Диссертация (1149755), страница 8
Текст из файла (страница 8)
На каждом шаге выбирается некоторое “пространство декомпозиции” – совокупностьпеременных интегрирования {v}, участвующих в декомпозиции, на первом шаге в него включают все переменные, в нашем случае это {v2 , v3 , v5 , v6 }. Областьинтегрирования по этим переменным представляет собой единичный четырехмерный куб. Ее можно разбить на сумму областей, в каждой из которых однаиз переменных (“главная”) больше или равна остальным. Рассмотрим вклад j2в (122), в котором главной переменной является v2 , он имеет вид1v2v2v2(1 + v5 + v6 )−ε δ(1 − v2 − v3 − v5 − v6 ),2−ε/2(detV)0000det V = v2 v3 + 2v2 v6 + 2v3 v5 + v3 v6 + 4v5 v6 + v62 .(123)Zj2 =Zdv2Zdv3Zdv5dv644Выполняя замены переменных v3 → v2 v3 , v5 → v2 v5 , v6 → v2 v6 , находимZj2 =1Zdv2011Zdv31Zdv5000det V = v22 · det2 V,v23 (1 + v2 v5 + v2 v6 )−ε δ(1 − v2 (1 + v3 + v5 + v6 )),dv6(det2 V )2−ε/2det2 V ≡ v3 + 2v6 + 2v3 v5 + v3 v6 + 4v5 v6 + v62 .(124)Аргумент δ-функции в (124) обращается в ноль при значении v2∗ = (1 + v3 + v5 +v6 )−1 , которое гарантированно лежит в области интегрирования по v2 , поэтомуинтегрирование по v2 легко выполняется, и мы имеем1Zj2 =1Zdv31Zdv5000(v2∗ )ε (1 + v2∗ v5 + v2∗ v6 )−ε,dv6(det2 V )2−ε/2det2 V = v3 + 2v6 + 2v3 v5 + v3 v6 + 4v5 v6 +(125)v62 .Существенно, что после рассмотренного шага декомпозиции минимальная степень монома в “детерминанте” det2 V понизилась на единицу.
На втором шагепространство декомпозиции выбирается так, чтобы аналогичный эффект повторился. Для этого достаточно включить в это пространство переменные {v3 , v6 }.Разбивая область интегрирования по этим переменным аналогично предыдущему случаю, получим сумму двух вкладов. Преобразуя вклад, в котором главнойпеременной является v3 , имеем1Zj2,3 =1Z1Zdv5dv3dv6(v2∗ )ε (1 + v2∗ v5 + v2∗ v6 )−ε,1−ε/2v3(det2,3 V )2−ε/2det2,3 V ≡ 1 + 2v6 + 2v5 + v3 v6 + 4v5 v6 + v3 v62000(126)v2∗ => (1 + v3 + v5 + v3 v6 )−1 .Учитывая, что в det2,3 V все vi ≥ 0, заключаем, что det2,3 V ≥ 1.
Таким образом, единственной причиной происхождения полюса по ε в (126) являетсясингулярность по переменной v3 вида1Zj2,3 =Zdv3011Zdv50dv60f (v3 , v5 , v6 )1−ε/2v3.(127)45Добавляя и вычитая в числителе (128) величину f (0, v5 , v6 ), получаемj2,32=εZ1Z1dv5dv6 f (0, v5 , v6 )+Z 1Z 1Z 1f (v3 , v5 , v6 ) − f (0, v5 , v6 ).+dv3dv5dv61−ε/2000v300(128)Интегралы в (128) не содержат более сингулярностей, и их ε-разложения могутнаходиться разложением в ряд подынтегральных выражений.Полный ответ для величины (122) складывается из суммы вкладов 8 секторов:j = j2,3 + j2,6 + j3,2 + j3,5 + j3,6 + j5,3 + j5,6 + j6 .Отметим, что в секторе j6 оказывается достаточным один шаг декомпозиции,после которого “детерминант” становится положительно определенным.Процедура выделения секторов не является однозначной, существует несколько “стратегий” декомпозиции. Мы использовали в качестве стратегии сектора Спира [25], которые для динамической задачи могут быть легко полученыиз секторов статических диаграмм благодаря наличию замен (57), связывающих полиномы (55) и (58).
Выбор пространства декомпозиции на очередномшаге декомпозиции в указанной стратегии для статических диаграмм происходит согласно следующему правилу. Из полного набора фенймановских параметров исключается совокупность параметров {u}, бывших “главными” напредыдущих шагах декомпозиции, а также параметры, которые совместно с{u} отвечают набору импульсов, входящих в какой-либо закон сохранения.Отметим преимущества и недостатки метода Sector Decomposition.• Преимущество заключается в простоте автоматизации процедуры выделения полюсов. Это приводит к тому, что теперь вычисления ограниченытолько мощностью компьютерных ресурсов. Очень существенно также, чтоподынтегральное выражение в каждом из секторов является плавной знакопостоянной функцией феймановских параметров, что значительно повышает точность численного интегрирования. Последнее обстоятельство делаетэтот метод весьма полезным и в случае, когда вычисляемый интеграл не содержит полюсов по ε, что использовалось при вычислениях части диаграммво второй главе.• Основным недостатком является большое число секторов, которые получа-46ются в результате деления области интегрирования.
Как следствие, увеличивается количество вычисляемых интегралов. Для n петлевой диаграммычисло секторов равно N · n!, где N – число слагаемых в детерминанте.Однако в связи с симметрией диаграммы, среди секторов имеются эквивалентные. Подынтегральные выражения для таких секторов совпадают сточностью до замены переменных. Таким образом, симметрия позволяетсократить число независимых секторов.3.2Редукция диаграммОсложняющим обстоятельством в задачах динамики по сравнению со статическим случаем является существенно большее число импульсных интегралов, возникающих в результате интегрирования по времени (и более сложныйих вид). В ряде работ [27, 28, 29, 30] был использован тот факт, что, переходя копределенным суммам диаграмм, можно существенно упростить подынтегральные выражения.
Мы предложим систематическую процедуру такой редукциидиаграмм, позволяющую автоматизировать вычисления, что необходимо прирасчетах в старших порядках теории возмущений.Возможность такой редукции фактически видна из соотношения (23). Равенство (23) статических и динамических контрчленов является следствием более общего утверждения о совпадении 1-неприводимых статических функцийhψψi1−irr |st , hψψψψi1−irr |st и динамических функций hψ 0 ψi1−irr , hψ 0 ψψψi1−irr нанулевой частоте:hψ 0 ψi1−irr |ω=0 = hψψi1−irr |st ,hψ 0 ψψψi1−irr |ω=0 = hψψψψi1−irr |st .(129)На диаграммном языке равенства (129) означают, что для данных функцийсумма динамических диаграмм сводится к более простому объекту – сумместатических диаграмм.
Мы рассмотрим примеры технической реализации такой процедуры, а затем применим аналогичные приемы для упрощения интересующей нас функции hψ 0 ψ 0 i1−irr |ω=0 .Докажем равенство:121|ω=0 =6,st(130)47где 12 и 61 – симметрийные коэффициенты диаграмм. Выполняя интегрированиепо времени, раскроем левую часть11122|ω=0 =31223∼11 1·.2 E2 E3 (E1 + E2 + E3 )(131)Здесь цифрами обозначены номера импульсов интегрирования, а в правой частиформулы указано подынтегральное выражение. Симметризуя это выражениепо импульсам интегрирования, получаем11 1·→2 E2 E3 (E1 + E2 + E3 )1111111++·→=6 E2 E3 E1 E2 E1 E3(E1 + E2 + E3 ) 6 E1 E2 E3(132),что совпадает с подынтегральным выражением правой части (130).На диаграммном языке процедуру симметризации можно записать в виде:12=16(133)Аналогичная симметризация для произвольных диаграмм может быть записана в виде символического равенства:(134)Очевидно, имеют место и следующие два равенства:(135)(136)48Используя эти равенства, рассмотрим более сложный пример суммы трехдиаграммJ=t0t2t1|ω=0 +12t0|ω=0 +t2t112t0t2t1|ω=0 (137)Вычисляя эту сумму с помощью временных версий и проводя симметризацию,получаем:!1J=2+0101220121+21220101(138)2Первая диаграмма в (137) имеет одну временную версию и разбивается на полусумму первых двух диаграмм в (138), вторая диаграмма в (137) имеет двевременных версии, соответствующие диаграммам 3 и 4 в (138), и последняя диаграмма имеет одну временную версию, соответсвующую пятому вкладу (138).Воспользовавшись в (138) соотношениями (134)-(136), находим2J=12+01214=0114(139)Для упрощения первой скобки в (138) мы воспользовались равенством (134),для второй – (136) и для последнего перехода – (134).
В результате сумма динамических диаграмм (137) свелась к единственной статической. Этот примерпоказывает, насколько редукция сокращает число диаграмм.Для диаграмм интересующей нас один-неприводимой функции ψ 0 ψ 0 полное сведение к статическим диаграммам не представляется возможным. Однако, использование соотношений (134)-(136) позволяет и в этом случае значительно сократить число вкладов и упростить их вид. Рассмотрим в качестве49примера сумму двух последних диаграмм в (38), которую перепишем в виде:(140)J1 =С учетом того, что значения диаграмм не зависят от нумерации вершин, производя симметризацию и используя соотношение (136), получаем:1J1 = 2=(141)=12Сформулируем общий рецепт редукции диаграмм, иллюстрируя его напримере суммы двух следующих диаграмм, содержащих в совокупности десятьвременных версий:(142)Результат редукции представляет собой сумму диаграмм, построенных по следующему рецепту.I шаг.Рисуем диаграммы со всеми возможными расположениями внутренних вершин,при этом внешние вершины всегда должны быть крайними, а все ближайшиевершины должны быть соединены между собой хотя бы одной линией.Возможный порядок вершин:(143)50запрещенный порядок вершин:(144)II шаг.Поочередно рисуем сечения слева направо, начиная от крайней левой вершины.Максимальное число сечений соответствует количеству вершин - 1.(145)III шаг.Во все линии, приходящие слева к вершине, расположенной между двумя сечениями, поочередно расставляем штрихи.
Если существует 2 эквивалентныелинии, на которые можно расставить штрихи, то ставим только на одну, осташийся вариант учитывается в симметрийном коэффициенте.(146)Таким образом, исходная сумма десяти временных версий свелась к сумме трехэффективных диаграмм (146).В качестве второго примера редукции диаграмм рассмотрим сумму 28временных версий диаграмм вида(147)с 5 вариантами расстановки штрихов.I шаг.51II шаг.III шаг.(148)В результате 28 версий диаграмм (147) свелись к 8 диаграммам (148).3.3Расчет динамического индекса в схеме MSПри нахождении динамического индекса путем расчета констант ренормировки воспользуемся в данной главе при ренормировке схемой минимальных вычитаний (M S – при использовании заряда u), в которой контрчленывычитают из диаграмм только полюсные по ε вклады.
Динамический индексопределяется константой ренормировкиZλ = Z1−1 Zψ2 = Z2−1 Zψ2 .(149)52Для наших целей ее удобно вычислять через константу ренормировки Z1 , которая определяется по диаграммам 1-неприводимой функции Γψ0 ψ0 = hψ 0 ψ 0 i1−irr /(2λ)на нулевых внешней частоте ω и импульсе p. При разложении этой функции вSd2π d/2ряд теории возмущений будем использовать заряд u = (2π)d g, где Sd = Γ(d/2) –площадь d-мерной сферы единичного радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
