диссертация (1149843), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если > 0, то в круге радиуса 3 2 · 3 2 /границы области Σ (R0 , Rc , )являются только кривыми второго порядка.Обсудим более подробно 3-е утверждение. Результаты расчётов показывают, что (0) = 0, (0) = +∞ и, следовательно, в случае дипольногомагнитного поля нельзя сделать никакие определённые заключения о структуре области Σ (R0 , Rc , ), руководствуясь только приведённым критерием. Нов общем случае существуют такие значения , для которых () < +∞ и(︀)︀может быть выполнена первая система (1.51).
Например, 4 · 10−4 = 12.6,значит, при = 4 · 10−4 , 0 cos 0 < 12.6 и cos < 12.6 границами области37Σ (R0 , Rc , ) являются только кривые второго порядка. Утверждение 3 является достаточным условием совпадения границ области Σ (R0 , Rc , ) с кривымивторого порядка.При численном построении области Σ (R0 , Rc , ) вместо проверки выполнения условий (1.42)–(1.44) можно также использовать следующий метод.Соединим точки r̃0 и r̃c кусочно-гладким путём Γ. В качестве Γ возьмёмобъединение дуг, составляющих силовые линии суперпозиционного поля, и дуг,ортогональных к силовым линиям.2 Проверим, лежит ли Γ целиком в области∆(, ), т. е.
выполено ли условие Γ ⊂ ∆ (, ). Для этого выберем на Γ точекс радиусами-векторами r̃Γj на расстояниях друг от друга , 1 ≤ ≤ . Длякаждой точки r̃Γj проверим выполнение условия(︀)︀ ˜Γ , Γ , , ≥ 0,(1.53)где ˜Γ и Γ − координаты точки r̃Γj .⃒⃒Очевидно, что при → ∞ max ⃒r̃Γ+1 − r˜j Γ ⃒ = → 0 и построенная такимобразом область будет стремиться к искомой области Σ (R0 , Rc , ).Перейдём теперь к конкретным примерам построения областей Σ (R0 , Rc , ).Положим, что в начальный момент времени частица находится в точке скоординатами 0 = 4, 0 = 30∘ . Исследуем области Σ (R0 , Rc , ) для различных положений исследуемой точки и параметра . В Табл.
1.1 приведенызначения координат и , соответствующие Рис. 1.4–1.9. В Табл. 1.2 длякаждого рисунка указаны значения параметров , , , и − .2Параметризация координатных линий дипольной системы координат приведена в [49]. В случае супер-позиционного поля соответствующую координатную систему удобнее строить численно.38Таблица 1.1.
Координаты точки Rc№ Рис. 1.2а1.2б1.3а1.3б1.41.51.6а1.6б1.6в1.7а1.7б662253.130.70.70.719192020403546.15 400003030 ,∘Таблица 1.2. Значения параметров , , , и − № Рис.ABC − 1.2 а−2.68 · 1031.32 · 1060.61−5 · 10−33.90 · 1031.2 б−2.68 · 1031.32 · 1060.6110−3−4.00 · 1031.3 а2.59 · 104−2.36 · 1062.2610−32.83 · 1041.3 б3.39 · 104−2.13 · 1062.11−2 · 10−2−8.77 · 1031.4−9.9 · 1030110−3−9.9 · 1031.50−9.78 · 1051.44001.6 а6.65 · 105−6.17 · 1064.95−0.2−5.68 · 1051.6 б6.65 · 105−6.17 · 1064.950.11.28 · 1061.6 в6.65 · 105−6.17 · 1064.9506.65 · 1051.7 а−3.37 · 1035.90 · 1060.2110−4−3.96 · 1031.7 б−3.37 · 1035.90 · 1060.213.5 · 10−4−5.44 · 10339а)б)Рис. 1.2. Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда < 1 и выполнено условие утверждения 1: а) − > 0; б) − < 0.
Границей области 1 является эллипс.а)б)Рис. 1.3. Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда > 1 и выполнено условие утверждения 1: а) − > 0; б) − < 0. Границами области 1 являются гиперболы.40Рис. 1.4. Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда = 1 и выполнено условие утверждения 1. Границей области1 является парабола.Рис.
1.5. Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда − = 0 и выполнено условие утверждения 1. Границамиобласти 1 является пара пересекающихся прямых, проходящих через началокоординат.41а)б)в)Рис. 1.6. Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда > 1 и выполнено условие утверждения 2: а) = −0.2; б) = 0.1; в) = 0. Область Σ (R0 , Rc , ) совпадает с областью 3, её границы неявляются кривыми второго порядка.42а)б)Рис. 1.7.
Сечение Σ (R0 , Rc , ) области разрешённых импульсов Φ (R0 , Rc , )в случае, когда < 1 и выполнено условие утверждения 2: а) = 10−4 ; б) = 3.5 · 10−4 . Область Σ (R0 , Rc , ) совпадает с областью 3, её границы вслучае а) не являются кривыми второго порядка.Для областей импульсного пространства, изображённых на Рис. 1.2 − 1.7,приняты следующие обозначения: область 1 − множество импульсов p, для которых иследуемая точка Rc принадлежит запрещённой области движения в координатном пространстве ∆ (, ); область 2 − множество импульсов p, длякоторых разрешённая область ∆ (, ) является двухкомпонентной и начальнаяи исследуемая точки находятся в разных компонентах; область 3 − множествоимпульсов p, для которых разрешённая область ∆ (, ) является однокомпонентной и исследуемая точка Rc лежит в разрешённой области ∆ (, ); область4 − множество импульсов p, для которых разрешённая область ∆ (, ) является двухкомпонентной и начальная и исследуемая точки находятся в одной еёкомпоненте.
Таким образом, область Σ (R0 , Rc , ) представляется в виде объединения областей 3 и 4, а её дополнение Σ (R0 , Rc , ) − в виде объединенияобластей 1 и 2. Как показано выше, границами области 1 являются толькокривые второго порядка, поэтому отличие границ Σ (R0 , Rc , ) от указанныхкривых определяется существованием в импульсном пространстве точек области 2.43На Рис. 1.2 − 1.5 представлены области Σ (R0 , Rc , ) в случае, когда выполнены условия утверждения 1 и, следовательно, границы области Σ (R0 , Rc , )образованы только кривыми второго порядка, невырожденными (Рис. 1.2–1.4)или вырожденными (Рис.
1.5). Для значений параметров, соответствующихРис. 1.2, < 1, поэтому границей Σ (R0 , Rc , ) является эллипс с фокусами на оси ; при − > 0 большая по площади часть области Σ (R0 , Rc , )лежит в полуплоскости > 0, при − < 0 − в полуплоскости < 0.В структуре импульсного пространства, приведённой на Рис. 1.2а, выделяетсяобласть 4, примыкающая к области 1, в то время как на Рис. 1.2б область 4отсутствует.На Рис. 1.3 изображена структура импульсного пространства в случае,когда выполнены условия утверждения 1 и > 1. В этом случае границамиобласти Σ (R0 , Rc , ) являются гиперболы с фокусами на оси , причём при − > 0 (Рис. 1.3а) обе точки пересечения гипербол с осью находятся наотрицательной полуоси оси , при − < 0 − на положительной полуосиоси .В примерах, приведённых на Рис.
1.4 − 1.5, также выполнены условияутверждения 1, причём дискриминант кривой второго порядка, являющейся вэтом случае границей области Σ (R0 , Rc , ), равен 0. Как следует из вышеизложенного, при = 1 в условиях утверждения 1 граница области Σ (R0 , Rc , )задаётся параболой с вершиной на оси . Для значений параметров, соответствующих Рис. 1.4, − < 0, поэтому для вершины параболы > 0.Границы области Σ (R0 , Rc , ) могут задаваться и вырожденными кривымивторого порядка, что показано на Рис. 1.5, для которого область 1, совпадающая с Σ (R0 , Rc , ), ограничена парой пересекающихся прямых, проходящихчерез начало координат.
В данном случае, как видно из Рис. 1.5, в структуреимпульсного пространства при < 10−14 г· /с присутствует область 3, невлияющая на Σ (R0 , Rc , ).На Рис. 1.6–1.7 представлены области 1–4 в случае, когда выполнены усло-44вия утверждения 2 и, таким образом, границы области Σ (R0 , Rc , ) отличаются от кривых второго порядка. Возможная структура импульсного пространства в этом случае при > 1 показана на Рис. 1.6.
Принципиальное отличиеРис. 1.6 от Рис. 1.2 − 1.5 заключается в наличии области 2, для импульсов pиз которой начальная и исследуемая точки находятся в разных подобластяхдвухкомпонентной разрешённой области движения ∆ (, ). Как показываютрезультаты расчётов, добавление к дипольному полю (Рис. 1.6в) внешнего однородного магнитного поля (Рис. 1.6а, 1.6б) приводит к изменению параметровграниц областей 1 и 2, но не меняет их качественный характер.
В частности,изменяется расположение точек пересечения областей 1 и 2 с осями координати фокусов гипербол, являющихся границами области 1.Увеличение параметра по модулю может оказать существенное влияние на вид областей Σ (R0 , Rc , ), что подтверждается Рис. 1.7, на которомпредставлены области 1 − 4 для = 10−4 (Рис. 1.7а) и = 3.5 · 10−4 (Рис.1.7б). Возможный вид импульсного пространства в условиях утверждения 2при < 1 представлен на Рис. 1.7а. Как видно из рисунка, в этом случае вструктуре координатного пространства присутствует область 2, дающая отличие границ области Σ (R0 , Rc , ) от эллипса. При усилении однородного поляплощадь области 2 уменьшается и начиная с некоторого значения становитсяравной 0.
Для значений параметров, соответствующих Рис. 1.7б, оказываютсявыполненными условия утверждения 1 и отличие границы области Σ (R0 , Rc , )от эллипса исчезает.452ЗАДАЧА О ДИНАМИКЕ ВЕДУЩЕГОЦЕНТРА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ ВСУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЯ МАГНИТНОГОДИПОЛЯ И ОДНОРОДНОГОМАГНИТНОГО ПОЛЯ2.1.Вывод квадратуры для дрейфа ведущего центраДадим общую формулировку дрейфовых уравнений движения.Рассмотрим частицу массы3 и заряда , движущуюся в магнитном поле B и поле сил немагнитной природы F.
Будем предполагать, что выполненыусловия слабой неоднородности поля B (см. [5]):⎧⎨ |(∇)⊥ | ≪ ,(2.1)⎩ |(∇) | ≪ ,‖ ‖где = ⊥ / − ларморовский радиус, = 2/ − период ларморовского вращения, ⊥ − проекция скорости частицы на плоскость, перпендикулярную B, ‖ − составляющая скорости частицы в направлении B, |(∇)⊥ | −модуль проекции градиента на плоскость, перпендикулярную B, |(∇)‖ | −модуль проекции градиента на направление B. В однородном поле, как известно, движение можно рассматривать как наложение вращения по ларморовской окружности на движение центра ларморовской окружности вдоль силовойлинии поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
