Диссертация (1149675), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме того, косвенный7характер измерения ЭДМ сигнала, а также требование предварительного анализа поведения спина, приводят к необходимости создания компьютерной модели, обеспечивающей заданный уровень вычислительной точности и приемлемую производительность. Отсюда следует неизбежность применения численныхметодов, с одой стороны, отражающих предметную область, а с другой, ложащиеся на архитектуру параллельных и высокопроизводительных технологий. Такиефизические свойства рассматриваемых систем, как, например, симплектичностьи сохранение полной энергии, должны учитываться не только на этапе математического моделирования, но и отображаться в численных алгоритмах.Важнейшим свойством гамильтоновых систем, которыми описывается спинорбитальное взаимодействие частиц [55], является симплектичность движения,математическая интерпретация которого приведена, например, в [13, 110].
Применительно к длительной динамике частиц это условие может рассматриватьсякак требование сохранения фазового пространства и отсутствие наведенных вычислительных ошибок, приводящих к искусственной диссипации частиц. Первые работы, посвященные рассмотрению вопросов симплектичного интегрирования гамильтоновых систем относятся к авторствам Рута (1983) и Фенг Канга(1985). В качестве классических по данной тематике работ следует также выделить книги Санз-Серна и Кальво [94], Лаймкулера и Райха [75]. Первые исследования, посвященные симплектификации семейства методов Рунге – Кутты,датируются 1988 годом, когда независимо друг от друга симплектические схемы 4-го порядка построили Лазагни и Санз-Серна. Йошида расширил данныйподход [115] и предложил элегантное решение, позволяющее строить симплектические схемы высокого порядка в общем виде.В области симплектификации отображений, описывающих решение гамльтоновых систем, также существует несколько подходов.
Так как такие отображения обычно описываются усеченными рядами Тейлора, задача симплектификации состоит в преобразовании коэффициентов этого разложения к новому виду,который уже удовлетворяет условию симплектичности. Основы таких подходовзаложены в работах Драгта, Дугласа и Нери, использующих, так называемую,8фактаризацию Драгта-Вина [52]. Впервые этот метод был применен для симплектификации отображений, основанных на модели рядов Тейлора, Дугласоми Форестом [49]. В настоящее время существует два основных подхода в симплектификации отображений. Первый основан на применении методов факторизации.
Здесь следует выделить симплектификацию Гремона [20], полиномиальную [101] и мономиальную [60] факторизации. Второй подход представляетсобой применение производящих функций [100], основанных на вычислениисмешанных произведений канонических переменных.Следует иметь в виду, что традиционные пошаговые методы интегрированиядинамических систем [1, 7] при решении указанных проблем неприменимы.
Вопервых, они не обеспечивают приемлемое время вычислений. Во-вторых, глобальная ошибка таких методов растет с каждым шагом интегрирования, а числонеобходимых шагов для одной частицы оценивается величиной 1012 . Кроме того,на таких длительных временных интервалах решающим фактором является сохранение физических свойств рассматриваемой системы. В физике частиц это,в основном, условие симплектичности, которое возникает в силу гамильтонового характера уравнений спин-орбитального взаимодействия. Существующиесимплектические методы пошагового интегрирования описываются неявнымисхемами [44, 86, 110], что в разы увеличивает вычислительное время.Решением указанной проблемы является использование методов интегрирования систем ОДУ, основанных на построении отображения.
Такие подходы позволяют описывать динамику системы сразу за исследуемый интервал времени(под временем, если не указано явно, понимается независимая переменная). Динамическая система в этом случае описывается в нотации «черного ящика», навход которого подается начальное состояние системы, а на выходе получаетсяконечный результат.
Внутренние состояния эволюции при этом остаются неизвестными и, в отличии от пошаговых методов, не требуют числовых оценок.Данная особенность позволяет заметно сократить время, затраченное на вычисление интересующих состояний системы, и, тем самым, повысить производительность численного метода.9Все методы построения отображения так или иначе основаны на моделяхТейлора, когда искомое решение раскладывается в ряд до заданного порядканелинейности. К основополагающим вопросам здесь относят точность и способвычисления коэффициентов этого разложения. Вопросы точности разложениярассматриваются в серии работ, носящих теоретически-доказательный характер(см., например, [20, 28]).
Вычисление же искомых коэффициентов ведется в соответствии с различными методами численного анализа. Одним из наиболее широко применяемых подходов является дифференциальная алгебра [14, 37], заменяющая вычисления производных по разностным схемам на алгебраические соотношения. На сегодняшний момент существует ряд пакетов, реализующих данную концепцию. Из них следует особо выделить набор программ COSY Infinity[46], который является мощным пакетом, позволяющим строить отображение наоснове дифференциальной алгебры [35, 36]. К его недостаткам следует отнестисложность в освоении программы, которая навязывает исследователям собственный язык программирования, и не всегда прозрачные математические модели,используемые при описании предметной области. В COSY Infinity существует набор библиотек-расширений, позволяющий моделировать спин-орбитальноевзаимодействие частиц.
Однако его использование ограничивается встроенными физическими элементами (предопределенные распределения электромагнитных полей). Написание собственных расширений затруднено. В работах [42, 85]описаны библиотеки численного моделирования динамики заряженных частиц,также использующие в своей основе идеи дифференциальной алгебры. Такиепакеты программ носят, как правило, узкоспециализированный характер, и немогут быть применены для проведения исследований, осуществляемых в данной диссертация, без существенных модификаций.Общим недостатком указанных программных решений является тот факт, чтовсе они используют аппарат дифференциальной алгебры в концепции тензорных операций.
Тензорная алгебра, в свою очередь, плохо распараллеливается,что усложняет реализацию алгоритмов на параллельных вычислительных структурах. Строго говоря, такие подходы позволяют распределять вычислительные10задачи только по начальным данным и не обладают свойствам внутренней параллельности алгоритма.Теоретической основой других подходов, также относящихся к современным численных методам интегрирования ОДУ, является применение моделейТейлора при построении отображения Ли.
Впервые теория непрерывных группЛи для решения дифференциальных уравнений была применена Алексом Драктом [50, 51], профессором университета Мэрилэнд. Им была написана программа MARYLIE, предназначенная для проектирования и моделирования ускорителей заряженных частиц. В европейской организации по ядерным исследованиям(CERN) была разработана программа MAD для моделирования динамики частицв магнитной оптике. Данная программа использует подмодуль TRANSPORT, написанный К.
Брауном, для построения отображения второго порядка нелинейности и собственную реализацию для четвёртого порядка нелинейности, основанную на построении отображения Ли.Работы Г. Биркова [38] и Л. Седова [96] также посвящены применению теории групп Ли, но в приложениях к конкретным задачам. Начиная с 1960-х годовпод руководством Л. В. Овсянникова начинает активно развиваться российскаяшкола, которая исследует вопросы применения методов симметрии для анализадифференциаьных уравнений и построения решения в общем виде для произвольных систем [91], в частности, для задач математической физики.Из российских исследователей, развивающих методы Ли для решения дифференциальных уравнений также следует отметить профессора С. Н.
Андрианова. Он предложил матричную формализацию [24, 26] решения обыкновенныхдифференцтальных уравнений, основанную на отображении Ли. Все операциив данном случае предлагается производить в матричном виде, что существенносокращает время расчетов при использовании парадигм параллельного программирования и символьных вычислений. В работе [25] рассматривается алгоритмпошаговой симплектификации матричного отображения, который предоставляет гибкий механизм корректировки коэффициентов разложения независимо длякаждого из порядков нелинейности.11В работах [9, 11, 64] рассматривается численная реализация матричного формализма, основная идея которого заключается в замене произвольной системыобыкновенных дифференциальных уравнений новой системой, записанной относительно коэффициентов матричного разложения.
Данное разложение предоставляет оценку общего решения в матричном виде. Достоинством такого подхода является универсальность метода, который может быть построен на основелюбого пошагового метода интегрирования. К недостаткам можно отнести значительный рост времени вычисления коэффициентов отображения при повышении порядка нелинейности. Однако данный недостаток может быть скомпенсирован в ряде задач за счет уменьшения времени, затраченного непосредственнона вычисление решения по уже построенному отображению.Кроуч и Гроссмен в 1993 году предложили подход, основанный на идеи,схожей со схемами Рунге – Кутта.
Прямое применение теории групп Ли к классическим схемам невозможно в виду того, что каждый шаг итерации может выходить за пределы рассматриваемой группы. В работе [47] приведено решениеэтой проблемы посредством введения специальной группы Ли. Этот подход также, как и в случае методов Рунге – Кутта, допускает расширение на неявныесхемы интегрирования.В период с 1995 по 1999 года была издана серия статей [82, 83] профессора Мунте-Каас, где предлагается метод интегрирования, также основанный насхемах Рунге – Кутта.
Отметим, что группы Ли не образуют линейного пространства, однако его образуют алгебры Ли. На этой идее и основано различиемежду подходами, предлагаемыми Кроучем и Гроссменом и Мунте-Каасом. Последний предлагает следующие шаги решения. Во-первых, обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в терминах пространства непрерывныхгрупп Ли. После этого строятся соответствующие уравнения на вновь введеннойалгебре Ли, где для их решения используются классические пошаговые методыинтегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
