Диссертация (1149675), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Уравнения (1.4) описывают изменение криволинейных координат частицы с течением времени. Приисследовании динамики частиц удобнее использовать запись уравнений, описывающих траекторию в явном виде q1 = q1 (q3 ), q2 = q2 (q3 ). Для осуществлениятакого перехода следует операцию дифференцирования по времени заменить надифференцирование по выбранной координате d(·)/dt = d(·)q̇3 /dq3 ≡ (·)′ q̇3 .Вывод такого преобразования несложно осуществить, используя соотношение для элементарной длины пути в криволинейной системе координатdvd= 2 ′2.′dt (h1 q1 + h22 q22 + h23 )1/2 dq3(1.5)Проекции импульса теперь запишутся в видеpi = hi m0 γ q̇i = him0 γvqi′ .′22221/2(h1 q1 + h2 q2 + h3 )′2(1.6)Подставляя соотношение (1.5) в уравнения (1.4) каждый раз, когда появляетсядифференцирование по времени, можно получить итоговые выражения для траекторных уравнений18(∂h1 h2 q2′ ∂h2∂h1 ′ 2∂h1q1′′ + γ −1 (HD/v)q1′ + q2′ (2q1′−)+q1 + 2q1′−∂q2h1 ∂q1∂q1∂q3)h3 ∂h3qH−/h1 =(HE1 /v + h2 q2′ B3 − h3 B2 ),h1 ∂q1h1 m0 γv(∂h2 h1 q1′ ∂h1∂h2 ′ 2∂h2q2′′ + γ −1 (HD/v)q2′ + q1′ (2q2′−)+q2 + 2q2′−∂q1h2 ∂q2∂q2∂q3)h3 ∂h3qH−/h2 =(HE2 /v + h3 B1 − h1 q1′ B3 ),h2 ∂q2h2 m0 γv(1.7)где E = (E1 , E2 , E3 ), B = (B1 , B2 , B3 ), H и D – функции обобщенных координатH = (h21 q1′ + h22 q2′ + h23 )1/2 ,qD=(h1 q1′ B2 − h2 q2′ B1 + HE3 /v)−m0 h3()q1′ ∂h1q2′ ∂h2∂h3γv′ 2 ∂h3′ 2 ∂h3h1 q1 (−) + h 2 q2 (−)+.−Hh3h1 ∂q1 h3 ∂q3h2 ∂q2 h3 ∂q3∂q322(1.8)Уравнения (1.4) преобразуются в два уравнения для двух проекций траектории на две взаимно перпендикулярные плоскости и представляют собой релятивистские уравнения траектории в обобщенной ортогональной системе координат.

Далее, как было отмечено выше, в качестве траектории, вдоль которой рассматривается движение частиц, будем выбирать некоторую кривую, а вкачестве независимой переменной интегрирования выступит длина вдоль этойкривой. Координатные оси q1 = x, q2 = y, в этом случае, совпадут с нормалью и бинормалью к касательной в точке. Таким образом, будем рассматриватьестественную систему координат, движущуюся вдоль заданной кривой.Для вычисления модуля скорости, явно входящей в уравнения (1.7), следуетиспользовать закон сохранения полной энергии движущейся частицыm0 c2 (γ − γ0 ) + q(u − u0 ) = 0,(1.9)где потенциал u задается равенством (1.1), γ0 соответствует скорости частицы вточке пространства с потенциалом u0 , γ — в точке с потенциалом u.191.1.2 Уравнение Т – БМТСпин является фундаментальным свойством частицы и выражается квантовым числом, однако в рамках гамильтонова формализма удобнее оперироватьОДУ.

Квазиклассическое представление динамики спина носит название уравнения Томаса – Баргманна – Мишеля – Телегди (Т – БМТ)d−qS=dtm0 γ((1 + γG)B⊥ + (1 + G)B∥ + (Gγ +γ E×β)γ+1c)× S,где G — аномальный магнитный фактор частицы, βc = v, B⊥ и B∥ — поперечнаяи продольная компоненты поля по отношению к вектору скорости (импульса)частицы. Данное уравнение может быть переписано в терминах вектора магнитной индукции B. Действительно, продольную компоненту поля можно записатьв виде проекции на вектор импульса частицы B∥ = (B, p)p/p2 . Поперечная компонента в данных обозначениях выразится как B⊥ = B − B∥ .

Подставляя этивыражения в уравнение Т – БМТ, можно получить частоту прецессии спина()−q1 E×pΩ=(1 + γG)(B − B∥ ) + (1 + G)B∥ + (G +)=m0 γγ + 1 m0 c2()−qG (B, p)p1 p×E=(1 + γG)B −).− (G +m0 γγ + 1 m20 c2γ + 1 m0 c2Уравнение Т – БМТ, во временной области имеющее видdS = Ω(p, B, E) × S,dt(1.10)может быть записано и в сопутствующей системе координат. Для случая плоскойкривой с постоянной кривизной κ, уравнение примет вид0 0 κH′S =  0 0 0  S + Ω × S.v−κ 0 0(1.11)20Соотношения (1.10) – (1.11) описывает динамику спина частицы в произвольных полях. Существует несколько случаев, когда вращение спина S происходиттолько в одной плоскасти. Ниже рассмотрим некоторые из них подробнее.Однородное вертикальное магнитное полеКак видно из уравнения (1.3), в однородном вертикальном поле B = (0; B0 ; 0),где B0 = (m0 γv)/(qR), частицы будут двигаться по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью.

Подставляя частоту вращения спина()−q−qm0 γvΩ=(1 + γG)B =(1 + γG) 0;;0 .m0 γm0 γqRв уравнение (1.11) и учитывая, что κ = 1/R, получим соотношения11 m0 γv −q−γGSs +Ss(1 + γG) =Ss ,Rv qRm0 γR−q1 m0 γvγG1Sx(1 + γG) =Sx .Ss′ = − Sx −Rv qRm0 γRSx′ =Переходя от длины опорной кривой к углу φ поворота частицы в кольце и учитывая, что ds = Rdφ, можно записать частоту вращения вектор спина в поперечнойплоскостиω = γG.(1.12)Однородное горизонтальное магнитное полеРассмотрим прецессию спина частицы в однородном горизонтальном полеB = (0; 0; Bz ).

Также будем предполагать, что Bρ = B0 R = (m0 γv)/q. Частотавращения спина в веденных обозначениях равна−qGγ 2v2Ω=(1 + γG)B −Bz 2 .m0 γγ+1c21Подставляя это значение в уравнение (1.11) и учитывая, что κ = 0 для прямогоучастка, получимBz(1 + G)Sy ,BρBzSy′ = − (1 + G)Sx ,BρSx′ =Ss′ = 0.Вектор спина в горизонтальном поле Bz вращается в плоскости x − y с частотойω=Bz(1 + G).Bρ(1.13)Однородное поперечное электростатическое полеВ поперечном электростатическом поле с отклоняющей компонентой E0 =(m0 γv 2 )/(qR), частица будет двигаться с постоянной по модулю скоростью поокружности радиуса R.

Магической называется такая энергия частицы, при которой вектор спина не совершает колебаний, относительно вектора импульса вгоризонтальной плоскости. Это «магическое» соотношение легко получить, приравняв нулю частоту вращения спина в электростатическом поле.

Уравнение Т –БМТ в данном случае запишется в виде1HSs + Ωy Ss = ωSs ,Rv1HSs′ = − Sx − Ωy Sx = ωSx ,RvSx′ =где Sy′ = 0, а значение частоты представляется соотношением()1121 − γβ (G +) .ω=Rγ+1Полагая это значение равным нулю, получим выражение между магической энергией (γm ) и магнитным фактором частицы GG=1.2 −1γm(1.14)22Значение магической энергии особенно важно при изучении спин-орбитальногодвижения в электростатических накопительных кольцах, так как оно позволяетосуществить «заморозку» спина [98, 105].

В таком кольце, в случае отсутствияЭДМ, вектор спина референс-частицы всегда сонаправлен с вектором импульса.Исследование динамики прецессии спина при этом сводится к изучению эффектов декогеренции вращения вектора спина относительно референс-частицы.Частоты вращения спина, представленные в соотношениях (1.12)-(1.14), входят явно в уранвение T – BMT, записанное во временной области с учетом вычета частоты вращения вектора импульса частицы.

По внешнему виду такоесоотношение выглядело бы более простым, чем описанные в этом параграфевыражения. Кроме того, с физической стороны зрения, уравнения, записанныево временной области более наглядно демонстрируют все особенности спиновойдинамики. Однако далее в работе будет применяться именно обобщенная криволинейная система координат, как более общая и универсальная форма записи.Такой подход позволяет унифицировать уравнения вне зависимости от конкретного вида поля. Также при данном подходе легче применять численные методыинтегрирования, которые в данных обозначениях оперируют конечной длинойраспределения поля, а не переменным временем пролета в нем.231.2 Методы численного моделированияДля численного анализа систем ОДУ могут быть применены два различныхподхода.

В первом случае предполагается использовать классические пошаговыесхемы интегрирования, во втором — методы построения отображения.1.2.1 Пошаговые схемы интегрированияОба подхода оперируют с нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравненийdX = F(t, X),dt(1.15)где под t понимается независимая переменная, X = (x1 , x2 , . . . , xn ) — вектор состояния системы. Традиционными способами решения системы уравнений (1.15)является использование пошаговых методов интегрирования. Данные методы основаны на разбиении исследуемого интервала на шаги интегрирования и некоторой аппроксимации на них правых частей уравнения.

Для того, чтобы решитьзадачу Коши для каждого нового вектора начального состояния требуется зановопересчитывать всю схему интегрированияX10 −→ X1  X2  −→  X2 0.··· ······XN  −→ XN 0При использовании пошагового интегрирования дифференциальных уравнений,процесс моделирования спин-орбитальной динамики заряженных частиц в накопительном кольце может быть представлен схемой, изображенной на рис. 1.1. Кпреимуществам такого подхода следует отнести широкие возможности контроляточности вычислений [7, 18]. Однако для исследования длительной динамикиприменение указанных методов осложняется большими затратами вычислительного времени.24Рис.

1.1. Пошаговое интегрирование динамики частицСимплектификацияКаждая пошаговая схема интегрирования определенного порядка точностидопускает несколько вариантов реализации, зависимой от коэффициентов разложения правых частей уравнения (1.15) в ряд Тейлора. Под симплектическимметодом пошагового интегрирования понимается такая схема, которая приводитк решению, удовлетворяющему условию симплектичности. Следует иметь в виду, что кроме простейших случаев (метод Эйлера, средней точки) такие схемыописываются неявными уравнениями [32, 54, 86], что в значительной степенисказывается на их производительности.Тем не менее, использование пошаговых методов интегрирования в исследова-b1 + c˜1b1 /2b1 − c˜1 b1 /2 − c˜1b1 /2 + c˜1b1 /2нии динамических систем имеет неоспоримое значение.

Во-первых, эти методыb1 = 1/2, 2b1 c˜1 2 = 1/12остаются единственным (за исключением Рис. 1.2. Симплектическая неявная схемаРунге – Кутта 4-го порядкааналитических расчетов) способом проверки результатов численного моделирования. Во-вторых, построение нелинейного матричного отображения в данной диссертации предлагается осуществлятьна основе эволюции этого отображения с течением времени, численная оценка которой осуществляется с помощью пошагового метода интегрирования. Нарис. 1.2 приведена используемая для этих целей симплектическая неявная двухшаговая схема Рунге – Кутта 4 порядка.251.2.2 Методы построения отображенияДругим способом решения системы уравнений (1.15) является построениеотображения, переводящее множество начальных векторов состояния в конечное, соответствующее заданному интервалу времениX10 X1  X2  X2 0M(t).−−−−−−→······XN XN 0Данное отображение X = M ◦ X0 , строго говоря, является общим решениемсистемы дифференциальных уравнений.

Алгоритмы построения такого отображения обладают известной сложностью и могут реализовываться двумя способами: выводом аналитических соотношений или с помощью численных оценок. В случае численных методов, отображение M обычно строится на основемодели рядов Тейлора путем оценки его эволюции вдоль заданного интервала интегрирования (см. рис. 1.3), где начальное отображение M0 соответствуеттождественному преобразованию.Рис. 1.3. Численная оценка отображенияИспользование отображений упрощает процесс изучения динамики и позволяет отказаться от итеративного подхода в интегрировании.

Характеристики

Список файлов диссертации