Диссертация (1149840), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè, ïðåäïîëàãàåì ïàðàìåò-87ðû λ1 = 1, λ2 = 0.5, à ìîìåíò âðåìåíè ω = 5. Ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ1 − e−tF1 (t) =,1 − e−51 − e−0.5tF2 (t) =.1 − e−2.5(4.35)Ðèñóíîê 4.1. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêèðåñóðñà.Ïîëó÷èì âèä ôóíêöèé ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèéλi e−λi tfi (t) =,1 − e−λi ωt ∈ [0, ω], i ∈ {1, 2}.Ãðàôèêè ïîëó÷åííûõ ïëîòíîñòåé ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 4.2.(4.36)88Ðèñóíîê 4.2. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêèðåñóðñà.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè äëÿ êàæäîé ôèðìû çàäà¼òñÿ âûðàæåíèåì:ZE[Ti ] =0ω1(1 + λi ω)e−λi ωλi e−λi τdτ =−,τ1 − e−λi ωλiλii ∈ {1, 2}.Äëÿ èãðîêà i, i ∈ {1, 2} ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿGi (t, x). Êàê óæå áûëî ïîêàçàíî, â îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ çíà÷åíèÿ â çàäà÷å Gi (t, x) èìååò âèä (4.10).
Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ci (t), òàê êàêèìåííî îíà âõîäèò â âûðàæåíèå äëÿ îïòèìàëüíîé (ðàâíîâåñíîé ïî Íýøó)ñòðàòåãèè èãðîêà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå Γi (t0 , x0 ). Îòìåòèì òîò ôàêò,÷òîCi (t) > 0,t ∈ [0, ω), i ∈ {1, 2}.(4.37)Äåéñòâèòåëüíî, â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ëåãêî óáåäèòüñÿ, åñëèîáðàòèòüñÿ ê ïðåäñòàâëåíèþ (4.11). Åñëè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâîêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè èìåþò âèä (4.34), òî äëÿ Ci (t) èìååì ñëåäóþùåå ïðåä-89ñòàâëåíèå:Rω= αi1λi−λi τ−λi ωe−edτ=Ci (t) = αi t −λ ti − e−λi ωee−λi t − e−λi ω − e−λi ω (ω − t) αie−λi ω (ω − t)=−,e−λi t − e−λi ωλi e−λi t − e−λi ωi ∈ {1, 2}.Äîïîëíèòåëüíî áóäåì ïðåäïîëàãàòü äëÿ èãðîêîâ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ αi :α1 = 1,α2 = 2.Äëÿ êîíêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé (4.35) ãðàôèêè ôóíêöèé Ci (t) äëÿ êàæäîãî èãðîêà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 4.3.Ðèñóíîê 4.3.
Ãðàôèêè ôóíêöèé Ci (t).Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâóõ àñèììåòðè÷íûõ èãðîêîâ, ïðè÷¼ì âòîðîé èãðîê ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ¾ñèëüíûì¿: Âî-ïåðâûõ, ïî ïðåäïîëîæîíèþ α2 > α1 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè ðàçðàáîòêè ðåñóðñà ôèðìàìè, ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè(4.3) âòîðîãî èãðîêà ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ íåæåëè ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïåðâîãî èãðîêà; ò.
å., âòîðîé èãðîê ïîëó÷àåò áîëüøèé äîõîä90ïðè îäèíêîâûõ èíòåíñèâíîñòÿõ ðàçðàáîòêè ñ ïåðâûì èãðîêîì. Âî-âòîðûõ, âåðîÿòíîñòü îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè ðåñóðñà âòîðûì èãðîêîìê ìîìåíòó âðåìåíè t ìåíüøå âåðîÿòíîñòè îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè ïåðâûìèãðîêîì ê ýòîìó æå ìîìåíòó âðåìåíè t äëÿ ëþáîãî t ∈ [0, ω):F2 (t) < F1 (t),t ∈ [0, ω),ãäå Fi (t), i ∈ {1, 2} çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (4.35).Íà ðèñóíêå 4.4 ïðèâåä¼ì åùå îäèí ãðàôèê - ãðàôèê ôóíêöèè çíà÷åíèÿWi (t, x) (äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè äëÿ âòîðîãî èãðîêà, ãðàôèê ôóíêöèè çíà÷åíèÿäëÿ ïåðâîãî èãðîêà èìååò â öåëîì àíàëîãè÷íûé âèä).Ðèñóíîê 4.4.
Ãðàôèê ôóíêöèè çíà÷åíèÿ W2 (t, x).Ïåðåéä¼ì òåïåðü ê àíàëèçó ïîëó÷åííûõ îïòèìàëüíûõ (ðàâíîâåñíûõ ïîÍýøó) ñòðàòåãèé èãðîêîâ (4.27). Ãðàôèê ñòðàòåãèé u∗ (t, x), i ∈ {1, 2} ïðèâåä¼í íà ðèñóíêå 4.5.91Ðèñóíîê 4.5. Ãðàôèê ðàâíîâåñíûõ ñòðàòåãèé ui (t, x), i ∈ {1, 2}.Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àåu∗1 (t, x) ≥ u∗2 (t, x),x ∈ [0, x0 ], t ∈ (0, ω).Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âòîðîé èãðîêâ ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó äîáûâàåò ðåñóðñ ñ ìåíüøåé èíòåíñèâíîñòüþ,ñòðåìÿñü îñòàâèòü áîëüøèé çàïàñ ðåñóðñà ê áîëåå ïîçäíåìó âðåìåíè, òàê êàêâåðîÿòíîñòü ïåðâûì ïî ñ÷¼òó âûíóæäåííî çàêîí÷èòü ðàçðàáîòêó ðåñóðñà óâòîðîãî èãðîêà ãîðàçäî âûøå, ÷åì ó ïåðâîãî èãðîêà. Ïåðâûé æå èãðîê âåä¼òäîáû÷ó ðåñóðñà ñ áîëüøåé èíòåíñèâíîñòüþ, îïàñàÿñü ðàíî çàêîí÷èòü ðàçðàáîòêó.Ðàññìîòðèì äàëåå äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó ðàçðàáîòêè íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ Γ(t0 , x0 ), â êîòîðîé äèíàìèêàçàïàñà ðåñóðñà, êàê è â èãðå Γ(t0 , x0 ), çàäà¼òñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (4.1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (4.2).
 îòëè÷èå îò èãðû Γ(t0 , x0 ) â èãðåΓ(t0 , x0 ) îáà èãðîêà èìåþò îäèíàêîâûé ìîìåíò âûõîäà èç èãðû ðàâíûé ìè-92íèìóìó èç ìîìåíòîâ âûõîäîâ èãðîêîâ. Òàêèì îáðàçîì, èãðà Γ(t0 , x0 ) ÿâëÿåòñÿäèôôåðåíöèàëüíîé èãðîé ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ â îáùåïðèíÿòîé ïîñòàíîâêå [27, 32, 52].Ôóíêöèîíàëû âûèãðûøà äëÿ èãðîêîâ â èãðå Γ(t0 , x0 ) íåòðóäíî ïîëó÷èòüèç ôîðìóëû (4.19), ïîëîæèâ Ci (t) è Di (t) òîæäåñòâåííî ðàâíûìè íóëþ íàîòðåçêå [0, ω]. Îáîçíà÷èì ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè â ýòîé èãðå ÷åðåç u(t, x);ïîëó÷èì ýòè ñòðàòåãèè àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì èç ôîðìóëû (4.27):1 − F (t) xui (t, x) = Rω .1 − F (τ ) dτtÑðàâíèì ðàâíîâåñíûå ïî Íýøó ñòðàòåãèè èãðîêîâ â èãðå Γ(t0 , x0 ) ñ ðàâíîâåñíûìè ñòðàòåãèÿìè â èãðå Γ(t0 , x0 ). Êàê ìû îòìåòèëè ðàíåå, äëÿ ôóíêöèèCi (t), i ∈ {1, 2} âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (4.37).
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåìñëåäóþùåå íåðàâåíñòâîui (t, x) ≥ u∗i (t, x),i ∈ {1, 2}; x ∈ [0, x0 ], t ∈ (0, ω).Îòìåòèì, ÷òî â ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â èãðå Γ(t0 , x0 ) èíòåíñèâíîñòü ðàçðàáîòêè ðåñóðñà ó êàæäîé ôèðìû ìåíüøå, ÷åì â ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â èãðå Γ(t0 , x0 ).
Ðåñóðñ, òàêèì îáðàçîì, âûáèðàåòñÿ ìåäëåííåå. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì ôàêòîì, ÷òî èãðîêè â èãðå Γ(t0 , x0 ) ïðè âûáîðå èíòåíñèâíîñòèäîáû÷è ðåñóðñà äîïîëíèòåëüíî ó÷èòûâàþò ñâîé âîçìîæíûé äîõîä â çàäà÷åîïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, åñëè äðóãîé èãðîê ïðåêðàòèò ðàçðàáîòêó ïåðâûì.Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî èãðîêè ê ìîìåíòó âðåìåíè t, t ∈ (0, ω) îñòàâëÿþòáîëüøèé çàïàñ ðåñóðñà ïî ñðàâíåíèþ ñ èãðîé Γ(t0 , x0 ), ðàññ÷èòûâàÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïîëó÷èòü äîõîä îò åãî ðàçðàáîòêè.Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü ïðåäëîæåííàÿ â ãëàâå 3 ïîçâîëÿåò áîëåå àäåêâàòíîîïèñàòü ïðîöåññ ñîâìåñòíîé ðàçðàáîòêè íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà, ÷åì ìî-93äåëü, îñíîâàííàÿ íà äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ñî ñëó÷àéíî ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ â îáùåïðèíÿòîé ïîñòàíîâêå (ñ âîçìîæíîé ïîñëåäóþùåé ìàêñèìèçàöèåéäîõîäà â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ).94ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ ðàáîòå âïåðâûå áûëà ðàññìîòðåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êîíôëèêòíîóïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà íà îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû äâóõ ëèö, â êîòîðîé ïðîäîëæèòåëüíîñòü èãðû äëÿ êàæäîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ñâîþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõôóíêöèîíàë âûèãðûøà äëÿ èãðîêà â äàííîé èãðå áûë ïðèâåäåí ê ñòàíäàðòíîìó èíòåãðàëüíîìó ôóíêöèîíàëó. êà÷åñòâå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè â äàííîì êëàññå äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð äâóõ ëèö ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ áûëî ðàññìîòðåíî ñîñòîÿòåëüíîå ïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, ïîëó÷åíà ñèñòåìà óðàâíåíèéÃàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà è òåîðåìà, çàäàþùàÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñîñòîÿòåëüíîãî ïîçèöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó, ïðåäëîæåíàëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ðàáîòå òàêæå áûëà ðåøåíà äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà ñîâìåñòíîé ðàçðàáîòêè íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà, â êîòîðîé ìîìåíòû îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêèðåñóðñà äëÿ èãðîêîâ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ïîñëåäîâàòåëüíî íàéäåíû ôóíêöèè çíà÷åíèÿ â çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ èãðîêîâ, ïîñòðîåíî è èññëåäîâàíî ñîñòîÿòåëüíîå ïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. äèññåðòàöèè áûëè ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèîíàëà âûèãðûøà â âèäå ñòàíäàðòíîãî èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñî ñëó÷àéíî ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ.
Áûëàèññëåäîâàíà êîîïåðàòèâíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà óïðàâëåíèÿ âðåäíûìèâûáðîñàìè ñî ñëó÷àéíûì ìîìåíòîì îêîí÷àíèÿ.  äàííîé èãðå áûëè ïîñòðîåíû âåêòîð Øåïëè, âûáðàííûé â êà÷åñòâå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè, è ïðîöåäóðà ðàñïðåäåëåíèÿ äåëåæà, ãàðàíòèðóþùàÿ äèíàìè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòüâåêòîðà Øåïëè.95Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Àëåêñååâ Â.Ì., Òèõîìèðîâ Â.Ì., Ôîìèí Ñ.Â. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.Ì.: Íàóêà, 1979. 432 ñ.2. Àôàíàñüåâ Â.Í., Êîëìàíîâñêèé Â.Á., Íîñîâ Â.Ð. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ.
Ì.: Âûñø. øê., 2003. 614 ñ.3. Áåëëìàí Ð. Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèòðû, 1960. 400 ñ.4. Áåëëìàí Ð., Äðåéôóñ Ñ. Ïðèêëàäíûå çàäà÷è äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1965. 460 ñ.5. Áåëëìàí Ð., Ýíäæåë Ý. Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå è óðàâíåíèÿâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ì.: Ìèð, 1974. 207 ñ.6. Ãåëáàóì Á., Îëìñòåä Äæ. Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå. Ì.: Ìèð,1967. 234 ñ.7. Çîðè÷ Â.À.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü I. Èçä. 4-å èñïð. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. XVI, 664 c.8. Êëåéìåíîâ À.Ô. Çàäà÷è êîíôëèêòíîãî óïðàâëåíèÿ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1975. Ò. 39. Âûï. 2. Ñ. 225234.9. Êëåéìåíîâ À.Ô. Ê êîîïåðàòèâíîé òåîðèè áåñêîàëèöèîííûõ ïîçèöèîííûõ èãð // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ò. 312. 1. 1990. Ñ 3235.10. Êëåéìåíîâ À.Ô. Êîîïåðàòèâíûå ðåøåíèÿ â ïîçèöèîííîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ìíîãèõ ëèö ñ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïëàòåæåé // Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1990. Ò. 54. Âûï. 3. Ñ. 389394.11. Êëåéìåíîâ À.Ô. Íåàíòàãîíèñòè÷åñêèå ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. Åêàòåðèíáóðã: Íàóêà. ÓÐÎ. 1993. 185 ñ.12. Êëåéìåíîâ À.Ô. Î ðåøåíèÿõ â íåàíòàãîíèñòè÷åñêîé ïîçèöèîííîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1997. Ò.
61.Âûï. 5. Ñ. 739746.9613. Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1989. 624 ñ.14. Êîíîíåíêî À.Ô. Î ðàâíîâåñíûõ ïîçèöèîííûõ ñòðàòåãèÿõ â íåàíòàãîíèñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ. 1976. Ò.231. 2. Ñ. 285288.15. Êîñòþíèí Ñ. Þ., Ïàëåñòèíè A., Øåâêîïëÿñ Å. Â. Îá îäíîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå, ìîäåëèðóþùåé ðàçðàáîòêó íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà// Âåñòíèê Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð 10: Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, èíôîðìàòèêà, ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2013. Âûï.
3. Ñ. 7382.16. Êîñòþíèí Ñ. Þ., Øåâêîïëÿñ Å. Â. Îá óïðîùåíèè èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ// Âåñòíèê Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð 10: Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, èíôîðìàòèêà, ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2011. Âûï. 4.
Ñ. 4756.17. Êîñòþíèí Ñ. Þ., Øåâêîïëÿñ Å. Â. Îäíà ìîäèôèöèðîâàííàÿ òåîðåòèêîèãðîâàÿ ìîäåëü ðåãóëèðîâàíèÿ âðåäíûõ âûáðîñîâ // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü: Òðóäû 41-é ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèèàñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ / ïîä ðåä. Í. Â. Ñìèðíîâà, Ã. Ø. Òàìàñÿíà.ÑÏá.: Èçäàò. Äîì Ñ.-Ïåòåðá. ãîñ. óí-òà, 2010. Ñ. 647653.18. Êîñòþíèí Ñ. Þ., Øåâêîïëÿñ Å.
Â. Î âûáîðå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè â çàäà÷å ðàçðàáîòêè íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ èóñòîé÷èâîñòü: Òðóäû 43-é ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ / ïîä ðåä. À. Ñ. Åð¼ìèíà, Í. Â. Ñìèðíîâà. ÑÏá.:Èçäàò. Äîì Ñ.-Ïåòåðá. ãîñ. óí-òà, 2012. Ñ. 527531.19. Êðàñîâñêèé Í.Í. Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. Çàäà÷à î ìèíèìóìå ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà. Ì.: Íàóêà, 1985. 469 ñ.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
