Автореферат (1149765), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(, ) −−∞Здесь ядра интегральных операторов определяются следующим образом2 (, ′ ; 1 )1 (, ′ ; 2 )′1 (, ) =, 2 (, ) =1 + 2 ()1 + 1 ()′с∞Z∞Z′() ≡0 (, ), (, ; ) =−∞−∞2 0 (, )0 (′ , ),1 + ()0 (, ) = 0 (, ) = [(1 − )( + ) + 2( 2 + 1) + 2 ]−1 .22(3)12Интегралы вычисляются точно: (, ) (, )() = √︀, (, ; ) =+, (, , ) (, , )4 2 2 + 2 ( 2 − 1)где√︀(, ) = (1 − 2 ) () − (1 − 2 )2 () (1 , 2 , ) = 2(1 − 2 )(1 )−1 ((1 − 2 )2 2 2 − (1 )) ××(2(1 + 2 )(1 )−1 − (1 + 6 2 + 4 )1 + (1 − 2 )2 2 ), () = (1 − 2 )(1 + 2 )2 2 − 4 2 ((1 + 6 2 + 4 ) − 2(1 + 2 )()−1 ).Таким образом, для ядер 1 , 2 уравнений (3) в интересующей нас задачеимеются явные аналитические выражения.
В них входят параметры 1 ,2 , , . Это дает возможность построения различных приближенных решений.В частности, не составляет большого труда расчет низших порядков теориивозмущений по константам взаимодействия 1 , 2 . Уравнения (3) упрощаются в области больших и малых значений параметра (большие и малыепоперечные импульсы).
В случае малых скоростей ≪ 1 мы имеем процесс,в котором будет наблюдаться эффект Казимира с малыми поправками, прибольших скоростях ∼ 1 ядра 1 , 2 уравнений (3) будут определятьсяпредельным значением 4lim (, , ) =→1−(︂()()−( 2 + 42 )( 2 + 42 2 2 ) ( 2 + 4 2 )( 2 + 42 2 2 ))︂с пороговыми функциями Хевисайда (), (),которое, очевидно, существенно проще чем выражение для (, , ) при промежуточных значениях скорости 0 < < 1. Все это позволяет надеяться на интересные результаты приболее детальном исследовании свойств решения уравнений (3) и (2).В четвертой главе рассматривается распространение электромагнитных волн в трех слоях, заполненных веществом с магнитными восприимчивостями 1 , 2 , 3 и диэлектрическими проницаемостями 1 , 2 , 3 , разделенных двумя параллельными материальными плоскостями 3 = ±/2, чьевзаимодействие Черна-Саймонса с электромагнитным полем характеризуетсяконстантами 1 , 2 .
Для этой модели получено модифицированное уравнениеМаксвелла и построены его явные решения.Действие фотонного поля , взаимодействующего в трехслойной средес двумя разделяющими слои границами, имеет вид1() = − + ().413Здесь ≡ − , ≡ ℰ(3 ) при = 0 или = 0, ≡ ℳ−1 (3 ) при ̸= 0 и ̸= 0,ℰ(3 ) ≡ 1 (−/2 − 3 ) + 2 (/2 − |3 |) + 3 (3 − /2),ℳ(3 ) ≡ 1 (−/2 − 3 ) + 2 (/2 − |3 |) + 3 (3 − /2).Функционал действия () описывает взаимодействие плоскостей 3 = ±/2с фотонным полем.
Используя обозначения Φ1 () = 3 +/2, Φ1 () = 3 −/2,его можно представить в виде () = 1 () + 2 (), где () =2Z3 () ()(Φ ())d, = 1, 2.Для всех возможных волновых процессов получены явные выражения дляамплитуд электромагнитного поля во всех трех слоях. Взаимодействие ЧернаСаймонса на плоских границах слоев не меняет закон Снеллиуса, однако меняет коэффициенты отражения и прохождения, которые зависят от свойствматериала поверхностей. Оно приводит к перемешиванию между параллельной и перпендикулярной компонентами (ТЕ- и ТМ- модами) электромагнитных волн и изменяет соотношение между частотой и волновым вектором дляволн между двумя полностью отражающими плоскостями. Следовательно,такое взаимодействие также будет изменять силу Казимира.
Поиск поверхностей и слоев, обладающих такими свойствами, представляет несомненныйинтерес.В этой главе показано, что электромагнитные поляризационные эффекты определяются Черн-Саймоновской добавкой к действию Φ (), сконцентрированной на плоскостях 3 = ±/2. Вне этих плоскостей модифицированные уравнения Максвелла совпадают с обычными и описывают электромагнитные волны с обычным дисперсионным соотношением, а смешиваниеполяризаций определяется граничными условиями, описывающими скачкикомпонент 1,2 магнитного поля и 3 электрической индукции,3,+1 − 3, = −2 3, , 1,+1 − 1, = 2 1, , 2,+1 − 2, = 2 2, .⃗, ⃗, ⃗, ⃗ обозначает номерЗдесь второй индекс у компонент векторов слоя, а = 1, 2 - номер разделяющей их границы.В пятой главе подход Симанзика используется для построения модели взаимодействия спинорного поля с материальной плоскостью, в рамкахкоторой решается задача рассеяния дираковской частицы на плоскости и исследуются свойства локализованных в ее окрестности состояний.Функционал действия модели включает обычное спинорное действие Дирака и дополнительный, сосредоточенный на плоскости вклад дефекта.
В14квантовой электродинамике фермионный вклад в действие дефекта в самомобщем виде записывается следующим образом:¯ ) = (,16 Z∑︁¯ ()Γ ()(Φ()),=1где Γ - 16 базисных матриц Дирака, - безразмерные константы взаимодействия. Полное действие модели, удовлетворяющее требованиям локальности, калибровочной инвариантности и переномируемости, имеет вид¯ ˆ − + )¯ ).¯ , ) = − 1 + (ˆ + () + (,(,4В силу требования перенормируемости, взаимодействие полей описываетсяˆ в действие квантовой электродинамики.стандартным вкладом ¯В диссертации в качестве дефекта рассматривалась материальная плоскость 3 = 0. В этом случае в дираковской части действия нашей моделиZ(, ) = ()(ˆ − + Ω(3 ))(),взаимодействие спинорного поля с плоскостью описывается матрицей Ω(3 ) =(3 ).
Так как Ω(3 ) и (3 ) имеют размерность массы, то матрица безразмерна. В силу симметрии нашей системы, действие дефекта должно бытьинвариантно относительно преобразований подгруппы группы Пуанкаре, неменяющих координаты 3 .Анализ допустимых сингулярностей спинора () в точке 3 = 0 показывает, что при 3 ̸= 0 поле () удовлетворяет уравнению Дирака (ˆ −)() = 0, а при 3 = 0 выполняется соотношение −3 (¯) + (¯) = 0,где11 () = ((¯, 3 ) + (¯, −3 )), () = ((¯, 3 ) − (¯, −3 )).22Отсюда, а также из симметрийных ограничений на матрицу следует, чтоона полностью определяется тремя параметрами: = (2 3 5 −3 −4 5 )/(1+1 ), где 12 + 22 + 32 − 42 = 1.В модели проведены расчеты характеристик процессов рассеяния дираковской частицы на плоскости 3 = 0, получены явные выражения для потоков отраженных и пролетевших частиц с положительной и отрицательнойспиральностью.Для локализованных в окрестности√︀ 3 = 0 состояний справедливо нера222 22венство ¯ = 0 − 1 2 < и =¯ − 2 является мнимым.
Для них15также должно выполняться дисперсионное соотношение 2 − ± 2 = 0, где(︃± = 1 −)︃2√︀1 3 ± 22 1 + 42.12 + 22Коэффициент ± при соответствующем значении параметров может бытьположительным, отрицательным и равным нулю. Так, например, + = 0 при1 = √︀3 , 2 = 1, 4 =√︀0, а − = 0 при 1 = −3 , 2 = 1, 4 = 0. Если 2 = 0,1 > 1 + 32 , 4 = ± 12 − 1 − 32 , то ± > 0, и + < 0, если 1 = 1, 2 = 3 > 1,4 = 0. Случай − < 0 не реализуется.Закон дисперсии ¯2 − ± 2 описывает свободные частицы с эффективной√массой ± < в (2 + 1)- пространстве-времени с двумя пространственными, одной временной координатами, если ± > 0.
Если + = 0 или − = 0,то соответствующие частицы - безмассовые. Движением таких частиц объясняются многие эффекты в графене. Если + < 0, то возникают состояниядля которых 21 + 22 > 20 > 0, и соответствующий им ток, параллельныйплоскости дефекта, не может быть равен нулю. Такие состояния подобнысверхпроводящим.В Заключении проводится обсуждение основных результатов исследования по теме диссертации и их возможных применений для построенияобщей теории нанофизических эффектов. Также в нем представлены благодарности и список использованной литературы.Благодарности Автор диссертации выражает благодарность Антонову Николаю Викторовичу за научное руководство, интерес к проводимымисследованиям, обсуждение результатов диссертации и помощь в подготовкеи представления ее к защите.
Автор также признателен Марачевскому Валерию Николаевичу за конструктивные дискуссии, Письмаку Юрию Михайловичу и профессору Гейдельбергского университета Францу Иоахиму Вегнеруза плодотворное сотрудничество.Список публикаций по теме диссертации из перечняВАК1. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Электромагнитные волны в пространствес неоднородностью, сосредоточенной на плоскости // Вестник СПбГУ,Сер. 4 Вып. 2, с. 165–173, 2011.2. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Рассеяние электромагнитных волн на плоской поверхности в модели с потенциалом Черна–Саймонса // ТМФ Т.
169.№1, с. 69–78, 2011.163. D.Yu. Pis’mak, Yu.M. Pis’mak. Chern-Simons Potential in Models ofInteraction of Electromagnetic Field with Thin Films // Phys. of Part. andNucl. Vol. 44, №3, p. 450-461, 2013.4. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с двумерной поверхностью в рамках подхода Симанзика // ТМФ Т. 175.
№3, с. 443–455, 2013.5. Yu.M. Pis’mak, D.Yu. Pis’mak. Chern-Simons potential in models of Casimireffect // AIP Conf. Proceed. Vol. 1606, №3, p. 337-345, 2014.Список публикаций в других изданиях6. D.Yu. Pis’mak, Yu.M. Pis’mak. Scattering of electromagnetic waves on a flatsurface in a model with potential of Chern-Simons // Тезисы международнойконференции «XII Small Triangle Meeting on Theoretical Physics - 2010»,Кошице, 2011.7. D.Yu. Pis’mak, Yu.M. Pis’mak, F.J. Wegner.
Electromagnetic Waves in aModel with Chern-Simons Potential // arXiv:1406.1598, 2014.8. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Моделирование взаимодействия материальной плоскости со спинорным полем в рамках подхода Симанзика //dspace.spbu.ru/handle/123456789/ 1539, 2015.Цитируемая литература9. H. B. G. Casimir. On the attraction between two perfectly conducting plates //Proc. K. Ned. Akad.
Wet Vol. 51, P. 793, 1948.10. V. N. Markov, Yu. M. Pis’mak. Casimir effect for thin films in QED // J.Phys. A: Math. Gen Vol. 39, P. 6525, 2006..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
