Диссертация (1149755), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ц. Аджемян, С. Е. Воробьева, М. В. Компаниец, Представлениенесингулярными интегралами β-функции и аномальных размерностей в моделях критической динамики, ТМФ, 185:1 (2015), 3–11.2. Л. Ц. Аджемян, С. Е. Воробьева, М. В. Компаниец, Э. В. Иванова, Представление ренормгрупповых функций несингулярными интегралами в моделикритической динамики ферромагнетиков: четвертый порядок ε-разложения,ТМФ, 195: 1 (2018), 103-114.3. L. Adzhemyan, E.
Ivanova, M. Kompaniets, S. Vorobyeva, Diagram Reductionin Problem of Critical Dynamics of Ferromagnets: 4-Loop Approximation, Journalof Physics A: Mathematical and Theoretical, 51 (2018), 155003. arXiv:1712.05917[cond-mat.stat-mech].4. С. Е. Воробьева, Э.B. Иванова, В.Д. Серов, Борелевское пересуммирование динамического индекса z в модели А критической динамики с учетомасимптотики сильной связи, Вестник СПбГУ.
Физика и химия, Т. 5 (63). Вып.1, (2018), 13-19.Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискате-8лем лично, либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4глав, Заключения и 1 приложения. Полный объем диссертации составляет 107страниц. Диссертация содержит 5 рисунков, 4 таблицы и список литературы из36 наименований.Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаныметодология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатов ипредставлены выносимые на защиту научные положения.Первая часть главы 1 посвящена постановке задачи исследования явления критического замедления в рамках А-модели.
С использованием феноменологии динамического скейлинга сформулировано понятие критического замедления и введен динамический критический индекс z. Задачей последующего статистического подхода является обоснование динамического скейлинга ирасчет показателя z в рамках ренормгруппового подхода и ε-разложения. Такой подход основан на использовании стохастического уравнения Ланжевена споследующим переходом к эквивалентной квантово-полевой модели. Сформулирована общая схема ренормировки этой модели, две различные конкретныереализации которой используются в главах 2 и 3.
Рассмотрены уравнения ренормгруппы, отвечающие описанной схеме ренормировки, они являются общими для обеих конкретных схем, используемых в главах 2 и 3.Оригинальной частью первой главы является обобщение фейнмановского представления на диаграммы динамической модели, позволяющее сопоставлять диаграмме интеграл по фейнмановским параметрам непосредственнопо виду диаграммы, минуя импульсное представление.
Эта часть первой главыоснована на материале работы [18].Во второй главе проведено обобщение метода вычисления РГ-функцийбез использования констант ренормировок (“теория без расходимостей”) на случай динамической теории. Сформулирована отвечающая этой цели схема ренормировки с использованием R-операции. С помощью уравнений ренормгруппыполучено представление РГ-функций через ренормированные 1-неприводимыефункции.
Полученные выражения приведены к виду, сводящему определениеРГ-функций к вычислению интегралов, не содержащих особенностей. Произведен численный четырехпетлевой расчет индекса z. Часть вкладов была рас-9считана в импульсном представлении, наиболее сложные – в фейнмановскомпредставлении с использованием техники Sector Decomposition. Материал второй главы основан на работах [18] и [19].В третьей главе на основе полученного в главе 1 фейнмановского представления диаграмм динамической модели рассчитаны константы ренормировки в схеме минимальных вычитаний с помощью метода Sector Decomposition вчетырехпетлевом приближении.
Использована процедура редукции диаграмм,позволившая существенно сократить количество диаграмм и, соответственно,общий объем вычислений. В результате получено разложение динамическогоиндекса z с точностью до ε4 . Материал третьей главы основан на работе [20].В четвертой главе проведено суммирование полученных рядов ε-разложения индекса z методом конформ-Бореля с использованием параметра сильной связи. На примере нульмерной теории путем сравнения с известным в данном случае точным результатом показано, что использование параметра сильной связи значительно повышает скорость сходимости процедуры суммирования.
Показано, что при суммировании ряда для индекса z при подходящем выборе этого параметра также наблюдается значительное улучшение сходимостипо сравнению с нулевым значением параметра, использованным ранее. Материал четвертой главы основан на работе [21].В Заключении диссертации представлены основные результаты и выводы.В Приложении приведен расчет в импульсном представлении диаграмм“теории без расходимостей”.101Модель А критической динамики.Ренормировка.
Теория возмущений1.1Явление критического замедления, динамическийскейлингПоведение физических систем в окрестности точек непрерывных фазовых переходов и критических точек описывается в терминах параметра порядка ψ(r, t). Всюду в дальнейшем рассматривается однофазная система притемпературах T > Tc выше температуры фазового перехода. Эта область характеризуется при T → Tc ростом размера флуктуаций параметра порядка иувеличением времени их жизни (критическое замедление).Проиллюстрируем явление критического замедления на примере поведения парного коррелятораG(r, t) = hψ(r1 , t1 )ψ(r2 , t2 )i ,r ≡ r1 − r2 ,t ≡ t1 − t2 .(1)В известном приближении Орнштейна-Цернике фурье-образ одновременногокоррелятора описывается выражениемG(k) =1,k 2 + rc−2(2)в котором корреляционный радиус rc возрастает по мере приближения температуры T к значению Tc в критической точке по закону rc2 ∼ (T − Tc )−1 .
Втрехмерной системе в координатном представлении из (2) следует, чтоG(r) =exp(−r/rc ).4πr(3)Гипотеза подобия постулирует для G(k) представление видаG(k) =1k 2−ηf (krc ) ,rc ∼ (T − Tc )−ν ,(4)совпадающее с (2) при значении критических индексов ν = 1/2 для корреляционного радиуса и η = 0 для индекса Фишера.Обобщение формулы Орнштейна-Цернике на разновременной коррелятор11для несохраняющегося параметра порядка имеет видG(k, t) =exp(−t/tc ),k 2 + rc−22−2t−1c = λ(k + rc ) ,(5)где λ – кинетический коэффициент, не зависящий от близости к критическойточке. При k = 0 время затухания tc = rc2 /λ возрастает при приближении ккритической точке пропорционально (T − Tc )−1 – в этом и состоит явлениекритического замедления.Динамическая гипотеза подобия постулирует для G(k, t) представлениевида1rc ∼ (T − Tc )−ν ,(6)G(k, t) = 2−η f (krc , t/rcz ) ,kв котором критический рост времени затухания при k = 0 определяется динамическим индексом z: tc ∼ rcz ∼ (T − Tc )−zν .
В приближении (5) z = 2. Задачапоследовательной статистической теории состоит в обосновании динамическогоскейлинга и вычислении критических показателей ν, η и z.1.2Модель А критической динамикиМы будем использовать модель критической динамики, основанную настохастическом уравнении Ланжевена. Стохастичность в этом уравнении, вызванная хаотичным движением молекул, моделируется феноменологически путем введения в динамические уравнения некоторого “шума” – случайных силс гауссовым распределением. Коррелятор шума выбирается из требования согласования динамики со статикой. Первым шагом является выбор статическоймодели. Наиболее известной является так называемая φ4 -модель, для которойдействие S0st (ψ0 ) имеет видS0st (ψ0 ) = −Z(∂ψ0 (r))2 τ0 ψ02 (r)1dr++ g0 ψ04 (r)224!(7)Среднее значение функционала F (ψ0 ) от поля параметра порядка ψ(r) определяется функциональным интеграломZhF (ψ0 )i = C Dψ0 F (ψ0 ) exp(S0st (ψ0 )) ,(8)12где C – нормировочная постоянная.
Величина τ0 ∼ T −Tc в (7) пропорциональнаотклонению температуры T от ее значения в критической точке. В дальнейшемдля краткости записи интеграл по координате в выражениях, аналогичных (7),будем опускать.Модели с действием (7) описывают широкий класс физических системв окрестности критической точки, в них параметр порядка может быть многокомпонентным ψ0 k , k = 1..n.
В зависимости от симметрии системы степенипараметра порядка в (7) могут иметь различный смысл, в рассматриваемых вPдальнейшем O(n) симметричных системах ψ 2 ≡ nk=1 ψk2 , ψ 4 ≡ (ψ 2 )2 .Определяемое по статическому действию уравнение стохастической динамики имеет различный вид в зависимости от того, является ли параметр порядка сохраняющейся величиной (точнее, интеграл от него по объему) и взаимодействует ли он с какими-либо другими “мягкими” модами. Модель А отвечаетнесохраняющемуся параметру порядка и отсутствию межмодового взаимодействия, уравнение Ланжевена имеет в этом случае видδS0st + f (r, t) ,ψ0 (r, t → −∞) → 0 , (9)∂t ψ0 (r, t) = λ ·δψ0 (x) ψ0 (r)→ψ0 (r,t)где λ – кинетический коэффициент Онсагера, f – гауссова “случайная сила” скорреляторомhf (r1 , t1 )f (r2 , t2 )i = 2λ δ(r1 − r2 )δ(t1 − t2 ) .(10)Граничное условие в (9) соответствует описанию равновесных тепловых флуктуаций.
Заметим также, что замена λ → −∂ 2 λ в (9) и (10) (∂ 2 – оператор Лапласа) определяет уравнение Ланжевена для сохраняющегося параметра порядка(“модель В” критической динамики).Нахождение средних значений в стохастической задаче (9) , (10) подразумевает решение уравнения (9) (нахождение “траектории”) и последующее усреднение взятого на траектории функционала по распределению случайной силы(10). Коррелятор (10) выбран так, что для одновременных средних (все полявзяты в один момент времени) результат совпадает с соответствующим средним, вычисленным по (8).Анализ стохастической модели (9) , (10) значительно облегчается, если переформулировать ее в виде квантово-полевой модели [22].
В такой модели средние вычисляются в виде функционального интеграла по набору φ0 ≡ {ψ0 , ψ00 }13основного ψ0 и вспомогательного ψ00 полейhF (ψ0 , ψ00 )i = CZZDψ0Dψ00 F (ψ0 , ψ00 ) exp(S0 (φ0 )) ,(11)где действие S0 (φ0 ) определяется выражениемstδSS0 (φ0 ) = λ0 ψ00 ψ00 + ψ00 −∂t ψ0 + λ0 0 =δψ 010 0023= λ0 ψ0 ψ0 + ψ0 ∂t ψ0 + λ0 ∂ ψ0 − τ0 ψ0 − g0 ψ0,3!(12)в котором подразумеваются интегрирования по координате (как в (7)) и повремени. Средние (11), (12) от основного поля совпадают с соответствующимисредними по случайной силе от решения стохастического уравнения, средние,включающие вспомогательное поле, имеют смысл функций отклика [22].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
