Диссертация (1149672), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В то же время,задачу Коши для исходной системы естественно решать также методом рядов Тейлора по алгоритму, предложенному нами в параграфе 3.2, или при помощи программы Tides [124]. Начальные данные для этих задач можно взять из [106, 111].5.2.2 Возмущенное движение в оскулирующих элементахРассмотрим движение двух материальных точекЮпитер и Сатурн) в системе координатточкойP0P0123 ,P1 , P2(это могут быть, например,центр которой совмещен с третьей(Солнцем), имеющей «большую массу»m0 поостальных двух точек. При отсутствии одной из точексравнению с массами m1 , m2P1 , P2 , предполагаем, что другаяиз них будет двигаться по (своему) эллипсу и это движение будет определяться своими элементами a j , e j , M 0, j ,  j , i j ,  j ; j  1, 2 в общем решении (см. (5.2)-(5.4)):i j  a j ( Ai , j 1  e2j sin E j  Bi j (cos E j  e j )) , rj  a j (1  e j cos E j ) ,i j   j a j 1/2 (1  e j cos E j )1 ( Ai j 1  e2j cos E j  Bi j sin E j ), i [1: 3] ,(5.8)A1j   sin  j cos  j  cos  j sin  j cos i j , B1j  cos  j cos  j  sin  j sin  j cos i j ,A2j   sin  j sin  j  cos  j cos  j cos i j , B2j  cos  j sin  j  sin  j cos  j cos i j ,A3j  cos  j sin i j , B3j  sin  j sin i j ,E j  e j sin E j  M j ,M j  M 0j  n j (t  t0 ) , n j (5.9) j / a3j ,(5.10)Если использовать метод вариации произвольных постоянных (Эйлер-Лагранж),то есть если считать формулы (5.8) заменой декартовых переменных i j ,i j на новыепеременные a j , e j , M 0, j ,  j , i j ,  j , то эти последние (называемые оскулирующими эллиптическими элементами Эйлера) удовлетворяют следующей системе из двенадцатиобыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера [23 ,57]:2 Ri,dt n j a j M 0jda jde jdt1  e2j R je j n j a 2j M 0j1  e2j R je j n j a 2j  j,107di jdtd jdtR jctg (i j )n j a 2j 1  e2j  j1  e2j R je j n j a 2j e jcosec(i j ) R jn j a 2j 1  e2j  jctg (i j )R jn j a 2j 1  e2j i j,,d jdtcosec(i j ) R jn j a 2j 1  e2j i j,22 R j 1  e j R j,dtn j a j a j e j n j a 2j e jdM 0 jгде использованы обозначения: 1 1112   21 22  3132  1 1112   21 22  3132 2R1  k m2  , R2  k m1  ,33r(r)r(r)21 1,2 2,12r1,2  r2,1 3 (i 11i i2 )2 ,j  1,2 .При помощи программы “AVM”, эта система была приведена к полиномиальному виду.

Результаты представлены в Приложении 2 к диссертации. При помощиэтой же программы можно получать и другие результаты для задачи трех тел, например, коэффициенты Тейлора ее решения, выраженные через само решение.108ЗаключениеПеречислим полученные в диссертации результаты и обсудим перспективы ихиспользования.В разделе 1.4 первой главы был предложен новый метод решения уравнений ввариациях для случая движения материальной точки в произвольных центральныхполях в евклидовом пространстве произвольной размерности. На основе этого метода и алгоритма дифференцирования функций многих переменных который былпредложен в параграфе 2.4 и реализован в программе “AVM”, в разделе 1.4.2 былапредложена новая схема реализации классического метода возмущений для построения моделей движения материальных тел в таких силовых полях.Этот метод существенно упрощает нахождение последовательных приближенийв алгоритмах теории возмущений – в классическом методе возмущений даже дляслучая ньютоновского (или кулоновского) потенциала: мы собираемся далее применить его к построению моделей движения материальных тел движущихся в других,более сложных силовых полях, например, в тех которые были описаны в параграфе1.2 первой главы.Во второй главе, на основе новых вариантов метода дополнительных переменных(см.

2.3), был разработан инструментарий для построения моделей динамики – предложены новые алгоритмы, которые позволяют для достаточно широкого классафункций и уравнений динамики (функции и правые части дифференциальных уравнений должны принадлежать классуm, см. параграф 2.1) решать следующие за-дачи:1.Сведение полных полиномиальных дифференциальных систем и, в частности,систем обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме (параграф 2.5).2.Символьное дифференцирование системы функций (параграф 2.4)В той же главе было предложено понятие библиотеки функций многих перемен-ных и дифференциальных уравнений (полных систем дифференциальных уравнений109в частных производных первого порядка), которым эти функции удовлетворяют, иописали структуру этой библиотеки.

На основе упомянутых алгоритмов и библиотеки все предложенные в диссертации алгоритмы были реализованы в программе“AVM” (см. главу 4.). Программа писалась длительное время (несколько лет), длянее создан дружественный пользовательский интерфейс, ее библиотека непрерывнопополняется, а сама программа совершенствуется. Очередные ее версии будут доступны на моей странице (http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/bregman/index.html), насайте факультета ПМ-ПУ.В третьей главе была предложена модификация метода рядов Тейлора для полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на случай, когдаправые части этих уравнений не полиномиальны, а принадлежат классамm: былпредложен новый символьный алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора длярешений таких уравнений и показано, что этот алгоритм легко встраивается в алгоритм и программу Бабаджанянца-Большакова решения полиномиальной задачиКоши методом рядов Тейлора.

В наших планах – построить полуаналитическую модель движения внешних планет Солнечной системы на промежутке в несколько миллиардов лет при помощи модифицированного метода.Важно еще раз подчеркнуть, что без рассмотренных во второй и третьей главахинструментов, в принципе, можно обойтись, воспользовавшись имеющимися в пакетах компьютерной алгебры общими средствами. Эти пакеты (такие, например, какWolfram Mathematica и Maple), помимо всего прочего, содержат наборы функцийнескольких переменных и предоставляют возможность осуществлять над ними различные операции алгебры и анализа. В то же время, если пользователю потребуется,например, символьное выражение производных для тех или иных суперпозициифункций, среди которых есть функции, не содержащиеся в используемом пакете, тоему придется ввести такие функции и написать программы вычисления их производных и производных каждой необходимой суперпозиции до требуемого порядка(если ему известны соответствующие алгоритмы).

Такие же сложности возникнут ипри сведении к полиномиальной форме дифференциальных уравнений, которые содержат подобные суперпозиции. Для решения упомянутых выше двух задач в этих110случаях нами и были предложены алгоритмы и программа “AVM” для класса функций многих переменных, который состоит из суперпозиций функций, удовлетворяющих полным системам уравнений в частных производных и, в частности, системамОДУ. Программа опирается на библиотеку, которая может неограниченно пополняться новыми функциями самим пользователем. Говоря упрощенно, библиотекасостоит из пополняемого пользователем набора имен функций и соответствующихим систем дифференциальных уравнений, причем в программе “AVM” суперпозиции могут содержать не только имя той или иной функции библиотеки, но и модифицированное ее имя (к имени библиотечной функции добавляется выбираемыйпользователем постфикс 99текст), которое обозначает ту или иную другую функцию, удовлетворяющую тем же дифференциальным уравнениям, а это означает, чтопользователю доступны все функции, определяемые содержащимися в библиотекедифференциальными уравнениями.В связи со сказанным выше, отметим, что в разделах 4.7, 5.1.3, 5.2.3 были рассмотрены как раз те задачи, в которых функции и уравнения записаны в терминахфункций, некоторые из которых отсутствуют в пакетах Wolfram Mathematica и Maple, но легко могут быть записаны пользователем в библиотеку “AVM”.

Это означает, что для решения этих задач средствами упомянутых пакетов пришлось бы писать специальные программы.В пятой главе были приведены результаты построения при помощи программы“AVM” двух групп моделей: в параграфе 5.1 рассмотрены различные новые моделидля задачи двух тел, а в параграфе 5.2 – модели возмущенного движения планет вдекартовых координатах и в эйлеровых оскулирующих элементах.

В дальнейшеммы собираемся построить при помощи программы “AVM” еще один вариант полуаналитической модели движения планет Солнечной системы, пригодной для качественного исследования движения планет на длительных промежутках времени.Главное, что надо сказать о перспективах продолжения нашей работы связано спрограммой “AVM”:111 программа на данный момент представляет собой ядро будущего пакета программмоделирования, который позволит пользователю строить разнообразные математические модели динамических процессов на основе тех инструментов, которыми онасейчас располагает  метода дополнительных переменных, библиотеки дифференциальных уравнений и базовых алгоритмов символьного дифференцирования и сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме; пакет должен будет обеспечивать пользователя всеми средствами автоматизиро-ванного построения моделей, должен иметь возможность саморазвития и использования средств современного математического моделирования и технологии программирования; ближайшими задачами в этом направлении, кроме тех, о которых говорилосьвыше, мы видим реализацию алгоритмов классического метода возмущений, предложенного в главе 1 в самом общем виде, реализацию модифицированного методарядов Тейлора, предложенного в главе 3, и, самое главное, совершенствование пользовательского интерфейса, которое связано с дальнейшим опытом использованияпрограммы.112Литература1.

Абалакин, В. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.Под ред. Г. Дубошина / В. Абалакин, Е. Аксёнов, Е. Гребеников, В. Демин, Ю.Рябов // М.: Наука, 1976. 864 с.2. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям. / М. Абрамовиц, И. Стиган // М.: Наука, 1979. 832 с.3. Акритас А.

Основы компьютерной алгебры с приложениями / А. Акритас // Мир,1994, 544 с.4. Александров, А. Математическое моделирование и исследование устойчивостибиологических сообществ: учебное пособие / А. Александров, А. Платонов, В.Старков, Н. Степенко // СПб.: СОЛО, 2006. 186 с.5. Александров, Ю. Решение уравнений в вариациях в задаче о движении точки вцентральном поле сил. / Ю. Александров // Космические Исследования.

Характеристики

Список файлов диссертации