Диссертация (1149755), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Переход к квантово-полевой модели позволяет воспользоваться развитым математическим аппаратом теории поля – техникой континуального интегрирования,диаграммами Фейнмана, теорией ренормировок, ренормализационной группойи т.д.1.3Ренормировка моделиВ критической области (при τ → 0) роль флуктуаций сильно возрастает,и теория возмущений по константе связи g0 становится неэффективной как встатической, так и в динамической теории. Эта роль уменьшается с увеличением размерности пространства d и при d > dc = 4 становится справедливойтеория среднего поля.
На этом основана идея К. Вильсона вычисления средних в виде так называемого эпсилон-разложения – ряда по формально маломупараметру ε ≡ 4 − d. Техника ε-разложения в настоящее время широко используется в теории критических явлений [22]. Ее реализация сопряжена со значительными техническими трудностями. При переходе от реальной размерностипространства d к критической dc = 4 диаграммы теории возмущений приобретают ультрафиолетовые расходимости, проявляющиеся в виде полюсов по ε.Поэтому в качестве первого шага построения ε-разложения необходимо произвести УФ-перенормировку. Следующим шагом является использование ренормализационной группы, отражающей неоднозначность процедуры ренормировки.Уравнения ренормгруппы позволяют обосновать критический скейлинг и вы-14числять критические индексы, однако для корректного их определения необходимо преодолеть еще одну трудность.
Дело в том, что ряды ε-разложенияявляются асимптотическими, с факториально растущими коэффициентами, иих необходимо пересуммировать, рассчитав по возможности большее число членов ε-разложения.Изложенная программа реализуется в настоящей работе применительнок А-модели. Начнем с процедуры перенормировки.Рассмотрим A-модель критической динамики в пространстве размерностиd = 4 − ε.
Ренормировка действия этой модели заключается в переходе отнеренормированнного действия (12) к ренормированному1SR = Z1 λψ 0 ψ 0 + ψ 0 −Z2 ∂t ψ + λ Z3 ∂ 2 ψ − Z4 τ ψ − Z5 µε gψ 3 ,3!(13)где Zi – константы ренормировки. Действие (13) может быть представлено в виде суммы базового действия SB и контрчленов ∆S:SR = SB + ∆S,где базовое действие имеет вид1 ε 30 002.SB = λψ ψ + ψ −∂t ψ + λ ∂ ψ − τ ψ − µ gψ3!(14)(15)Контрчлены ∆S должны быть выбраны таким образом, чтобы устранить УФрасходимости (полюса по ε) в диаграммах базовой теории. Для этого достаточноустранить их в определенной совокупности 1-неприводимых функций. Введемдля таких функций обозначенияΓ(n1 ,n2 ) ≡ h ψ .
. . ψ ψ 0 . . . ψ 0 i1-непр .| {z } | {z }n1n2Поверхностные ультрафиолетовые расходимости при ε = 0 присутствуют в диаграммах 1-неприводимых функций Γ(0,2) , Γ(3,1) , имеющих логарифмическую расходимость, и в квадратично-расходящихся диаграммах функции Γ(1,1) с возможными контрчленами ψ 0 ∂t ψ, ψ 0 ∂ 2 ψ и ψ 0 τ ψ.Таким образом, константы ренормировки необходимо выбрать так, чтобы15были конечны ренормированные аналоги ΓR следующих функций:Γ(0,2) ,Γ̄1 =2λ p=0, ω=0Γ̄2 = ∂iω Γ(1,1) p=0, ω=0 ,1 2 Γ(1,1) Γ̄3 = − ∂p,2λ p=0, ω=0Γ(1,1) − Γ(1,1) |τ =0 Γ̄4 = −,λτp=0, ω=0Γ(3,1) Γ̄5 = −.λgµε p=0, ω=0(16)(17)(18)(19)(20)Коэффициенты в функциях Γ̄i выбраны так, чтобы в беспетлевом приближении(при g = 0) они равнялись единице.Доказано (см., напр., [22]), что модель А мультипликативно ренормируема.
Это означает, что ренормированное действие (13) может быть полученоиз неренормированного (12) мультипликативной ренормировкой параметров иполей:λ0 = λZλ ,τ0 = τ Zτ ,g0 = gµε Zg ,ψ0 = ψZψ ,ψ00 = ψ 0 Zψ0 ,(21)при этом константы ренормировки в (13) выражаются через константы ренормировки в (21) соотношениямиZ1 = Zλ Zψ2 0 ,Z2 = Zψ0 Zψ ,Z4 = Zψ 0 Zλ Zτ Zψ ,Z3 = Zψ0 Zλ Zψ ,Z5 = Zψ0 Zλ Zg Zψ3 .(22)Из мультипликативной ренормируемости моделей (12), (7) следует [22],что динамические константы ренормировки Zψ , Zτ , Zg совпадают со статическими (константами ренормировки модели (7))Zψ = (Zψ )st ,Zτ = (Zτ )st ,Zg = (Zg )st ,(23)и справедливо соотношениеZψ0 Zλ = Zψ .(24)16Это означает, что константы ренормировки Z3 , Z4 , Z5 – чисто статические, и(25)Z1 = Z2 .Единственной новой константой ренормировки является(26)Zλ = Z1−1 Zψ2 = Z2−1 Zψ2 .Конкретный выбор схемы ренормировки будет обсуждаться в следующихдвух главах.1.4Уравнения РГВ используемых в дальнейшем схемах ренормировки константы ренормировки зависят только от константы связи и от размерности пространства,поэтому уравнения ренормгруппы для 1-неприводимых функций ΓR(n1 ,n2 ) можнополучить аналогично тому, как это делается в монографии [22] для схемы МS.Введем обозначенияe0 = {g0 , m0 , λ0 , µ},e = {g, m, λ, µ}для набора затравочных и ренормированных параметров.
Для удобства мывключили в первый из них ренормировочную массу µ, от которой затравочное действие не зависит. Формулы ренормировки для 1-неприводимых функций ΓR(n1 ,n2 ) имеют вид(0)2 RΓ(n1 ,n2 ) (e0 ) = Zψ−n1 Zψ−nΓ(n1 ,n2 ) (e).0(27)(0)Уравнения РГ для ΓR(n1 ,n2 ) получаются из условия независимости Γ(n1 ,n2 ) (e0 )от µ:eµ Γ(0)D(n1 ,n2 ) = 0,eµ ≡ µ∂µ |m ,g ,λ . Для ренормированных функций ΓRгде D0 0 0(n1 ,n2 ) отсюда с учетом (27) получаемeµ [ ln ΓRD(n1 ,n2 ) − n1 ln Zψ − n2 ln Zψ 0 ] = 0,17таким образом, положив(28)eµ ln Zφ ,γφ ≡ DнаходимReµ ΓRD(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) .Переходя в этом выражении к дифференцированию по ренормированным переменным e с помощью равенства(Dµ )g0 ,m0 ,λ0 = (Dµ )g,m,λ + (Dµ g)g0 ,m0 ,λ0 ∂g ++ (Dµ τ )g0 ,m0 ,λ0 ∂τ + (Dµ λ)g0 ,m0 ,λ0 ∂λ ,имеемReµ g)∂g + (Deµ τ )∂τ + (Deµ λ)∂λ ΓRDµ + (D(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) .(29)Вводя с учетом (21) РГ-функцииeµ ln Zτ ,γτ ≡ Deµ ln Zλ ,γλ ≡ Deµ ln Zg ,γg ≡ Deµ g = −g(ε + γg ),β≡D(30)получаем из (29) искомое уравнение ренормгруппы:R(Dµ + β∂g − γτ Dτ − γλ Dλ )ΓR(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) ,(31)где Dµ ≡ µ∂µ |τ,λ,g , Dτ ≡ τ ∂τ |λ,µ,g , Dλ ≡ λ∂λ |τ,µ,g .Уравнения (31) позволяют обосновать критический скейлинг.
Условиеβ(g∗ ) = 0 определяет значение заряда g∗ в неподвижной точке, для устойчивойнеподвижной точки подстановка g = g∗ в уравнения (31) превращает их в уравнения Эйлера для однородных функций, а величины γτ∗ ≡ γτ (g∗ ) и γφ∗ ≡ γφ (g∗ )определяют критические показатели соответствующих величин. Необходимыедля расчета этих показателей РГ-функции β и γi находят обычно по теории возмущений, вычисляя константы ренормировки.
Как следует из (30), РГ-функциивыражаются через них с помощью соотношенийβ(g) = −εg,1 + g ∂g ln Zgγi (g) = −εg ∂g ln Zi.1 + g ∂g ln Zg(32)181.5Диаграммная техника в импульсно-временномпредставлении. Интегрирование по временнымверсиямДиаграммные представления функций Γ̄i строятся по обычным правиламФейнмана. Линиям диаграмм модели (15) в импульсно-временном (k, t) представлении соответствуют пропагаторыt1t 2 = hψ(t )ψ(t )i = 1 exp−λEk |t1 −t2 | ,12 0Ekt1t2t1t2= hψ(t1 )ψ 0 (t2 )i0 = θ(t1 − t2 ) exp−λEk (t1 −t2 ) ,(33)= hψ 0 (t1 )ψ 0 (t2 )i0 = 0 ,Ek ≡ k 2 + τ ,а вершинам ψ 0 ψψψ – множители −λgµε .Простой экспоненциальный вид зависимости пропагаторов (33) от времени позволяет легко провести интегрирование диаграмм по времени. Результатинтегрирования удобно представлять с помощью введения понятия "временныхверсий" .
Для каждой диаграммы рассматриваются все возможные временныеверсии, то есть варианты упорядочения соответствующих вершинам времен tiс учетом свойств запаздывания линий hψψ 0 i. Результат интегрирования представлянтся в виде суммы вкладов каждой из версий.Рассмотрим подробнее процедуру интегрирования по времени на конкретном примере диаграммыt0t1t2Поскольку интегрирование ведется по относительным временам, то одноиз времен, к примеру t0 , можно положить равным нулю.
Возможны следующиесоотношения между временами в вершинах диаграммы0 < t1 < t2 ,0 < t2 < t1 ,t2 < 0 < t1 ,(34)19поэтому данная диаграмма имеет три временные версии:E5E1E1E2E4E3E4+E5E2+E1E4E2E5E3E3Определим понятие “сечения”, как вертикальную линию, расположеннуюмежду двумя соседними вершинами диаграммы. Каждой линии в диаграммеприпишем “энергию” Ei , которая по ней “протекает”. Тогда энергия в сечении –это сумма энергий линий диаграммы, находящихся в данном сечении. Результатом интегрирования по времени будет сумма по всем временным версиямпроизведений обратных энергий в каждом сечении.E5E1E1E2E3E4+E4E2E5+E1E4E2E5E3E31111·+·+E1 + E2 + E3 E1 + E4 + E5 E1 + E2 + E3 E5 + E4 + E2 + E311+·E5 + E4 + E1 E5 + E4 + E2 + E3(35)В нашем случае зависимость энергии от импульса соответствующей линии дается соотношением Ei = ki2 + τ .1.6Диаграммная техника в представлении ФейнманаВ статической модели (7) переход к представлению Фейнмана основан натом, что в импульсном представлении подынтегральные выражения для диаграмм представляют собой произведения пропагаторов вида 1/(k 2 + τ ), зависящих от квадратов импульсов интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
