Диссертация (1149675), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Под произвольным электромагнитным полем понимается поле, описываемое элементарнымифункциями, которые, в свою очередь, допускают разложение в ряд Тейлора вокрестности нуля по пространственным координатам.Заключение к главе. Рассмотрены базовые уравнения спин-орбитального движения заряженных частиц в криволинейных системах координат. Данные уравнения используются для построения математической модели динамики частиц,удовлетворяющей целям исследования.

Указаны основные идеи и приведеносравнение численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Также представлен анализ требований к программномуобеспечению, которыми должны обладать разрабатываемая среда моделированияспин-орбитального взаимодействия.332 Математическое моделированиеспин-орбитальной динамикиВ главе представлен вывод уравнений, описывающих спин-орбитальную динамику частиц в канонических координатах. Выбор системы координат обусловлен как физической постановкой задачи, так и удобством реализации уравненийв программном коде. Первый параграф посвящен уравнениям динамики. Во втором параграфе осуществляется вывод уравнений, применяемых при численноманализе характеристик пучка.2.1 Траекторные уравнения динамики частицУравнения (1.7) описывают траекторную динамику частиц в произвольныхортогональных криволинейных координатах.

При моделировании динамики частиц используется сопутствующая система координат. Движение в ней рассматривается вдоль некоторой траектории заранее выбранной частицы (референсчастицы). В качестве такой опорной кривой обычно выбирается либо прямаялиния, либо дуга окружности. Выбор опорной кривой связан с видом симметрии поля. Референс-частица в соответствующей криволинейной системе координат описывается стационарной точкой. В случае согласованного канала и отсутствия возмущений (например, ошибки задания поля, краевые поля) даннаястационарная точка лежит в начале координат. В общем случае стационарнаяточка представляет собой состояние с ненулевыми координатами, которое переходит само в себя за полный оборот в накопительном кольце.342.1.1 Вывод уравнений для сопутствующей системы координатСлучай декартовой прямоугольной системы координат тривиален, все коэффициенты Ламе равняются единице, а уравнения движения принимают вид)1/2 ((v22222(1 − 2 )(1 + x′ + y ′ )(1 + x′ + y ′ )1/2 (Ex − x′ Ez )/v−c)′ ′′2−(1 + x )By + y (x Bx + Bs ) ,(2.1)()1/2 (2qv2222y ′′ =(1 − 2 )(1 + x′ + y ′ )(1 + x′ + y ′ )1/2 (Ey − y ′ Ez )/vm0 vc)′2′ ′−(1 + y )Bx + x (y By + Bs ) .qx′′ =m0 vПри движении вдоль дуги окружности уравнения принимают более сложный характер.

Выведем сначала формулы преобразования между неподвижной декартовой и криволинейной системами координа. Оси x и y направим вдоль нормалии бинормали в точке окружности, s — длина дуги окружности. Будем считать,что в момент s = 0 декартова и указанная криволинейная системы координатсовпадают и x > −R.Рис. 2.1. Движение вдоль дуги окружностиВ введенных обозначениях (см. рис. 2.1), преобразование координат запишется соотношениями x̂ = −R + (R + x) cos(s/R), ŷ = y, ẑ = (R + x) sin(s/R),из которых следует выполнение условия ортогональности35∂ x̂ ∂ x̂ ∂ ŷ ∂ ŷ ∂ ẑ ∂ ẑ++= 0 + 0 + 0 ≡ 0,∂x ∂s ∂x ∂s ∂x ∂s∂ x̂ ∂ x̂ ∂ ŷ ∂ ŷ ∂ ẑ ∂ ẑ++= 0 + 0 + 0 ≡ 0,∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂yR+yss∂ x̂ ∂ x̂ ∂ ŷ ∂ ŷ ∂ ẑ ∂ ẑ++=0−cos sin +∂y ∂s ∂y ∂s ∂y ∂sRRRssR+y+cos sin ≡ 0,RRRи значения коэффициентов Ламеhx = hy = 1,xhs = 1 + .R(2.2)С целью обобщения выводимых соотношений на случай произвольной плоской кривой введем в рассмотрение функциюhs (x) =1,при движении вдоль прямой,1 + κx, при движении вдоль дуги окружности.(2.3)Используя выражения (1.8) и учитывая, что ∂hs (x)/∂x = κ и ∂hs (x)/∂s = κx′ ,можно записать функции H и D в следующем виде()1/2H = x′2 + y ′2 + h2s,qγvD=(x′ By − y ′ Bx + HEs /v) −3κx′ ,m0 hsHhsи окончательно обобщить уравнения (2.1) на случай орбитального движениявдоль плоской кривой()HD ′qHHEx′x =−x ++ y Bs − hs By + κhs ,γvm0 γvv()HDqHHEyy ′′ = −y′ ++ hs Bx − x′ Bs .γvm0 γvv′′(2.4)362.1.2 Преобразование к каноническим переменнымУравнения (2.4) описывают орбитальную динамику в терминах обобщенныхкоординат x, y и скоростей x′ , y ′ .

При моделировании динамики частиц вместоскоростей обычно используют проекции импульса px и py , которые входят в канонически сопряженные пары координат. Более того, неудобство использованияуравнений (2.4) заключается в том, что величина модуля скорости v, входящего в уравнения явно, представляет собой функцию пространственных координат v = v(x, y, s) и должна постоянно пересчитываться в соответствии с законом сохранения энергии (1.9). Ниже представлен вывод уравнений орбитального движения частиц в 6-мерном фазовом пространстве x, y, t, px , py , W , где под tпонимается физическое время движения частицы в поле, а W равняется ее кинетической энергии.

Данные координаты представляют собой пары каноническисопряженных координат P = {x, y, t}, Q = {px , py , W }, а полученные уравненияимеют вид, удобный для последующего интегрирования в нелинейном матричном представлении.Воспользовавшись (1.6), запишем проекции импульсов на оси криволинейной системы координат (2.2), движущейся вдоль плоской кривой (2.3),m0 γvpx = √x′ ,′2′22x + y + hspy = √m0 γvy′,′2′22x + y + hs(2.5)из которых с очевидностью следует соотношение px y ′ = py x′ .Выражая из последнего равенства y ′ = x′ py /px и подставляя его в первое изуравнений (2.5), исключим зависимость импульса частицы px от скорости y ′px = √m0 γvx′2 + x′2 p2y /p2x + h2sx′ .Полученное уравнение может быть разрешено относительно x′ . Для этого возведем в квадрат обе его части и приведем подобные слагаемые372 ′2(m0 γv) x =x′2 =p2′2 y+ x 2 + h2s ),px2 2px h s.(m0 γv)2 − p2x − p2yp2x (x′2Учитывая теперь сонаправленность векторов скорости и импульса и тот факт,что знаменатель (m0 γv)2 − p2x − p2y = p2s всегда положителен, получимpx h sx′ = √(m0γv)2−p2x−.(2.6)p2yАналогичные выкладки, проведенные для скорости y ′ , приводят к выражениюpy hsy′ = √(m0γv)2−p2x−.(2.7)p2yПоскольку дальнейшие рассуждения одинаковы для проекций импульса наоси x и y с точностью до обозначений, введем в рассмотрение переменнуюξ ∈ {x, y}.

Тогда производная проекции импульса на ось ξ, задаваемой соотношениями (2.5), будет равнаp′ξm0 γv ′ ξ ′ m0 γ ′ vξ ′ m0 γvξ ′′1=+++ m0 γvξ ′ (− )H −3 (2x′ x′′ + 2y ′ y ′′ + 2hs h′s ).HHH2Используя опять соотношения (2.5), получимp′ξ(= pξv′ γ ′−vγ)ξ ′′+ m0 γv − pξH(px x′′py y ′′ hs h′s++ 2m0 γv H m0 γv HH).(2.8)Следует иметь в виду, что в этом уравнении pξ является функцией толькоканонических координат x, y, t, px , py , W .

Величины x′′ и y ′′ задаются выражениями (2.4), x′ и y ′ — фомулами (2.6 – 2.7). Функция H естьH=√x′2 + y ′2 + h2s =m0 γvx′m0 γvhs=√.px222(m0 γv) − px − py(2.9)38Покажем теперь, что величины v, γ, v ′ , γ ′ , входящие в уравнения (2.8), такжеявляются функциями канонических координат. Из формулы для кинетическойэнергии релятивистской частицыW = m0 γc2 − m0 c2 ,(2.10)сразу следуют выражения для фактора Лоренца и его производнойγ=W + m0 c2,m0 c2γ′ =W′.m0 c2(2.11)С другой стороны, кинетическая энергия задается через закон сохранения полной энергии, в дифференциальной форме, принимающей видW ′ = −qu′ (x, y, s) = q(Ex x′ + Ey y ′ + Es ).(2.12)Рассмотрим теперь выражения для скорости частицы v и ее производной v ′ .Из соотношения (2.10) следует, что√cv=W 2 + 2W m0 c2 ,W + m0 c2(2.13)а ее производная может быть найдена какc1(W 2 + 2W m0 c2 )−1/2 (2W W ′ + 2W ′ m0 c2 )+2W + m0 c 2√+ c W 2 + 2W m0 c2 (−1)(W + m0 c2 )−2 W ′ =()−1√′2 22 222= cW (m0 c ) (W + m0 c ) W + 2W m0 c.v′ =(2.14)Уравнения (1.5), (2.6 – 2.8), (2.12) задают систему ОДУ орбитального движения в сопутствующей системе координат, а вместе с уравнением T – БМТописывают спин-орбитальную динамику заряженной частицы39px h sx′ = √,222(m0 γv) − px − pypy h sy′ = √,222(m0 γv) − px − pyt′ =H,v ()()x′′py y ′′ hs h′sv′ γ ′px x′′= px−+ m0 γv − px++ 2 ,vγHm0 γv H m0 γv HH)()( ′′′′′′′′′γyxpyhhvpxys−+ m0 γv − py++ 2sp′y = pyvγHm0 γv H m0 γv HHp′xW ′ = −qu′ (x, y, s) = q(Ex x′ + Ey y ′ + Es ),H(′(k1 (By Ss − Bs Sy ) + k2 (py Ss − ps Sy )+Sx = κSs +v())+ k3 (ps Ex − px Es )Ss − (px Ey − py Ex )Sy ,H(′Sy =(k1 (Bs Sx − Bx Ss ) + k2 (ps Sx − px Ss )+v())+ k3 (px Ey − py Ex )Sx − (py Es − ps Ey )Ss ,H(′Ss = −κSx +(k1 (Bx Sy − By Sx ) + k2 (px Sy − py Sx )+v())+ k3 (py Es − ps Ey )Sy − (ps Ex − px Es )Sx ,(2.15)где величины x′′ и y ′′ задаются выражениями (2.4), функция H описываетсясоотношением (2.9), γ и γ ′ определяются формулами (2.11), скорость v частицыи ее производная v ′ вычисляются через кинетическую энергию (2.12) – (2.14),−q(1 + γG),m0 γqG(Bx px + By py + Bs ps ),k2 = 3 2m0 c γ 1 + γq (1 )k3 = 2 2 G +.m0 c γ1+γk1 =402.2 Матричное интегрирование дифференциальных уравненийУравнения (2.15) представляют собой нелинейную систему ОДУdX = F(s, X)dsс вектором состояния X = (x, y, t, px , py , W, Sx , Sy , Ss ).

Характеристики

Список файлов диссертации