Диссертация (1149755)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиВоробьева Светлана ЕвгеньевнаМногопетлевые расчеты в модели Акритической динамикиСпециальность 01.04.02 – теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д. ф.-м. н. проф.
Аджемян Л.Ц.Санкт-Петербург – 20182СодержаниеВведение1 Модель А критической динамики.Ренормировка. Теория возмущений1.1 Явление критического замедления, динамическийскейлинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Модель А критической динамики . . . . . . . . . .1.3 Ренормировка модели . . . . . . . . . . . . . .
. .1.4 Уравнения РГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Диаграммная техника в импульсно-временномпредставлении. Интегрирование по временнымверсиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Диаграммная техника в представлении Фейнмана410....................................10111316. . . . . . . . .. . . .
. . . . .18192 Расчет динамического индекса в “теории без расходимостей” 252.1 Расчет аномальных размерностей без использования констант ренормировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Ренормировка величин fi и их связь с Fi . . . . . . . . . . .
. . . 292.3 Представление R-операции в схеме с точкойнормировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 R-операция после интегрирования по времени . . . . . . . . . . . 322.5 Вычисление диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Динамический критический индекс z .
. . . . . . . . . . . . . . . 363 Расчет динамического индекса в схеме MS423.1 Метод Sector Decomposition в задачах динамики . . . . . . . . . . 423.2 Редукция диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Расчет динамического индекса в схеме MS . . .
. . . . . . . . . . 514 Пересуммирование ε-разложения индекса z методом конформБореля59Заключение63Приложение653Список литературы1044ВведениеАктуальность темы.Метод ренормализационной группы (РГ) широко используется в настоящее время при изучении фазовых переходов II рода и критических явлений.Он позволяет обосновать критический скейлинг и дает возможность построениярегулярных разложений критических показателей в форме рядов по формально малому параметру ε – отклонению размерности пространства от ее критического значения.
Основной технической задачей при таком подходе являетсявычисление диаграмм Фейнмана, определяющих так называемые РГ-функции.В задачах критической динамики такой расчет сопряжен со значительно большими трудностями, чем в задачах статики, поэтому продвинуться в старшиепорядки теории возмущений весьма сложно. В то же время такое продвижениенеобходимо для корректного определения критических показателей, посколькуряды теории возмущений являются асимптотическими и их надо суммироватьпо Борелю.Модель А критической динамики (по терминологии обзоров [1], [2]), рассматриваемая в настоящей работе, является в некотором смысле простейшей,и на ней удобно отрабатывать технические приемы расчета многопетлевых динамических диаграмм.С другой стороны, сегодня наблюдается существенный интерес к релаксационным процессам в различных материалах, описываемых моделью А. Этоотносится как к традиционным для данной модели системам типа ферромагнетиков [3], так и к новым материалам, попадающим в тот же класс универсальности [4], [5].
В связи с этим получение надежных количественных результатовдля данной модели является весьма актуальным.Степень разработанности темы исследования.Применение метода ренормализационной группы к задачам критическойдинамики сталкивается со значительно большими трудностями по сравнениюс задачами критической статики. Полученные здесь аналитические результаты ограничиваются в лучшем случае третьим порядком теории возмущений,тогда как в статической теории ϕ4 в настоящее время достигнут шестипетлевой результат [6, 7, 8], а для аномальной размерности поля – семипетлевой [9].Заметное отставание имеет место и в численных расчетах, в которых методразделения на сектора (Sector Decomposition) при расчете диаграмм Фейнмана5[10] оказался весьма эффективным в задачах критической статики (5 петель втеории ϕ4 [11]), в то время как в задачах критической динамики этот метод досих пор применялся лишь в двухпетлевом приближении [12].Применительно к А модели критической динамики метод ренормгруппы был впервые применен в работе [13], в которой динамический критическийиндекс z был рассчитан во втором порядке ε -разложения (первый порядоквклада не дает).
Отметим, что в этой же работе индекс z рассчитан в главномпорядке 1/n-разложения, где n – число компонент параметра порядка. Проведенный в работе [14] расчет третьего порядка по ε оказался ошибочным из-затехнической погрешности, хотя идейно был верным.
Правильный результат получен в работе [15]. Отметим, что в обзоре [1] цитируется ошибочный результатработы [14], в то время как в более позднем обзоре [2] приведен уже правильный результат работы [15]. Численный расчет индекса z в четвертом порядкеε-разложения проведен в работе [16]. Вычисления проводились в импульсномпредставлении, в котором трудно обеспечить высокую точность для диаграммсо сложной структурой подграфов. В результате погрешность расчета составила порядка 1%. В работе [17] на основе четырехпетлевого результата работы [16]проведено борелевское суммирование ε-разложения критического индекса z.Целью работы является высокоточное численное определение динамического критического индекса z A-модели критической динамики в четвертомпорядке теории возмущений.
Вычисления проводятся двумя методами, обобщающими соответствующие подходы в задачах критической статики: методомрасчета критических показателей без использования констант ренормировок,позволяющим избежать численного расчета сингулярных интегралов, и методом Sector Decomposition, который позволяет свести задачу к численному расчету вычетов при полюсах.Для этого решаются следующие задачи:1) Обобщить метод расчета ренормгрупповых функций без использованияконстант ренормировки на задачи критической динамики.2) Разработать метод записи фейнмановского представления для динамических диаграмм непосредственно по их внешнему виду, минуя импульсноепредставление.3) Обобщить метод “Sector Decomposition” на задачи критической динамики и вычислить с помощью этого метода динамический критический индексА-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний.64) Выполнить пересуммирование четырехпетлевого ε-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля.Научная новизна.
Сформулированные выше цели и задачи диссертацииявляются новыми. Все основные результаты диссертации получены впервые,что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах и апробацией на представительных международных конференциях.Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в широком классе моделей критической динамики, таких, как модель E, описывающая переход гелия в сверхтекучее состояние, модель H, описывающая критическую динамику в окрестностикритической точки жидкость-пар, задаче протекания и т.д.Методология и методы исследования. Методология диссертации основана на использовании теоретико-полевых методов – методе функционального интегрирования, диаграммной технике Фейнмана, теории ренормировоки ренормализационной группы, численного расчета диаграмм методом SectorDecomposition, методе борелевского суммировании расходящихся рядов.Положения, выносимые на защиту:1) Проведено обобщение метода расчета ренормгрупповых функций безиспользования констант ренормировок (“теория без расходимостей”) на задачи критической динамики.
Эффективность этого метода продемонстрированаренормгрупповым расчетом А-модели, описывающей эффект критического замедления в окрестности критической точки ферромагнетиков.2) Разработан метод построения представления Фейнмана диаграмм критической динамики непосредственно по виду диаграмм, минуя импульсное представление. Произведено обобщение этого метода на диаграммы “теории без расходимостей”.3) Выполнено обобщение метода разбиения на сектора при вычислениидиаграмм Фейнмана (“Sector Decomposition”) на задачи критической динамики.
С помощью этого метода произведен расчет динамического критическогоиндекса А-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний. Точность расчета на два порядка превышает достигнутую в работахпредшественников.4) Произведено суммирование четырехпетлевого ε-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля. Показано,7что учет параметра сильной связи существенно улучшает сходимость процедуры суммирования.Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных теоретико-полевых методов.
Результаты исследования,проведенного в диссертации, опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, докладывались на российских и международных конференциях. Такжерасчеты проверялись на сравнение с ранее полученными результатами другихавторов.Апробация работыРезультаты и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:“16th Small Triangle Meeting” (Ptičie, Slovakia, 2014),“The XX International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists”(Dubna, Russia, 2016),“42nd Conferences of the Middle European Cooperation in Statistical Physics”(Lyon, France, 2017).Список публикаций по теме диссертации.По теме диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus1. Л.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
