Диссертация (1149755), страница 5
Текст из файла (страница 5)
С этой целью процедураперенормировки записывается с помощью R-операции Боголюбова-Парасюка, вкоторой в используемой схеме ренормировкиоперацию вычитания расходящихся частей удается представить в виде модификации подынтегральных выражений.Как и в статье [23], выберем схему ренормировки, аналогичную схемевычитаний на нулевых импульсах (и частотах), с дополнительным условиемµ2 = τ .
Константы ренормировки определим из требованийΓ̄Ri µ2 =τ = 1,i = 1, . . . , 5.(59)Эти условия означают, что в точке нормировки контрчлены полностью сокращают диаграммные вклады в ренормированные аналоги функций Γ̄i .Учет контрчленов в (14) можно заменить действием R-операции на диаграммы базовой теории (15) [22] и записать ренормированные функции ΓR(n1 ,n2 )в виде0ΓR(n1 ,n2 ) = RΓ(n1 ,n2 ) = (1 − K)R Γ(n1 ,n2 ) ,где операция R0 устраняет расходимости в существенных подграфах диаграммы, а (1 − K) – остающуюся поверхностную расходимость.
Конкретная схема26ренормировки определяется заданием операции K отбора расходящихся частей1-неприводимых диаграмм.Константам ренормировки Zi , определяющимся условиями (59), cоответствует операция K отбора расходящихся частей диаграмм:KΓ(3,1) = Γ(3,1) |p=0, ω=0, µ2 =τ ,(60) τ+= Γ(1,1) τ =0 + 2 Γ(1,1) µ2 =τ − Γ(1,1) τ =0µp=0, ω=02+ p ∂p2 Γ(1,1) p=0, ω=0, µ2 =τ + iω ∂iω Γ(1,1) p=0, ω=0, µ2 =τ .(61)KΓ(0,2) = Γ(0,2) |p=0, ω=0, µ2 =τ ,KΓ(1,1)При µ2 = τ операция (61) упрощается,KΓ(1,1) µ2 =τ = Γ(1,1) |p=0, ω=0, µ2 =τ ++ p2 ∂p2 Γ(1,1) p=0, ω=0, µ2 =τ + iω ∂iω Γ(1,1) p=0, ω=0, µ2 =τ ,(62)так что при µ2 = τ все три операции в (60) и (62) сводятся к вычитанию нанулевых импульсах и частотах при µ2 = τ .Полную R-операцию можно записать в виде [24]RΓ =Y(1 − Ki )Γ,(63)iгде произведение берется по всем существенным (имеющим поверхностную расходимость) подграфам диаграмм, входящих в Γ, и диаграммам в целом (если уних есть поверхностная расходимость).Отсутствие полюсов в РГ-функциях (32) можно показать, используя уравнения (31): ренормированные функции ΓR(n1 ,n2 ) УФ-конечны по построению [22].Выбрав достаточное число уравнений из (31), можно выразить через них РГфункции, что и доказывает конечность последних.
Мы используем этот приемдля численного расчета РГ-функций через ΓR(n1 ,n2 ) , точнее, через ренормированные аналоги функций Γ̄i из (16)–(20):Γ̄Ri = RΓ̄i ,i = 1, . . . , 5.RRУравнения для Γ̄R1 , Γ̄4 , Γ̄5 непосредственно получаются из (31) подстановкой27Rих определений (16), (19), (20), а для Γ̄R3 , Γ̄4 – действием на соответствующиеуравнения из (31) операциями ∂p2 ( · )|p=0, ω=0 и ∂i ω( · )|p=0, ω=0 с использованиемкоммутативности этих операций и R-операции. Учитывая вытекающие из (22)и (28) связи между РГ-функциямиγ1 = γλ + 2γψ0 ,γ 2 = γψ + γψ 0 ,γ4 = γλ + γτ + γψ0 + γψ ,γ3 = γλ + γψ0 + γψ ,γ5 = γλ + γg + γψ0 + 3γψ ,(64)получаем(µ∂µ + β∂g − γτ τ ∂τ − γi )Γ̄Ri = 0,(65)i = 1, .
. . , 5.Безразмерные величины Γ̄Ri зависят только от безразмерного отношения τ̃ =Rτ /µ2 , т. е. Γ̄Ri (τ, µ, λ) = Γ̄i (τ̃ ). С учетом этого факта уравнения (65) можнозаписать в видеβ∂g − (2 + γτ )τ̃ ∂τ̃ − γi Γ̄Ri = 0,i = 1, . . . , 5,τ̃ ≡τ.µ2Переходя в этих уравнениях к точке нормировки τ̃ = 1 и учитывая условие (59),получаем(2 + γτ )Fi = γi ,i = 1, . .
. , 5,(66)гдеFi ≡ ∂ˆτ̃ Γ̄Ri ,∂ˆτ̃ ( · ) ≡ −∂τ̃ ( · )τ̃ =1 .(67)Подставляя в уравнения (66) вытекающее из (64) соотношение γτ = γ4 − γ3 ,получим уравнения(2 + γ4 − γ3 )Fi = γi ,i = 1, . . . , 5.Решая эти уравнения для случаев i = 3, 4 относительно γ3 и γ4 , а затем решаяоставшиеся уравнения относительно γ1 , γ2 и γ5 , находимγi =2Fi,1 + F3 − F4i = 1, . . . , 5.(68)Эти равенства дают выражения для РГ-функции через ренормированные 1неприводимые функции Fi . Однако, как и в статическом случае [23], [11], данные функции неудобны для вычислений, более удобными для расчета являются28функцииfi = R ∂ˆτ̃ Γ̄i ,(69)в этих функциях R-операция действует на продифференцированные диаграммы, в которых уже положено µ2 = τ (τ̃ = 1), поэтому операция K имеет простойвид (62).
В то же время для функций Fi из (66) необходимо сначала продифференцировать ренормированную диаграмму, в которой операция K дается выражением (61), и лишь затем перейти в точку нормировки µ2 = τ . Мы покажемниже, что величины Fi и fi связаны простыми соотношениямиFi = (1 − F4 )fi ,i = 1, 2, 3, 5.(70)Записывая уравнения (68) в видеγi =2Fi /(1 − F4 )1 + F3 /(1 − F4 )и подставляя в них fi = Fi /(1 − F4 ) из (70), приходим к соотношениямγi =2fi,1 + f3i = 1, 2, 3, 5,(71)с помощью которых и будут производиться дальнейшие расчеты РГ-функций.Используя соотношения (71) и (64), получаем формулы для вычисленияостальных РГ-функций:2(f3 − f2 ),1 + f3f1 − f3 + f2γψ0 =,1 + f3γλ =f2 − f1 + f3,1 + f32(f5 − 2f3 − f2 + f1 )γg =.1 + f3γψ =Соотношения (71) выражают искомые ренормгрупповые функции черезУФ-конечные величины fi , которые определяются непосредственно по диаграммам соответствующих 1-неприводимых функций согласно (69).
Однако это нерешает еще поставленную задачу, так как при численном нахождении величинfi необходимо использовать такое представление R-операции в (69), в которомУФ-конечность ответа обеспечивалась бы за счет формирования достаточнобыстро убывающих подынтегральных выражений, а не происходило за счет сокращения полюсов по ε после проведения вычислений.
Такое представление29будет сформулировано в П.2.3.2.2Ренормировка величин fi и их связь с FiПриведем полученное в работе [18] доказательство соотношения (70).Рассмотрим подробнее процедуру ренормировки в соотношении (69). Операция −∂τ , действуя на диаграммы базовой теории, сводится к сумме вставокво всевозможные линии составного оператора ψψ 0 ≡ Ψ. Вставка такого оператора улучшает УФ-сходимость диаграмм, она порождает также новый типрасходящихся подграфов.
Обозначим через Γ(n1 ,n2 ;1) 1-неприводимую функцию,получающуюся вставкой одного оператора Ψ в Γ(n1 ,n2 ) , тогда− ∂τ Γ(n1 ,n2 ) = Γ(n1 ,n2 ;1) .(72)Среди величин Γ(n1 ,n2 ;1) поверхностная расходимость (логарифмическая) остается только у Γ(1,1;1) .
Соответствующие подграфы принадлежат, таким образом,классу существенных, и их надо учитывать в R-операции (63), принимая вовнимание, что(73)KΓ(1,1;1) = Γ(1,1;1) p=0, ω=0, µ2 =τ .Как и для величин Γ̄i , вычитания с K, взятым из (73), приводят к тому, чтов точке нормировки p = 0, ω = 0, µ2 = τ все диаграммные вклады в ΓR(1,1;1)в ренормированной функции сокращаются контрчленами, и остается толькобеспетлевой вклад. С учетом того что такой вклад в Γ(1,1) равен −p2 − τ , соответствующий вклад в Γ(1,1;1) = −∂τ Γ(1,1) равен единице.
ПоэтомуΓR(1,1;1) p=0, ω=0, µ2 =τ = 1.(74)Для неренормированных функций соотношение, аналогичное (72), имеет вид(0)(0)−∂τ0 Γ(n1 ,n2 ) (e0 , p) = Γ(n1 ,n2 ;1) (e0 , p),(0)где Γ(n1 ,n2 ;1) – 1-неприводимая функция со вставкой одного оператора ψ0 ψ00 ≡Ψ0 . Перейдем в (72) к ренормированным величинам. Ренормировка составногооператора Ψ определяется равенством Ψ = ZΨ ΨR , с учетом этого ренормировка30(0)функции Γ(n1 ,n2 ;1) записывается в виде(0)2Γ(n1 ,n2 ;1) = Zψ1−n1 Zψ1−nZΨ ΓR0(n1 ,n2 ;1) .(75)Выразим операцию ∂τ0 в левой части (72) в терминах ренормированныхпеременных. В силу соотношений (21) фиксация переменных g0 , µ, λ0 означаеттакже фиксацию g, µ, λ. Таким образом,(∂τ0 )g0 ,µ,λ0 = Zτ−1 (∂τ )g,µ,λ .Подставляя это равенство в (72) и используя формулы ренормировки (27), (75),получаемR−∂τ ΓR(n1 ,n2 ) (e, p) = Zψ Zψ 0 Zτ ZΨ Γ(n1 ,n2 ;1) (e, p)или, используя (22),− ∂τ ΓR(n1 ,n2 ) (e, p) =Z4ZΨ ΓR(n1 ,n2 ;1) (e, p).Zλ(76)Учет констант ренормировки при построении функции ΓR(n1 ,n2 ;1) также можнозаменить действием R-операции на диаграммы базовой теории [22]:ΓR(n1 ,n2 ;1) = RΓ(n1 ,n2 ;1) .(77)Подставляя соотношения (77), (72) в (76), находим−∂τ ΓR(n1 ,n2 ) = −Z4ZΨ R ∂τ Γ(n1 ,n2 ) .ZλПереписывая эти равенства для нормированных функций Γ̄i , заданных в (16)–(20), учитывая формулы (67), (69), (74) и полагая µ2 = τ , получаем1 − F4 =иFi =Z4ZΨ f i ,ZλZ4ZΨZλ(78)i = 1, 2, 3, 5.Подставляя в эти выражения величину (Z4 /Zλ )ZΨ из (78), приходим к искомомуравенству (70).312.3Представление R-операции в схеме с точкойнормировкиВеличины fi вычисляются в точке нормировки µ2 = τ , операция вычитания 1 − K в формуле (63) для них сводится к вычитанию начального отрезкаряда по импульсу и частоте.
Для логарифмических подграфов имеем(1 − K)Γ(p2 , ω) = Γ(p2 , ω) − Γp=0, ω=0 ,а для квадратичных –(1 − K)Γ(p2 , ω) = Γ(p2 , ω) − Γp=0, ω=0 − p2 ∂p2 Γp=0, ω=0 − iω ∂iω Γp=0, ω=0 .В обоих случаях операцию вычитания можно записать в виде остаточного членаряда Тейлора в интегральной форме: для логарифмических подграфовZ21da ∂a Γ(ap2 , aω),(79)da (1 − a) ∂a2 Γ(ap2 , aω).(80)(1 − K)Γ(p , ω) =0для квадратичных –1Z2(1 − K)Γ(p , ω) =0Действие операции R на диаграмму χ с учетом соотношений (79), (80) можнозаписать в виде [24]Rχ =YZi01dai (1 − ai )ni ∂anii +1 χ({a}),(81)где произведение берется по всем существенным подграфам χ(i) (включая диаграмму χ как целое), ai – параметр растяжения внутри i-го подграфа импульсови частот, втекающих в этот подграф, ni = 0 для логарифмических подграфови ni = 1 для квадратичных. Преимущество такой записи ренормированных величин состоит в том, что ответ представляется в виде интегралов, конечных приε = 0, причем в форме, в которой не происходит сокращения больших вкладовв подынтегральном выражении (“теория без расходимостей”).322.4R-операция после интегрирования по времениУдобная форма вычитания контрчленов получена в (79)-(81) в частотном представлении.
Используя технику интегрирования по временным версиям, перепишем эти соотношения сначала во временном представлении, а затемв фейнмановском.В принятой схеме ренормировки вычитания из расходящихся подграфовпроводятся на нулевой частоте, втекающей в подграф. В формулировке (81) этовключает процедуру растяжения втекающей в подграф частоты: ω → aω. Чтобы интерпретировать такое растяжение в импульсно-временном представлениии выполнить интегрирование по временам с использованием временных версий,это растяжение можно заменить соответствующим изменением подынтегрального выражения подграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
