Диссертация (1149831), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2 − 2(3.13)Функция Бесселя 1 () имеет интегральное представление:21 () =∫︁/2sin Θ sin( sin Θ) Θ.0(3.14)58Тогда уравнения (3.12) из (3.13), (3.14) приводятся к виду:∫︀∞2 ∫︀−1−1 () ,−1 () sin × 00/2∫︀sin Θ sin( sin Θ) Θ +×0∫︀ ()+2 √ −2 − 20∫︀∞ *2 ∫︀−2() sin × () ,00/2∫︀sin Θ sin( sin Θ) Θ +×(3.15)0∫︀∞2 ∫︀+1++1 () ,−1 () sin × 00/2∫︀×sin Θ sin( sin Θ) Θ =0= (), < .Из замены переменной = sin Θв интеграле∫︀0∫︀0 ()√ получим:2 − 2 ()√ = 2 − 2/2∫︀ sin Θ ( sin Θ)√︀= cos Θ Θ =02 − 2 sin2 /2∫︀= ( sin Θ) sin Θ Θ.0(3.16)59Учитывая (3.16), уравнения (3.15) могут быть записаны:[︂∫︀ 2 ∫︀−12 /2−1 () × 0 0∫︀∞× ,−1 () sin sin( sin Θ) +0+2 ( sin Θ) −4 ∫︀− () ×0∫︀∞ *() sin sin( sin Θ) +× ,+2×0∫︀+1+1 () ×0∫︀∞]︂,−1 () sin sin( sin Θ) ×0× sin Θ Θ = (), < .Таким образом, () являются решениями интегральных уравнений Фредгольма второго рода− 1∫︀−1 −1 (,)−1 () +0+2 () +− 1∫︀+11∫︀ (,) () −(3.17)0+1 (,)+1 () = Φ (),0правые части и ядра данных уравнений вычисляются по следующим формулам2 ∫︀ ()√︀Φ () =,02 − 2∫︀∞ −1 (,) = 2 ,−1 () sin sin , (,) = 4∫︀∞00*,() sin sin .(3.18)60Рассмотрим интегралы∫︀∞ exp(−)sin sin =sh0[︁ (︁ + 1 − )︁= Re +−222(︁ + + )︁]︁−+,22Г′ ( + )( + ) =,Г( + )Г(x) — гамма функция.Ядра (,) симметричные, и в соответствии с (3.8) и (3.18), могутбыть представлены в явной форме: −1 (,) = −2∫︀∞01×sh ( − −1 )× sin sin ,(3.19)∫︀∞[︂exp(−(+1 − ))+sh(−)+10]︂exp(−( − −1 ))+×sh ( − −1 ) (,) = −2× sin sin ,или, в соответствии с (3.19):1 −1 (,) = −×( − −1 )[︁ (︁ 1)︁−×ℜ +−22( − −1 )(︁ 1)︁]︁++,−22( − −1 )(3.20)611 (,) = −×(+1 − )[︁ (︁ 1)︁−×ℜ +−22(+1 − ))︁]︁(︁ 1++−−22(+1 − )1−×( − −1 ))︁[︀ (︁ 1−×ℜ +−22( − −1 )(︁ 1)︁]︁+−+.22( − −1 )Используя вычисление следующих интегралов:∫︁∞1sin sin =sh ( − −1 )0= −4( − −1 )×∑︁×=1,3,5,...×∫︁∞×((( − −1 ))2 + ( − )2 )1,((( − −1 ))2 + ( + )2 )exp(−( − −1 ))sin sin =sh ( − −1 )0= −4( − −1 )××∑︁=2,4,6,...××((( − −1 ))2 + ( − )2 )1,((( − −1 ))2 + ( + )2 )(3.21)62ядра (,) (3.20), (3.21) также могут быть представлены в следующем виде: = 8×[︁ ∑︀(+1 − )××22=2,4,6,...
(((+1 − )) + ( − ) )1×(((+1 − ))2 + ( + )2 )××+×( − −1 )×22=2,4,6,... ((( − −1 )) + ( − ) )]︁1,((( − −1 ))2 + ( + )2 )∑︀ −1 (,) = 8××( − −1 )×22=1,3,5,... ((( − −1 )) + ( − ) )×1.((( − −1 ))2 + ( + )2 )∑︀Если радиус отверстия намного меньше расстояний между линзами,тогда ядра (,) могут быть записаны [101]: −1 (,) ≈ 1 [︁ (,) ≈ 2 1,( − −1 )3]︁11−,(+1 − )3 ( − −1 )3где1≈ 1.0517998,31,3,5,... ∑︀ 1≈ 0.1502571.2 =32,4,6,... 1 =∑︀63Подставляя функции (3.8) в (3.18), функции Φ () представимыв виде:2 (︁ +1 − − −1 )︁Φ () =·.− +1 − − −1(3.22)Итак, для того, чтобы найти решение задачи (3.11), требуется решить систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода (3.17) с симметричнымиядрами (,) (3.19)—(3.22) и функциями Φ () в правых частях уравнений(3.17).643.3.2Расчет распределения потенциалаБыло найдено распределение потенциала (см.
рис. 3.3), при модели-ровании косоугольных фокусирующих линз четырьмя диафрагмами.При вычислении потенциала по аналитическим формулам в виденепрерывного разложения Ханкеля (параграф 3.3.1) верхняя граница в интегралах определялась задаваемой точностью вычисления потенциала = 10−6 вкаждой расчетной точке (,).22002000180016001400U120010008006004008000060000200204060r,400008010020000120Z,00140Рис.
3.3: Распределение потенциала при моделировании фокусирующих линзчетырьмя диафрагмами.65На рисунке 3.4 представлено распределение потенциала на оси = 0,при изменении положения второй и третьей диафрагм.U, r=0,1200E+05U, r=0,1037E+03U, r=0,8695E+04U, r=0,7017E+04U, r=0,5340E+04U , r=0,11000200E+052000080000U, r=0,5340E+0460000Z, 4000020000U, r=0,7017E+04U, r=0,8695E+04U, r=0,1037E+03U, r=0,1200E+05Рис. 3.4: Распределение потенциала на оси = 0, при изменении положениявторой и третьей диафрагм.66На рисунке 3.5 представлена разность между решениями при изменении положения второй и третьей диафрагм.max, %aver, %1,4min, %1,21,0%0,80,60,40,20,00200040006000800010000R, mkmРис. 3.5: Максимальная, минимальная и средняя разности междураспределениями потенциала при изменении положения второй и третьейдиафрагм.673.4Сравнение результатов расчетов методамиМКЭ и МПУВ данном параграфе определяется распределение потенциала фоку-сирующей системы (без учета острия) с помощью метода конечных элементов(МКЭ) и производится сравнение данного решения с решением, полученным пометоду парных уравнений (МПУ).Построим сетку, состоящую из четырехугольных элементов.
На этойсетке найдем решение. Для сравнения решений используются точки сетки численного решения, попадающие в область Ψ = (,)| < ( ), посколькудля моделирования эмиссионного тока важна только эта часть системы. Быланайдена погрешность метода конечных элементов относительно метода парныхуравнений.На рисунке 3.6 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ.
Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмядиафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.1037 · 103мкм.На рисунке 3.7 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмядиафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.5340 · 104мкм.684,688300001,5633,12512,5010,94280009,3757,813260006,2504,688Z, mkm240003,1251,563220000,0002000018000160001400012000020406080100120140R, mkmРис. 3.6: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагм = 0.1037 · 103 мкм.3,1253,1254,6883000012,5010,941,563280009,3757,813260006,2504,688Z, mkm240003,1251,563220000,0002000018000160001400012000020406080100120140R, mkmРис. 3.7: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагм = 0.5340 · 104 мкм.На рисунке 3.8 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ.
Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмя69диафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.7017 · 104мкм.3,1254,6883000012,5010,94280004,6889,3757,813260006,2504,688Z, mkm240003,1251,563220001,5630,0002000018000160001400012000020406080100120140R, mkmРис. 3.8: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагм = 0.7017 · 104 мкм.На рисунке 3.9 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмядиафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.8695 · 104мкм.703000012,504,6883,1252800010,949,3757,813260006,2504,688Z, mkm240003,1251,5631,563220000,0002000018000160001400012000020406080100120140R, mkmРис.
3.9: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагм = 0.8695 · 104 мкм.На рисунке 3.10 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмядиафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.12 · 106 мкм.На рисунке 3.11 представлена погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Фокусирующая система (для МПУ) моделировалась четырьмядиафрагмами, радиус отверстия второй и третьей диафрагм = 0.12 · 106 мкм.Таким образом, основная погрешность находится в достаточно узкой области около 2-ой линзы, потенциал = 0.
Наилучшее распределениепотенциала для МПУ находится при максимальном отдалении внутренней диафрагмы = 0.12 · 106 мкм.711,5634,6883000012,501,5632800010,949,3757,813260006,2504,688Z, mkm240003,1251,563220000,0002000018000160001400012000020406080100120140R, mkmРис. 3.10: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагм = 0.12 · 106 мкм.R,Z, мкммкм△U, %0.0000.1252.2503.3754.5005.6256.7507.8759.000Рис. 3.11: Погрешность решения МКЭ относительно МПУ. Радиус отверстиявторой и третьей диафрагмы = 0.12 · 106 мкм.723.5ЗаключениеВ главе 3 было проведено моделирование фокусирующей системыэлектростатических косоугольных линз двумя различными методами: методомконечных элементов и методом парных уравнений.
Фокусирующая система дляМПУ моделировалась четырьмя плоскими диафрагмами. С помощью каждогоиз методов было найдено распределение потенциала во всей расчётной области,полученные результаты достаточно хорошо согласуются между собой. Определена погрешность МКЭ относительно МПУ.73Глава 4Математическоемоделирование эмиссионнойсистемы с полевым катодоми системой фокусирующихкосоугольных линз с учетомраспределенияпространственного зарядаПри моделировании эмиссионной системы на основе полевого катода, как уже отмечалось в главе 1, следует учитывать то, что в пространствеоколо острия может образоваться объемный заряд, который может оказыватьсильное влияние на эмиссию электронов, что в свою очередь, приводит к вариации самого поля вблизи острия. Данная глава посвящена исследованию поле-74вой эмиссионной системы с учетом распределения пространственного заряда,создаваемого пучком заряженных частиц.4.1Постановка задачи расчета эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линзВ главе 3 рассматривалась эмиссионная система с полевым катодоми системой фокусирующих косоугольных линз без учета влияния пространственного заряда пучка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
