Диссертация (1149802), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вектор напряженности электрического поля E внутри этой обла-102сти удовлетворяет уравнению Гельмгольца [107]2▽ × (µ−1r ▽ × E) − k0 εr E = 0.(5.10)Здесь µr и εr — относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости√соответственно, k0 = ω µ0 ε0 = ω/c — волновое число.Уравнение (5.10) также должно быть дополнено граничными условиями, соответствующими решаемой задаче. В случае нахождения собственных колебаний в резонаторе ускорителя, граница решаемой области будет представлять собой идеально проводящую поверхность.
Тогдаn × E|S = 0.(5.11)Решение задачи (5.10), (5.11) в дальнейшем будет производить с помощьюконечноэлементного решателя Radio Frequency, Electromagnetic Waves пакетаCOMSOL. Вызов решателя и получение результата также возможно производить с помощью кода MATLAB.5.2.4 Методика выбора геометрии периодовДлина каждого периода определяется значениями соседних синхронных фаз.Для расчета этой длины используется следующий алгоритм:1. Вычисляется время пролета периода синхронной частей периода с номером i по формуле (5.15) Ti = λφsi+1 −φsi +π.2π2. В качестве первого приближения к длине используется величина Li0 =βsi Ti /2, где βsi — скорость синхронной частицы в начале периода.3.
По длине периода, коэффициенту зазора, радиусам трубок дрейфа строитсягеометрия трех ускоряющих периодов с номерами i − 1, i, i + 1. В качествепериода i + 1 используется копия периода i.4. В построенной геометрии строится эйлерова сетка, задаются граничныеусловия потенциалов на трубках дрейфа и решается уравнение Пуассона.1035. В полученном электрическом поле расчитывается динамика синхроннойчастицы до момента покидания ей периода i. Расчитывается реальное времяпролета частицей периода Tir6. Длина периода корректируется в соответствии с выражением Li = Li0 +βsTi (Ti − Tir ).
Здесь βsTi — скорость синхронной частицы в конце периода i.n × H = 0.Длины периодов существенно варьируются по всей длине ускорителя, чтоможет обуславливать серьезное различие резонансных частот отдельных периодов. В таком случае распределение амплитуды высокочастотного поля в ускорителе будет неравномерным, что потребует дополнительной существенной работы по настройке резонатора. Однако, резонансная частота каждого периодатакже определяется и конфигурацией держателей, коэффициентом зазора и радиусами трубок дрейфа. Правильно выбирая эти параметры, можно добитьсядостаточно точного равенства частот отдельных периодов расчетной.При этом, используя описанный выше автоматизированный генератор геометрии резонатора, зафиксировав некоторые параметры (например, радиус резонатора, конструкцию держателей), можно расчитать набор зависимостей резонансной частоты отдельного периода от его длины, коэффициента зазора, радиусов левой и правой трубок дрейфа.
Пример трехмерной модели такого периодаприведен на рис. 5.5. На боковых границах при этом используется граничноеусловие идеальной магнитной стенки.104Процесс расчета полностью автоматизируется, результаты сохраняютсяв файл. Расчет около 2000 вариантовконфигурации периода занимает околосуток.Примеры расчета зависимостей резонансной частоты для радиуса резонатора 0.093 м, и внутреннего радиуса трубок дрейфа Rinner = 0.0065 мприведены на рис. 5.6 При увеличениидлины периода и коэффициента зазоРиcунок 5.5: Трехмерная модельра, его резонансная частота повышает-отдельного периода резонаторася, при увеличении внешнего радиусатрубок дрейфа Router , понижается.а6x 105.558бРезонансная частота, Гц6L=0.02 мL=0.025 мL=0.03 мL=0.035 мx 105.558Резонансная частота, ГцL=0.02 мL=0.025 мL=0.03 мL=0.035 м4.54.5443.53.532.50.20.30.40.50.60.7Коэффициент зазора30.20.30.40.50.60.7Коэффициент зазораРиcунок 5.6: Зависимость резонансной частоты отдельного периода откоэффициента зазора для разных длин периодов L.
Случай Router = 0.017 м (а)и Router = 0.014 м (б)При расчете геометрии также необходимо учитывать ограничение на максимально допустимое значение напряженности электрического поля на поверхности резонатора. Надежные пределы максимального допустимой напряженности,не вызывающие электрический пробой, были получены W. D. Kilpatrick экспе-105риментально для различных частот высокочастотного поля в 1957г [108].
Этиэкспериментальные данные можно можно аппроксимировать с помощью зависимости(ν=21.64Ekilpatricexp−8.5Ekilpatric).(5.12)Здесь ν — частота, выраженная в мегагерцах, Ekilpatric — максимально допустимая напряженность, выраженная в мегавольтах на метр.Современные технологии обработки поверхностей позволяют получать болеевысокие значения напряженностей поля Emax без пробоя. Поэтому используетсякритерийEmax < kEkilpatric (ν).(5.13)Здесь k — некоторая константа. Как правило используются значения k =1.7 . . . 2.0.Рассмотрим далее алгоритм выбора геометрических параметров ускоряющихпериодов по последовательности фаз синхронной частицы, обеспечивающий равенство резонансной частоты отдельных периодов расчетной и выполнение критерия Kilpatrick (5.13).1. Выбирается внешний радиус резонатора, внутренний радиус трубок дрейфа, конструкция держателей.2.
Для выбранных параметров рассчитывается набор зависимостей резонансной частоты отдельного периода от длины периода, коэффициента зазора, внешних радиусов левой и правой трубок дрейфа в соответствии с описанной вышеметодикой.3. Вычисляется длина периода. Выбирается коэффициент зазора, обеспечивающий равенство резонансной частоты периода расчетной по заранее расчитанной зависимости.1064. В случае, когда длина зазора слишком мала, или не выполняется условие(5.12), внешний радиус следующей трубки дрейфа увеличивается. В случае, когда длина зазора слишком велика, внешний радиус следующей трубки дрейфауменьшается.5.
Пункты 3-4 выполняются для каждого периода.5.3 Результат расчета резонатора на 60 периодовВ результате использования генетического алгоритма оптимизации была получена последовательность синхронных фаз, приведенная на рис. 5.7 а. Прирасчете максимальное значение синхронной фазы было ограничено величиной в100 град. При оптимизации динамики 1000 частиц значение целевой функции в8 было достигнуто за 15 итераций генетического алгоритма. С использованиемописанного выше алгоритма была расчитана геометрия резонатора (рис.
5.7 б).Основные полученные параметры приведены в табл. 5.3.a100бСинхронная фаза, град0.050.0450Длина, мДлины зазоровДлины периодовВнешние радиусы трубок дрейфаВнутренние радиусы трубок дрейфа0.0300.02−500.01−1000102030405060Номер периода00102030405060Номер периодаРиcунок 5.7: Основные параметры резонатора с ПФФ. Последовательностьсинхронных фаз (а) и геометрические параметры (б)С использованием разработанной системы автоматизированной генерации,была создана компьютерная модель резонатора (рис.
5.8). С помощью решателяRadio Frequency, Electromagnetic Waves пакета COMSOL был проведен расчетсобственных частот и колебаний всего резонатора. Расчетная частота составляет107434.6 МГц. Собственные колебания на оси резонатора в сравнении с решением, полученным в электростатическом приближении представлены на рис. 5.9.Электродинамика достаточно хорошо согласуется с электростатикой, за исключением нескольких начальных периодов.Таблица 5.3: Параметры резонатора с ПФФЭнергия на выходе, МэВ9.1Напряжение между трубками дрейфа, кВ185Длина ускорителя, м1.72Темп ускорения, МэВ/м2.89Максимальное поле на оси резонатора, кВ/см134Максимальное поле на поверхности резонатора, кВ/см 362,EmaxEkilpatric= 1.81Риcунок 5.8: Трехмерная модель резонатора2x 101.57E z , В/мУравнение Пуассона, МКРУравнение Гельмгольца, МКЭ10.50−0.5−1−1.500.20.40.60.811.21.41.6Z, мРиcунок 5.9: Распределение ускоряющего поля на оси резонатора108Для моделирования динамики пуч1ка использовался метод частиц в ячей-0.9ках в электростатическом приближе-0.8нии, реализованный в разработанномкоэффициенттокопрохождениякоэффициент ускорения0.70.60102030Ток в импульсе, мАкомплексе программ (глава 3).
Моделировалась динамика 6 сгустков по15000 макрочастиц в каждом. Зависимость коэффициентов токопрохожде-Риcунок 5.10: Коэффициентыния и ускорения от тока в импульсетокопрохождения и ускорения вприведены на рис. 5.10. Отметим, чтоускорителе с ПФФструктура неплохо работает при низком токе. При росте тока, коэффици-енты ускорения и токопрохождения существенно снижаются. Для тока 14 мАпродольное движение достаточно устойчиво — 96 % частиц находятся в интервале энергетического разброса 4 %. Однако, отклонения пучка от оси ускорителясущественно растут, особенно при высоком токе.Далее в работе рассмотрим далее возможность оптимизации закона изменения фазы синхронной частицы сцелью улучшить фокусировку пучка и коэффициенты ускорения и токопрохождения.5.4 Задача оптимизации5.4.1 Постановка задачиРассмотренную выше модель динамики пучка (5.7) в общем виде можнопредставить как [27, 73, 109]dx= f (t, x, u),dtdy= F (t, x, y, u),dtx(0) = x0 ,y(0) = y0 ∈ M0 .(5.14)109Здесь x и y — векторы фазовых координат; вектор-функции f и F определеныи непрерывны по совокупности аргументов вместе со своими частными производными по x и y до второго порядка включительно; Mt,u = {yt = y(t, y0 , u) :y0 ∈ M0 }.
Предположим, что решение системы (5.14) существует для любыхy ∈ M0 на рассматриваемом промежутке [0, T ]. Функция управления являетсякусочно-постоянной и зависит от параметров ui таким образом:u(t) = ui ∈ Uприt ∈ [ti ; ti+1 ),i = 1, N ,ti+1 − ti = α(ui+1 − ui ) + β,(5.15)где α и β — некоторые задаваемые константы. Введем функционалы∫TI1 (u) =φ1 (t, x(t), u(t))dt + g1 (x(T )),0∫T ∫I2 (u) =∫φ2 (t, x(t), y(t), u(t))dyt dt +0 Mt,ug2 (yT )dyT ,MT,uI(u) = I1 (u) + I2 (u),(5.16)в которых φ1 , φ2 , g1 , g2 — неотрицательные непрерывно-дифференцируемыефункции. Будем рассматривать далее задачу минимизации функционала (5.16).5.4.2 Метод оптимизации4.2.1 Вариация функционалаВариацию функционала (5.16) можно представить в виде [109]∫TδI(u, ∆u) = −(ψ T ∆u f − ∆u φ1 )dt −0∫T ∫−(µT ∆u F + λ∆u divy F + ν T ∆u f − ∆u φ2 )dyt dt.0 Mt,u(5.17)110Здесь функции ψ, µ, ν, λ удовлетворяют уравнениям:( )T()dψ∂f∂φ1=−ψ+,dt∂x∂x()T()T()T∂F∂φ2∂(divy F )dµ=−+ Edivy F µ +−λ,dt∂y∂y∂y( )T()T()T()Tdν∂f∂F∂φ2∂divy F=−ν−µ++λ,dt∂x∂x∂x∂x(5.18)dλ= −λdivy F + φ2dtс начальными условиями()T∂g1 (y(T ))ψ(T, yT ) = −,∂x()T∂g2 (y(T ), )µ(T, yT ) = −,∂y(5.19)ν(T, yT ) = 0,λ(T, yT ) = −g2 (y(T )).4.2.2 Градиент функционалаИзменение фукции управления при приращении параметра управления ũi =ui + ∆ui будет следующимui при t ∈ [ti−1 ; t̃i );ũ(t) = ũi при t ∈ [t̃i ; ti+1 );u(t) при t ∈ [0; T ] \ [ti−1 ; tt+1 ).111Рассмотрим выражение∫T−∫T0∫ti∫ti+1ti−1∫t̃i=tif (ũ)dt =0∫t̃if (ui )dt −f (ui−1 )dt +=f (u)dt −∆u f dt =0∫T∫ti+1f (ui−1 )dt −f (ũi )dt =ti−1t̃i∫ti+1∫t̃i(f (ui ) − f (ui−1 ))dt + (f (ui ) − f (ũi ))dt − (f (ui ) − f (ũi ))dt =tititi∫ti+1= ∆ti (f (ui ) − f (ui−1 )) −∂f (ui )∆udt + o||∆u||.∂utiУчитывая параметризацию управления (5.15), из (5.17) получим частные производные [26, 54, 55]∂I=α∂ui∫ [(µT (ti ) F (ti , x(ti ), y(ti ), ui ) −Mti ,u)()−F (ti , x(ti ), y(ti ), ui−1 ) + ν T (ti ) f (ti , x(ti ), ui ) − f (ti , x(ti ), ui−1 ) +()+λ(ti )divy F (ti , x(ti ), y(ti ),ui ) − F (ti , x(ti ), y(ti ), ui−1 ) −]−φ2 (ti , x(ti ), y(ti ), ui )+φ2 (ti , x(ti ), y(ti ), ui−1 ) dyt −−∫ti+1 ∫ [µT (t)∂F (t, x(t), y(t), ui ) ∂φ2 (t, x(t), y(t), u)−+∂u∂uti Mt,u∂divy F (t, x(t), y(t), ui ) ]∂f (t, x(t), ui )+λdyt dt ++ν (t)∂u∂u[()+α ψ T (ti ) f (ti , x(ti ), ui ) − f (ti ,x(ti ), ui−1 ) − φ1 (ti , x(ti ), y(ti ), ui ) +Tt] ∫i+1[∂f (t, x(t), ui ) ∂φ1 (t, x(t), y(t), u) ]ψ T (t)+φ1 (ti , x(ti ), y(ti ), ui−1 ) −−dt.∂u∂uti(5.20)∂I∂I, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
