Диссертация (1149831), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

2.1: Схематическое изображение эмиссионных систем с полевым катодомв виде полого или сплошного цилиндра.192.1.2Математическая модель полевого катода цилиндрической формы с острой кромкойРассмотрим задачу нахождения электростатического потенциала вдиодной системе, состоящей из полевого катода в виде полого цилиндра с остройкромкой на плоской подложке и плоского анода (рис. 2.1 a)).Распределение электростатического потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям [2, 82]:1 (︂)︂ 2+= 0, 2 (,0) = 0, 0 ≤ ≤ 2 , (,2 ) = , 0 ≤ ≤ 2 , (1 ,) = 0, (2 ,) = (2.1)0 ≤ ≤ 1 ,,20 ≤ ≤ 2 ,Для получения необходимой формы острия полевого катода, в "теле"цилиндра на оси системы = 0 разместим точечный заряд (рис. 2.1 c)).Будем считать, что заряд (0, ) распределен в малом объеме [80, 83] < 1 ,| − | < 2с постоянной объемной плотностью заряда так, что: = lim 212 21 →02 →020Таким образом, для нахождения распределения потенциала требуется решитьуравнение Пуассона с граничными условиями из системы (2.1):1 (︂)︂(, ) 2=−+, 20 (,0) = 0, 0 ≤ ≤ 2 , (,2 ) = , 0 ≤ ≤ 2 , (1 ,) = 0, (2 ,) = (2.2)0 ≤ ≤ 1 ,,20 ≤ ≤ 2 ,Функция (,) в в правой части уравнения Пуассона для граничнойзадачи (2.2) определяется следующим образом:(,) =⎧⎪⎨, < 1 ,| − | < 2⎪⎩0, > 1 ,| − | > 2Всю область рассматриваемой системы разделим на три перекрывающиеся подобласти:1 - (0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2 ),2 - (1 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 2 ),3 - (0 ≤ ≤ 2 , 1 ≤ ≤ 2 ).Распределение потенциала в каждой из подобластей (,) = (,)( = 1,2,3) представимо в виде разложения Фурье-Бесселя [79, 83]:область 121∞∑︁0 ( )sin ( ) +1 (,) = +2 =10 ( 1 )∞1 ∑︁0 ( ) 2×+0 1 1 ( ) sh ( 2 )=1(2.3)×( sh ( ((2 − ) + (2 − ) − | − |)/2) ×× sh ( (( + ) − | − |)/2)),область 2∞∑︁0 ( ) 0 ( 2 ) − 0 ( 2 ) 0 ( )2 (,) = +sin ( ) ,2 =10 ( 1 ) 0 ( 2 ) − 0 ( 2 ) 0 ( 1 )(2.4)область 3∞∑︁sh ( (2 − ))3 (,) = +0 ( ) ,2 =1sh ( (2 − 1 ))(2.5)где0 () — функция Бесселя первого рода, = /1 , = /2 , — нули функции Бесселя: 0 ( ) = 0, = /20 ( ), 0 ( ) — модифицированные функции Бесселя первого и второгорода, соответственно.Условие непрерывности распределения потенциала (2.3), (2.4), (2.5)на границах раздела подобластей на поверхностях = 1 и = 122⎧⎨ (, ), 0 ≤ ≤ ,1113 (,1 ) =⎩ 2 (,1 ), 1 ≤ ≤ 2 ,⎧⎨ 0,0 ≤ ≤ 1 ,1 (1 ,) =⎩ 3 (1 ,), 1 ≤ ≤ 2 ,позволяют вычислить коэффициенты , (, = 1,∞) как решение линейнойсистемы алгебраических уравнений:∞∑︀20 ( 1 ) − 2( sin( 1 ) cth( (2 − 1 )) + cos( 1 )) =2( + 2(︂)=1)︂2=cos( 1) − sin( 1 ) ,1∞sin( 1 ) 1 0 ( 1 )22 1 ( )2 ∑︀−×222(+)=1)︂(︂1 ( ) 0 ( 2 ) + 0 ( 2 ) 1 ( )1 ( 1 )−=×0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 2 ) − 0 ( 2 ) 0 ( 1 )∞ ∑︀=0 ( 1 )×0 1 =1×2.1.3(2.6)sh ( ) sh ( (2 − 1 )).1 ( ) sh ( 2 ) (2 − 2 )ЗаключениеВ данном разделе моделируется осесимметричная диодная эмиссион-ная система на основе полого полевого острия цилиндрической формы.

Остриерасположено на плоской подложке, анод — плоскость. Влияние пространственного заряда не учитывается. Все геометрические размеры системы и значенияпотенциалов на электродах представляют собой параметры задачи. Для тогочтобы получить требуемую форму полевого острия с острой кромкой или закругленной вершиной, на оси системы внутри тела цилиндра помещается точечный заряд. Распределение электростатического потенциала системы являетсярешением граничной задачи (2.2) и представляется в виде рядов Фурье-Бесселя(2.3), (2.4), (2.5), коэффициенты которых определяются из системы линейных23алгебраических уравнений (2.6). При варьировании величины свободного заряда можно добиться закругленной формы виртуального катода.2.2Математическое моделирование диодной системы со сплошным катодом цилиндрической формы2.2.1Постановка задачи расчета диодной системы сосплошным катодом с закругленной вершинойРассмотрим задачу нахождения электростатического потенциала вдиодной системе, состоящей из полевого катода в виде сплошного цилиндра сзакругленной вершиной на плоской подложке и плоского анода (рис.

2.2).Параметры задачи: = 0 —поверхность подложки, = 1 — длина цилиндрического тела катода, = — длина катода, = 2 — поверхность анода, = 1 — радиус катода, = 2 — радиус внешней области системы, (,0) = 0 — граничное условие на подложке, (1 ,) = 0, (0 ≤ ≤ 1 ) — граничное условие на катоде, (2 ,) = /2 — граничное условие на границе = 2 , (,2 ) = — граничное условие на аноде.24rR2R1Z1 ZqZ2 zРис. 2.2: Схематическое изображение полевого катода.252.2.2Математическая модель диодной системы со сплошным катодом с закругленной вершинойРассматриваема система состоит из полевого катода в виде сплош-ного цилиндра с закругленной вершиной на плоской подложке и плоского анода(рис. 2.2).Распределение электростатического потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям:1 (︂)︂ 2+= 0, 2 (,0) = 0, 0 ≤ ≤ 2 , (,1 ) = 0, 0 ≤ ≤ 1 ,(2.7) (,2 ) = , 0 ≤ ≤ 2 , (1 ,) = 0, (2 ,) = 0 ≤ ≤ 1 ,,0 ≤ ≤ 2 ,2Как и в предыдущем параграфе, для получения необходимой формыострия полевого катода, на вершине цилиндра на оси системы = 0 разместимточечный заряд.

Будем считать, что заряд (0, ) распределен в малом объеме[80, 83] < 1 ,| − | < 2с постоянной обхемной плотностью заряда так, что: = lim 212 21 →02 →026Таким образом, для нахождения распределения потенциала требуется решитьуранение Пуассона с граничными условиями из системы (2.7):1 (︂)︂(, ) 2=−+, 20 (,0) = 0, 0 ≤ ≤ 2 , (,1 ) = 0, 0 ≤ ≤ 1 ,(2.8) (,2 ) = , 0 ≤ ≤ 2 , (1 ,) = 0, (2 ,) = 0 ≤ ≤ 1 ,,0 ≤ ≤ 2 ,2Функция (,) в в правой части уравнения Пуассона для граничнойзадачи (2.2) определяется следующим образом:(,) =⎧⎪⎨, < 1 ,| − | < 2⎪⎩0, > 1 ,| − | > 2Всю внутреннюю область системы разобъем на две перекрывающиеся подобласти:область 1 — (0 ≤ ≤ 1 , 1 ≤ ≤ 2 ),область 2 — (1 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 2 ).Распределение потенциала (2.8) для каждой подобласти (,) = (,) ( = 1,2) представим в виде рядов [79, 83]:область 1∞∑︁ 0 ( ,,2 )1 (,) = +sin ( ) ,1 0 ( ,1 ,2 )=1(2.9)27область 2∞∑︁sh ( (2 − ))+0 ( ) + (,),2 (,) = 1 =1sh ( (2 − 1 ))(2.10)где =,2 =,20 ( ) = 0, 0 (,,) = 0 () 0 () − 0 () 0 () , 1 (,,) = 1 () 0 () + 1 () 0 () , (,) =⎧∞∑︁⎪sh ( (2 − )) sh ( ( − 1 ))⎪⎪0 ( ),⎪⎪ 12 ( ) sh ( (2 − 1 ))⎨ 0 2 =11 ≤ < ,∞⎪⎪ ∑︁ sh ( ( − 1 )) sh ( (2 − ))⎪⎪0 ( ),⎪⎩ 0 2 12 ( ) sh ( (2 − 1 )) < ≤ 2 ,=1Условие непрерывности распределения потенциала на границах раздела подобластей на поверхностях = 1 (1 ≤ ≤ 2 ) и = 1 (1 ≤ ≤ 2 ):1 (1 ,) =⎧⎪⎨ 0,0 ≤ ≤ 1 ,⎪⎩ ( ,), ≤ ≤ ,2112(2.11)282 (,1 ) =⎧⎪⎨ 0,0 ≤ ≤ 1 ,(2.12)⎪⎩ (, ), ≤ ≤ .1112Таким образом, выполнение условий (2.11) и (2.12) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно наборов неизвестныхкоэффициентов , соответственно:∞2 ∑︁ 0 ( 1 ) −× 22 =1 + 2× ( cth( (2 − 1 )) sin( 1 ) + cos( 1 )) =[︃(︀)︀2−2 2−1 −1=cos()−sin()1 1 1 +2∞ ∑︁0 ( 1 )+×0 22 =1 (2 + 2 )12 ( )]︃(︁)︁× sin( ) − sin( 1 ) (sh( (2 − 1 )))−1 ,(2.13)∞2 1 ∑︁ sin ( 1 ) + 2 2 2×2 1 ( ) + 2=1[︂]︂ 1 ( ,1 ,2 )× 1 ( 1 ) + 0 ( 1 )= 0 ( ,1 ,2 )1 1 1 ( 1 ).= −22 2 12 ( )(2.14)Для того, чтобы виртуальная вершина острия совпала с вершинойреального катода = , величина заряда вычисляется по следующей форму-29ле:)︃∞ ∑︁sh ( (2 − )) = −0 2 +×1 =1sh ( (2 − 1 ))(︃ ∞)︃−1∑︁ sh ( ( − 1 )) sh ( (2 − ))×.

12 ( ) sh ( (2 − 1 ))(︃=12.2.3ЗаключениеВ данном разделе моделируется осесимметричная диодная эмисси-онная система на основе сплошного полевого острия цилиндрической формыс закругленной вершиной. Острие расположено на плоской подложке, анод —плоскость. Влияние пространственного заряда не учитывается. Все геометрические размеры системы и значения потенциалов на электродах представляютсобой параметры задачи. Для того чтобы получить требуемую форму полевогоострия с закругленной вершиной, на оси системы на вершине цилиндра помещается точечный заряд. Распределение электростатического потенциала системы является решением граничной задачи (2.8) и представляется в виде рядовФурье-Бесселя (2.9), (2.10), коэффициенты которых определяются из системылинейных алгебраических уравнений (2.13), (2.14).2.3Результаты численных расчетовВ соответствии с полученными аналитическими решениями гранич-ных задач, представленных в параграфах 2.1 и 2.2, был разработан пакет программ на языке С++. Вычисление проводилось на высокопроизводительномвычислительном комплексе факультета ПМ-ПУ.Все геометрические параметры систем и потенциалы электродов рассмотрены в безразмерных величинах.Для построения графиков распределения электростатического потенциала рассматривалась следующая конфигурация системы:30∙ 1 = 0.10 (0.05, 0.01)∙ 2 = 1.00∙ 1 = 1.00∙ = 1.001∙ 2 = 1.50∙ = 100.00∙ = 1.01Было найдено распределение потенциала в расчётной области системы рис.

2.3 a), рис. 2.6 для катодов с формой в виде полого и сплошногоцилиндра, соответственно.При вычислении потенциала по аналитическим формулам в виде рядов Фурье-Бесселя (параграфы 2.1 и 2.2) число слагаемых в рядах определялосьзадаваемой точностью вычисления потенциала = 10−6 в каждой расчетнойточке (,).Так же было исследовано изменение в распределении потенциала иполя на оси = 0 при различных радиусах 1 катода рис. 2.7 и рис. 2.8, для математической модели (параграф 2.1) с катодом в виде полого цилиндра.

Характеристики

Список файлов диссертации