Диссертация (1149675), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В заключительном этапе решение преобразуется обратно в изначальное пространство. Преобразование между группами Ли и их алгебрамиобычно описывается хронологически упорядоченной экспонентой.12Известной сложностью и является оценка этой экспоненты. Обычно онапредставляется в виде степенного ряда (как и в случае теории линейных систем). Точный вид этого экспоненциального отображения может быть найденлибо в случае наличия специальных свойств симметрии системы, либо в упрощенных или модельных задачах. Например, Магнусом была приведена формула,позволяющая вычислять его для линейных уравнений, заданных на группе Ли.В случае, если гамильтониан системы представим в виде суммы однородных полиномов, каждый из которых допускает нахождение точного отображения, то ився система оказывается интегрируемой [102].
В статье [107] описывается применение разложения решения в ряд на основе оператора Ли применительно к хаотическим системам, рассматриваются частные примеры и понятия сохраненияпервых интегралов и динамического интегрирования. В книге [95] представлена«алгоритмическая теория Ли». Автор монографии отмечает, что, хотя в рамкахтеории Ли описывается возможность решения дифференциального уравнения вобщем виде, вычисления, необходимые для построения отображения, могут содержать достаточно большое количество операций, и алгоритм по сложностистанет сопоставим с пошаговым интегрированием.Новые работы и исследования, посвященные применению теории Ли, появляются и в настоящее время. Развитие компьютерных технологий позволилозаниматься задачами, требующими детального анализа сложных систем.
Увеличиваются размерности и порядки уравнений, что требует развития соответствующих численных методов интегрирования. Кроме того, теория Ли допускает достаточно широкое обощение. Среди «неклассических» ее применений в первуюочередь можно отметить работы Блюмана и Кола [39], методы дифференциальных ограничений [88, 89, 92], введение в приближенные симметрии [33, 62],обобщенные симметрии [87], эквивалентные преобразования [40] и нелокальные симметрии [41, 87]. В течение последних нескольких десятилетий отмечается возрастание интереса к теории групп Ли. Значительные результаты в этойобласти достигнуты как в теоретических исследованиях [43], так и в прикладныхзадачах [61, 81, 114].13В рамках данной работы для решения указанных задач используется метод интегрирования систем ОДУ, основанный на построении нелинейного матричного отображения.
Такой подход позволяет оценивать отображение, переводящее множество начальных состояний системы в конечное и соответствующее полному обороту частиц в накопительном кольце. Теоретические основыматричного формализма для интегрирования систем ОДУ заложены в работах[3, 22, 23, 25, 27] и основаны на построении нелинейного отображения Ли дозаданного порядка нелинейности.
Там же приведены оценки сходимости метода.В указанных работах алгоритм матричной формализации и представления оператора Ли предлагается строить в символьном виде. В данном диссертационномисследовании акцент делается на численной реализации описанного подхода,приведен алгоритм построение такого метода и примеры его использования.Целью работы является построение математических моделей, численногометода и программного инструментария для моделирования спин-орбитальноговзаимодействия. Разработанный инструментарий применяется для исследованиядинамики заряженных частиц и анализа электростатического кольца. Для достижения указанной цели необходимо решить ряд задач.1. Построение математической модели спин-орбитального взаимодействия заряженных частиц на основе системного анализа особенностей электростатических управляющих полей.2.
Разработка численного метода решения систем ОДУ, основанного на построении нелинейного матричного отображения.3. Реализация интегрированной проблемно-ориентированной среды моделирования спин-орбитальной динамики заряженных частиц в виде программного инструментария для проведения вычислительного эксперимента, поддержки процесса принятия решений и оптимизации накопительных колец.4. Анализ подсистем электростатического накопительного кольца и разработка методов синтеза оптимальной структуры, минимизирующей аберрацииспина.14Диссертация состоит из 5 глав и заключения.
Введение описывает актуальность рассматриваемых проблем и возможные направления их решения. Такжеприводится обзор численных методов и программных средств, применяемых вданной предметной области. Глава «Постановка задачи» содержит описаниеприменяемых физико-математических моделей и разбита на три параграфа, посвященных вопросам моделирования, использования численных методов и формализации требований, накладываемых на разрабатываемые программные средства. Вторая глава диссертации отражает построение математической модели предметной области. Спин-орбитальное взаимодействие описывается в виденелинейной системы ОДУ, для изучения которой применяется численный методинтегрирования. Данный метод основан на построении нелинейного матричного отображения, реализация которого рассмотрена в третьей главе. Здесь такжеприведены результаты тестирования построенного численного метода на хорошоизученных модельных задачах. В четвертой главе описываются разработанныепрограммные инструменты и построенная среда компьютерного моделирования.Приводится сравнение работы программы с другими пакетами численного моделирования.
Также представлено сопоставление с экспериментальными данными. В пятой главе исследуется прецессия спина в электростатических полях иприводятся результаты моделирования краевых полей и влияния мультипольныхсоставляющих. Проводится анализ электростатического кольца, ставится и решается задача оптимизации спиновых аберраций. В заключении приведены результаты, выносимые на защиту, а также указаны направления дальнейшего развития исследования. Справочная информация, применяемая в ходе проведенияисследования, примеры использования разработанных программных библиотеки экспериментальные данные приведены в приложениях.151 Постановка задачиДанная глава посвящена вопросам физико-математического моделирования взадаче спин-орбитального взаимодействия заряженных частиц.
Приводится общее описание численных методов интегрирования дифференциальных уравнений, а также требования к средствам компьютерного моделирования, применяемым в исследовании.1.1 Спин-орбитальная динамика частиц в электромагнитныхполяхВ параграфе представлено описание физической модели движения частиц вэлектромагнитных полях в обозначениях, используемых в [17]. Там же могутбыть найдены подробные выводы приведенных соотношений.
Спиновая динамика описана в терминах работы [34].1.1.1 Орбитальное движение частицПод орбитальным движением будем понимать изменение пространственныхкоординат частицы, движущейся в электромагнитном поле, с течением времени.Электромагнитные поля описываются векторами напряженности электрическогополя E и магнитной индукции B. Законы электромагнетизма в наиболее простомвиде формулируются в виде уравнений Максвела [6, 93]div E = ρ/ε0 , rot E = −∂B/∂t,div B = 0, rot B =1 ∂E+ µ0 J,c2 ∂t16где ρ — суммарная плотность заряда, J — вектор суммарной плотности тока, ε0 иµ0 — электрическая и магнитная постоянные, c — скорость света.
Если заряды итоки не изменяются во времени, то эти уравнения упрощаются и преобразуютсяк виду rot E = 0, rot B = µ0 J. В случае статических полей электрические имагнитные компоненты независимы друг от друга, а величину электрическойнапряженности поля можно определить через скалярный потенциал uE = −grad u.(1.1)Подставляя это выражение в первое из уравнений Максвелла, можно получитьуравнение Пуассона div grad u = ρ/ε0 , при ρ = 0 носящее название уравненияЛапласа и в обобщенных ортогональных криволинейных системах координатпринимающее вид1 ∑ ∂div grad u =h1 h2 h3 i=1 ∂qi3(h1 h2 h3 ∂uh2i ∂qi),(1.2)где q1 , q2 , q3 — обобщенные криволинейные координаты, h1 , h2 , h3 — метрические координаты Ламе [2], характеризующие конкретную систему координат, апотенциал u есть скалярная функция координат u = u(q1 , q2 , q3 ).
Далее под переменной q3 = q3 (t) будем понимать независимую координату, меняющуюся вфизическом времени, две другие координаты будем рассматривать как функцииq1 = q1 (q3 ), q2 = q2 (q3 ). В случае сопутствующей системы координат, котораяобычно применяется в моделировании динамики заряженных частиц [15, 17, 19],в качестве независимой координаты выступает длина пути s, пройденного частицей вдоль опорной кривой.На частицу с зарядом q, движущуюся в электромагнитном поле со скоростьюv, действует сила Лоренца. Уравнение движение при этом запишется в видеdp = q(E + v × B),dt(1.3)17где p = m0 γv — импульс частицы, m0 — масса покоя. Коэффициент γ носитназвание фактора Лоренца и равен γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 .
Здесь и далее под vпонимается модуль скорости частицы.Следуя лагранжевому формализму (полный вывод уравнений приведен в [17]),соотношение (1.3) можно записать покоординатно в произвольной ортогональной криволинейной системе. Уравнения движения запишутся в видеdpi+dt(q̇i ∂hiq̇i+1 ∂hi+1−hi+1 ∂qi+1hi ∂qi)(pi+1 +q̇i ∂hiq̇i+2 ∂hi+2−hi+2 ∂qi+2hi ∂qi)pi+2 =(1.4)= q(Ei + hi+1 q̇i+1 Bi+2 − hi+2 q̇i+2 Bi+1 ), i = 1, 2, 3,где подразумевается, что индексы меняются циклически (q4 = q1 , q5 = q2 ), аоператор « · » обозначает дифференцирование по времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
