Диссертация (1149755), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Индекс Фишера в четвертом порядке ε-разложения определяется выражениемεε2ε2 (n + 2) 21+(−n+56n+272)+(−5n4 −η=2242(n + 8)4(n + 8)16(n + 8)32− 230n + 1124n + 17920n + 46144 − 384(n + 8)(5n + 22)ζ(3)) .(107)Результаты расчета величины f1 (u) в четвертом порядке теории возмущений представлены в Таблице (1):2f1 (u) = (a1 + a2 ε + a3 ε2 )k3 u2 − (a4 + a5 ε)k1 k3 u3 ++(a6 k2 k3 + a7 k32 + a8 k3 k4 + a9 k3 k4 )u4 .(108)39f(n)результат1k3a1 + a2 ε + a3 ε 22k1 k3a4 + a5 ε3k2 k3a64k32a75k3 k4a86k3 k4a9aiрезультатa1ln(4/3)/4a2 -0.1284504997333(33)a3 0.1897615538667(33)a4 -0.049271254182(8)a50.22915811(5)a60.01749280(24)a7-0.0108879(27)a80.062068(33)a90.12669(5)Таблица 1Двух- и трехпетлевое приближения представлены единственными диаграммами 1 и 2 соответственно.
Каждой из четырехпетлевых диаграмм соответствует сумма вкладов со всевозможными перечеркиваниями одной из линий в каждой из внутренних вершин. Функции f (n) определяют дополнительные множители при каждой из диаграмм, отличающие n-компонентный случайот однокомпонентного. Эти множители определяются только топологией диаграмм и совпадают с соответствующими множителями статической модели.Использование формулы (81) для R-операции при вычислении величиныf1 по диаграммам 1–6 позволило получить их представление в виде интегралов, не содержащих расходимостей по ε, как в импульсном, так и фейнмановском представлении. Диаграммы 1–3, не содержащие вложенных подграфов,оказалось более выгодным вычислять в импульсном представлении и выполнить в них явно интегрирование по параметрам a.
Используя симметричноепротекание втекающего в однопетлевые подграфы импульса, удалось исключить скалярные произведения из выражений для сечений временных версийи выполнить аналитическое интегрирование по оставшимся углам при ε = 0согласно (93), (94), после чего осталось численно рассчитать четырехкратныйинтеграл по модулям импульсов. В данном случае вычитание контрчленов вподынтегральном выражении носит простой характер и не препятствует численному расчету, при желании можно легко произвести явное сокращение вподынтегральном выражении плохо убывающих вкладов (см.
Приложение).В диаграммах 4–6 такое сокращение произвести затруднительно, и было произведено дифференцирование по параметрам a подынтегральных функций, что заведомо дает выражение, свободное от расходимостей. Вычисления40этих диаграмм производились в фейнмановском представлении техникой SectorDecomposition. В качестве стратегии использовались сектора Спира [25], которые для динамических диаграмм с полиномами Симанчика типа (87) могутбыть легко получены из секторов статических диаграмм благодаря наличиюзамен (86), связывающих полиномы (85) и (87). Полученные “динамические”сектора должны быть дополнены последующими шагами декомпозиции из-заналичия в полиномах параметров растяжения a, построение данных шагов декомпозиции подробно рассмотрено в работе [26].Результаты расчета динамического индекса представляют обычно в видеz = 2 + Rη.
Это удобно, так как величина R оказывается не зависящей отчисла компонент поля n в двух и трехпетлевом приближении, а индекс Фишераη рассчитан с большой точностью. Учитывая соотношения (100), (104), длявеличины R получаемR = 2f1∗ (1 − η/2)/η − 1 .(109)Подставляя в это выражение формулы (108), (105), (107), находим 3 члена εразложения величины R [19]ε2 (c3 + c4 n)2R = (6 ln(4/3) − 1) 1 + c1 ε + c2 ε +(n + 8)2,(110)где коэффициенты ci ≡ Ci /[6 ln(4/3) − 1] определяются соотношениямиC1 = 30 a1 + 24 a2 − 16 a4 ,(111)8593a1 + 30 a2 + 24 a3 − 28 a4 − 16 a5 + 32 a6 ,(112)6484030C3 = −+ 264ζ(3) a1 − 672 a4 − 1408 a6 + 576 a7 + 704 a8 + 704 a9 , (113)3830C4 = −+ 60ζ(3) a1 − 144 a4 − 320 a6 + 288 a7 + 160 a8 + 160 a9 .
(114)3C2 =Первые два члена ε-разложения (110) не зависят от числа компонент поляn. Первый из них был вычислен в работе [13], второй – в работе [15].В работе [13] величина R вычислена также в главном порядке 1/n-разложения41для произвольной размерности d:R∞ =44−d2dΓ (d/2 − 1)/Γ(d − 2)−1R 1/2d/2−28 0 dx[x(2 − x)]!.(115)Первые члены разложения этой величины по ε = 4 − d имеют видR∞ = (6 ln(4/3) − 1) 1 − 0.188483417 ε − 0.099952926 ε2 + O(ε3 ) .(116)С учетом того, что первые два члена ε-разложения (110) не зависят от n, онисовпадают с соответствующими вкладами в (116), что подтверждается результатами работ [13], [15].
Соотношение (116) определяет также коэффициент c2 вквадратичном по ε вкладе из (110), таким образом,c1 = −0.188483417 ,c2 = −0.099952926 .(117)Для проверки точности расчетов диаграмм мы рассчитали коэффициенты c1 ,и c2 , используя соотношения (111), (112). Подставляя данные из Таблицы (1),находим c1 = −0.18848341720(21) ,c2 = −0.100096(11), что с хорошей точностью совпадает со значениями (117).
Для коэффициентов c3 , c4 (113), (114)получаемc3 = 21.56(6) ,c4 = 4.788(13) .(118)Впервые эти коэффициенты были рассчитаны в работе [16], вычисления в этойработе проводились в импульсном представлении в схеме M S, точность расчета составила 1–2% . В рамках погрешности полученные нами значения (118)согласуются с результатами работы [16], но имеют значительно меньшую погрешность.Приведем для полноты картины полученное ε-разложение динамическогоиндекса z для случая n = 1:z = 2 + 0.013446156198(1)ε2 + 0.0110362801761(28)ε3 − 0.005576(12)ε4 . (119)423Расчет динамического индекса в схеме MSДанная глава, основанная на работе [20], посвящена четырехпетлевомурасчету динамического индекса z с помощью метода Sector Decomposition в“классическом варианте” (вычисление вычетов при полюсах в константах ренормировки), адаптированном для диаграмм динамической теории.
Необходимая для этого база в виде представления Фейнмана динамических диаграммполучена в первой главе.Метод Sector Decomposition основан на делении области интегрированияпо фейнмановским параметрам на сектора, в каждом из которых искомые вычеты достаточно просто выделяются. Число таких секторов уже в статическойзадаче резко возрастает с ростом порядка теории возмущений и достигает порядка нескольких сотен в пятипетлевом приближении. В задачах динамики ситуация в этом отношении еще более усложняется. Как мы видели во второйглаве, каждой статической диаграмме соответствует значительное число динамических диаграмм со всевозможными перечеркиваниями одной из линий вкаждой вершине.
Существенное увеличение вкладов происходит также послепроведения интегрирования по времени (многочисленные временные версии).Поэтому, сформулировав кратко в следующем разделе сущность метода применительно к динамическим диаграммам, во втором разделе главы значительноевнимание уделено процедуре “редукции” диаграмм, позволяющей значительноуменьшить число вкладов.3.1Метод Sector Decomposition в задачах динамикиРассмотрим применение метода Sector Decomposition на примере двухпетлевой диаграммы3(120)256Данная диаграмма имеет при ε → 0 “поверхностную” УФ-расходимость (посовокупности всех импульсов интегрирования) и расходимость по импульсу интегрирования в подграфе. Поэтому ее ряд Лорана по ε содержит два полюсныхвклада ∼ ε−2 и ∼ ε−1 . Задача состоит в том, чтобы выделить вычеты при этих43полюсах в виде, удобном для численного интегрирования.
Рассмотрим как этоделается в фейнмановском представлении методом Secror Decomposition.Учитывая, что для рассматриваемой диаграммы число петель n = 2, ачисло фейнмановских параметров α = 4, по аналогии с (52) и с учетом (58)получаемJ = π 4−ε τ −ε Γ(ε) j(ε) ,ε = 4 − d,(121)где1111(1 + v5 + v6 )−ε δ(1 − v2 − v3 − v5 − v6 ),2−ε/2(detV)0000det V = v2 v3 + 2v2 v6 + 2v3 v5 + v3 v6 + 4v5 v6 + v62 .(122)Zj(ε) =Zdv2Zdv3Zdv5dv6Полюс, соответствующий поверхностной расходимости, выделяется в фейнмановском представлении в явном виде, в рассматриваемом случае он содержитсяв множителе Γ(ε) ∼ ε−1 в (121). Таким образом, интеграл (122) содержит полюспервого порядка, он обусловлен наличием нулей det V в знаменателе подынтегрального выражения.
Сложность нахождения вычета при полюсе определяется тем, что нули det V соответствуют не отдельным точкам в области интегрирования, а некоторым областям. Метод Sector Decomposition дает рецептзамены переменных и разбиения области интегрирования на сектора такимобразом, чтобы в каждой из них полюс был обусловлен расходимостью видаRdv v −1+ε ∼ ε−1 по единственной переменной.Процедура декомпозиции состоит из последовательных шагов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
