Диссертация (1149675), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Решение этого уравненияможно записать в матричной форме в виде разложения в ряд Тейлора[2][k]X = R0 + R1 X0 + R2 X0 + . . . + Rk X0 .(2.16)Управляющие поля E и B в уравнениях (2.15) в идеальном случае настраиваются таким образом, что частица с нулевыми пространственными координатамине совершает колебаний относительно опорной кривой. Таким образом, обычновектор R0 равен нулю, за исключением элемента R0 (3, 1) = t0 , который характеризует физическое время движения частицы в поле. Здесь и далее Rk (i, j)означает элемент матрицы Rk , стоящий на i-ой строке и в j-ом столбце.2.2.1 Моделирование динамики частицНа рис.

2.2 схематически изображено накопительное кольцо, состоящее изпоследовательности физических элементов. Управляющие элементы задаютсяполями E и B, динамика частиц в нем описывается системой уравнений (2.15).Каждый элемент также может быть описан матричным отображением M ={R0 , R1 , . . . , Rk } заданного порядка нелинейности.

Далее, не умаляя общности,будем полагать, что порядок отображения одинаков для всех элементов. Так, сматематической точки зрения, накопительное кольцо может быть описано последовательностью отображений M1 , M2 , . . . , MN , где N — общее число элементов. Начальный вектор состояния системы можно либо итеративно отобразитьчерез последовательность отображений41X1 = M1 ◦ X0 ,X2 = M2 ◦ X1 ,...X = MN ◦ XN −1 ,либо построить результирующее отображение M простой попарной последовательной конкатенацией X = MN ◦ MN −1 ◦ . . . M1 ◦ X0 = M ◦ X0 , которомусоответсвует общее решение (2.16), записанное в матричной форме.Рис. 2.2.

Схематическое представление накопительного кольцаВсю динамику ускорителя можно описать набором числовых матриц, каждаяиз которых отвечает заданному порядку нелинейности. Для того, чтобы «проинтегрировать» начальную частицу X0 , достаточно применить результирующееотображение M к этому вектору состояния. Следует иметь в виду, что, при необходимости, можно построить многооборотное отображение Mn = M ◦ Mn−1 .Кроме того, матричная форма отображения позволяет исследовать динамику сразу ансамбля частиц также в матричном виде[k][k][X1 , .

. . , Xw ] = R0 + R1 [X0,1 , . . . , X0,w ] + . . . + Rk [X0,1 , . . . , X0,w ],(2.17)где операции умножения матриц на вектора состояний заменяются на операцииперемножения соответствующих матриц.422.2.2 Вычисление характеристик пучкаМатрица R1 в отображении (2.16) отвечает матрице линейного преобразования. На основе линейного приближения строятся такие характеристики накопительного кольца, как бета-функция и дисперсия.Бета-функция носит смысл огибающей пучка частиц по одной из координат x или y. Далее будем рассматривать движение только в плоскости x − x′ .Для координат y − y ′ все выкладки аналогичны.

Построение бета-функции основано на анализе огибающей пучка, в общем виде которую можно представитьквадратичной формойγx20 + 2αx0 x′0 + βx′20 = 1,или в матричном виде  T xxγ α  0  = 1. 0 x′0x′0α βРассмотрим также линейную часть матричного отображения     xxxx ,  = R1  0  ,  0  = R−11x′0x′0x′x′где под матрицей R1 понимается матрица размерами 2 × 2, являющаяся срезом соответствующей полной матрицы, R−11 — ее обратная матрица. Подставляяотображение в уравнение для огибающей, получим выражение T ()T γ αxx−1    R−1= 1.R11′′xα βxДля определения бета-функции находят самосогласованный эллипс, переходящий в себя за оборот в накопительном кольце43( −1 )T γR1α( −1 )T γR1ααγ α R−1,=1βα β αγ α= R1 .βα β()TДля простоты обозначим матрицу R−1= {mi,j }2i,j=1 и R1 = {ni,j }2i,j=1 . Тогда,1расписав последнее соотношение поэлементно, получим m γ + m12 α m11 α + m12 βn γ + n21 α n12 γ + n22 α 11 −  11 = 0,m21 γ + m22 α m21 α + m22 βn11 α + n21 β n12 α + n22 β(m − n11 )γ + (m12 − n21 )α (m11 − n22 )α + m12 β − n12 γ 11 = 0.m21 γ + (m22 − n11 )α − n21 β (m21 − n12 )α + (m22 − n22 )βЕсли данная система уравнений разрешима и самосогласованная огибающая существует, то должны выполняться соотношенияn22 − m22β,m21 − n12(m12 − n21 )(m22 − n22 )γ=β.(m11 − n11 )(m21 − n12 )α=Вычислив коэффициенты эллипса α, β, γ, можно проследить динамику изменения огибающей при последовательном прохождении частиц через элементы.Обозначив матрицу самосогласованного эллипса как A0 , а линейные матрицыпоследовательных переходов как R1,1 , R1,2 , .

. . , получим−T−1−1A0 −→A1 = R−T1,1 A0 R1,1 −→A2 = R1,2 A1 R1,2 −→ . . .↓↓↓β0β1β2Функция βx (s), значения которой получены в дискретных точках s0 , s1 , s2 , . . .,отвечающих пройденному расстоянию вдоль опорной кривой, носит названиебета-функции по координате x.44Другой важной функцией, используемой при анализе структуры ускорителя,является дисперсия. Частица, обладающая некоторым отклонением в начальнойэнергии, начинает колебаться относительно новой замкнутой орбиты. Величинаотклонения новой орбиты по заданной координате (x или y) в каждой точкеускорителя, деленная на отклонение по энергии, называется дисперсией.Для вычисления функции дисперсии рассмотрим линеаризованное преобразование координат x, x′ , δp за полный оборот   xa a ax   11 12 13   0  ′   x  = a21 a22 a23   x′0  ,   δp0 0 1δp0где δp = (p − p0 )/p0 .

Данное преобразование приводит к системе уравненийx = a11 x0 + a12 x′0 + a13 δp0 ,y = a21 x0 + a22 x′0 + a23 δp0 .Учитывая условие замкнутости орбиты x = x0 , y = y0 получим(1 − a11 )x0 − a12 x′0 = a13 δp0 ,−a21 x0 + (1 − a22 )x′0 = a23 δp0 .Если решение этой системы существует, оно может быть записано в виде−1    Dδp01 − a11 −a12ax.  13  δp0 =  0 = ′′D δp0−a21 1 − a22a23x0Функция D, входящая в решение последнего уравнения, называется дисперсией и вычисляется по описанному алгоритму в каждой точке ускорителя или, вслучае применения отображений, в конце каждого элемента.Также важно знать такие характеристики ускорителя, как коэффициент удлинения орбиты (α) и коэффициент, характеризующий увеличение времени движе-45ния частицы по отношению к изменению начального импульса.

Для вычислениякоэффициента удлинения орбиты система уравнений (2.15) дополняется уравнением L′ = H, где L — длина пройденного пути. Решение этого уравнения ввиде разложения в ряд Тейлора запишется как L = L0 + kδp, из которого сразуследует α = k/L0 .Заключение к главе. Приведен вывод нелинейных уравнений, описывающихспин-орбитальную динамику частиц в сопутствующей системе координат.

Рассмотрены уравнения движения для случая плоской кривой с кусочно-постояннойкривизной. Траекторные уравнения представлены в канонических координатах,что, с одной стороны, привело к искусственному усложнению аналитическойформы записи, но с другой — к последующей возможности эффективной реализации модели в программном коде. Представлены основные идеи применениянелинейного матричного подхода для моделирования динамики частиц. Разработаны алгоритмы, позволяющие оценивать характеристики пучка на основе матричной записи.

Результаты главы отражены в работах [11, 65, 67, 72] и решаютзадачу 1, а также используются как составная часть при решении задачи 3. Работы [65, 67] выполнены полностью усилиями автора, а в статье [11] проведенаосновная часть исследования. При подготовке публикации [72] автор участвовалв обсуждениях и формализации уравнений динамики спина.463 Численная реализация матричногоинтегрированияПод численной реализацией матричного интегрирования понимается алгоритм, в котором для оценки отображения используются численные пошаговыеметоды.

В сравнении с символьными вычислениями такой подход позволяет унифицировать процесс построения отображения для произвольной системы уравнений, хотя и требует большего времени на пересчет элементов матриц.3.1 Построение метода и вывод уравненийРассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравненийdX = F(t, X),dt(3.1)где X = (x1 x2 . . . xn ) — вектор состояния системы размерности n, а векторнаяфункция F является аналитической в окрестности X = 0 и измеримой по t наинтервале интегрирования.

При введенных предположениях, эта функция можетбыть разложена в ряд Тейлора по переменным x1 , x2 . . . xn вплоть до заданногопорядка нелинейности p. Такое разложение удобно представить в виде матричного представления ряда ТейлораdX = P0 (t) + P1 (t)X + P2 (t)X[2] + . . . + Pp (t)X[p] ,dt(3.2)где под X[k] понимается k-ая кронекеровская степень вектора X с учетом редуцирования пространства. Данный вектор состоит из мономов порядка k, запи-47санных в лексикографическом порядке. Например, для случая двух переменныхискомый вектор можно получить, руководствуясь следующим механизмом:2     [2]x1x x xx x1  1  ⊗  1  =  1 2  −→ ,=xx12x2 x1 x2x2x2x22x22x21где под операцией ⊗ понимается кронекеровское произведение матриц. Элементы матриц Pi , i = 1 . .

. p, в общем случае, зависят от времени. Однако длястационарных систем Pi представляют собой числовые матрицы с постоянными коэффициентами. Если система (3.1) нестационарна, то элементы матрицPi могут являться произвольными нелинейными функциями времени. При этомразложимость этих функций в ряд по t не требуется.Решение задачи Коши для уравнения (3.1) с начальным условием X(0) = X0внутри своей области сходимости будем искать в виде разложения в ряд Тейлорадо заданного порядка k[2][k]X(t) = R0 (t) + R1 (t)X0 + R2 (t)X0 + . . . + Rk (t)X0 .(3.3)Заметим, что в случае стационарных систем матрицы Rj , j = 1 . .

. k зависяттолько от величины интервала интегрирования. Коэффициенты матриц будут являться постоянными вещественными числами.Динамику изменения элементов матриц Rj во времени можно описать в видесистемы ОДУ. Решая такую систему каким-либо пошаговым методом интегрирования (например, методами Рунге – Кутты) можно получить численную оценкуматричного отображения. Вектором состояния для такой системы будет являтьсяпоследовательность матриц R0 (t), R1 (t), R2 (t), . .

Характеристики

Список файлов диссертации