Диссертация (1149672), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таблицу 2.4).k, nPk , ( x k 1 ), Qk ,l ( p1 ,..., p ( k ) ;1 ,..., n( k ) )11, 2P1,1  x2 , Q11,1  2 , Q11,2  2221, 2P2,1  ax42  bx3 , Q12,1  2 , Q12,2  131, 2P3,1  ax42  bx3 , Q13,1  2 , Q13,2  141, 2P4,1  x6 , Q14,1  2 , Q14,2  151, 2P5,1  x7 , Q15,1  2 , Q15,2  1622, 4P6,1  x11 , , P6,2  x1 , Q16,1  24 , Q26,1  4 , Q16,2  234 , Q6,2 34 ,2Q16,3  224 , Q6,3 24 ,2Q16,4  342  p12243 , Q6,4  p143271, 2P7,1  x1, Q17,1  2 , Q17,2  (1  p  g 2 p2 )1Таблица 2.1:  (k ) , n(k ) , Qk ,l ( p1 ,..., p ( k ) ; 1,..., n( k ) ), Pk , ( x k 1)kPk , ( x k 1 ) / x (только ненулевые значения)1P1,1 / x2  12P2,1 / x3  b, P2,1 / x4  2ax43P3,1 / x3  b, P3,1 / x4  2ax44P4,1 / x6  15P5,1 / x7  16P6,1 / x11  1, P6,2 / x1  17P7,1 / x1  1Таблица 2.2: Производные Pk , ( xk 1 ) / x61x , j (только ненулевые значения)4x4,2  x55x5,2   x526x6,2  2ax4 x5 x7 , x6,3  bx77x7,2  2ax4 x5 x6 , x7,3  bx68x8,2  2ax4 x5 x9 , x8,3  bx99x9,2  2ax4 x5 x8 , x9,3  bx810x10,2  2ax4 x5 x7 x11 , x10,3  bx7 x1111x11,2  2ax4 x5 x7 x10 , x11,3  bx7 x1012x12,2  2ax4 x5 x6 x13 , x12,3  bx6 x1313x13,2  2ax4 x5 x6 x12 , x13,3  bx6 x1214x14,1  x17 , x14,2  2ax4 x5 x7 x10 x15 x17 , x14,3  bx7 x10 x15 x1715x15,1  x16 x17 , x15,2  2ax4 x5 x7 x10 x15 x16 x17 , x15,3  bx7 x10 x15 x16 x1716x16,1   x15 x17 , x16,2  2ax4 x5 x7 x10 x152 x17 , x16,3  bx7 x10 x152 x1717x17,1   x11 x15 x173 , x17,2  2ax4 x5 x7 x10 x172 ( x16  x11 x152 x17 ) ,x17,3  bx7 x10 x172 ( x16  x11 x152 x17 )18x18,1  x1919x19,1  (1  x1  g 2 x12 ) x18Таблица 2.3: Производные x , j  dx / dx j ,   4,...,19; j  1, 2,3.x194bx33 x43 x5  2ax33 x4 x5 x6 x13  10ax4 x5 x64 x73x32 x12  3bx32 x44  bx33 x6 x13  5bx64 x7x194bx43 x5  10ax4 x5 x64 x7  2ax4 x5 x6 x135bx64 x7  bx6 x132x14 x172 x2 x10  2ax22 x4 x5 x7 x11  8ax4 x5 x6 x73 2bx7 x10 x14 x15 x17  bx22 x7 x11 4ax4 x5 x7 x10 x14 x15 x174bx6 x73bx7 x10 x15 x17 2 x2 x10  8ax4 x5 x73 x6 x172ax4 x5 x7 x10 x15 x17  2ax x x x x22 4 5 7 11bx22 x7 x10  4bx6 x732 x1 x92  2 x1 x64ax12 x4 x5 x8 x9  2ax12 x4 x5 x7  10ax4 x5 x84 x92bx12 x8 x9  bx12 x7  5bx84 x9x92  x64ax1 x4 x5 x8 x9  2ax1 x4 x5 x7  10ax4 x5 x84 x92bx1 x8 x9  bx1 x7  5bx84 x9Таблица 2.4: Матрица Якоби системы (2.15); переменные x4 ,..., x19выражаются через x1 , x2 , x3 и a, b, g согласно (2.16).62Далее производные любого порядка могут вычисляться шаг за шагом по известной матрице Якоби и известным формулам для дополнительных переменных припомощи формул (2.14).2.5 Алгоритм сведения полных систем к полиномиальной формеПрежде всего отметим, что рассматриваемый в настоящем параграфе алгоритмсведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме был предложен внашей совместной с Л.К.Бабаджанянцем статье [15] раньше, чем алгоритм символьного дифференцирования в статье [27], - он изложен выше в параграфе 2.4.

Приэтом, в алгоритме символьного дифференцирования мы применяем те же инструменты (метод дополнительных переменных и библиотеки функций и дифференциальных уравнений, которым эти функции удовлетворяют), что и в статье [15].По этой причине здесь используются аналогичные обозначения и аналогичнуюпоследовательность изложения, что и в параграфах 2.3, 2.4. Ради удобства читателя,здесь мы повторяем ряд обозначений и уравнений из этих параграфов (иначе былибы неизбежны утомительные для читателя многочисленные ссылки).Перейдем теперь к теме настоящего параграфа.

Изложение основано на материале статьи [15] и, что вполне естественно, частично ее повторяет.Рассматриваются полные системы дифференциальных уравнений в частных производных (и, в частности, ОДУ), правые части которых можно записать при помощичетырех действий алгебры и любых допустимых суперпозиций функций конечногочисла аргументов, принадлежащих неограниченно пополняемому набору функций,называемому библиотекой (см. параграфы 2.1, 2.2). Предлагается основанный на методе дополнительных переменных (см. раздел 2.3.1) автоматизированный алгоритмих сведения к полиномиальным автономным системам, то есть к системам с полиномиальными по неизвестным правыми частями. Библиотеку можно пополнять любымифункциями, которые удовлетворяют полным, не обязательно автономным (что весьмаудобно пользователю), полиномиальным системам.

В частности, библиотека можетсодержать все элементарные функции и очень многие специальные функции, исполь-63зуемые в приложениях. Алгоритм разработан на основе результатов статьи Л.К.Бабаджанянца [13] с учетом возможностей пакета “Mathematica” [128], причем последнеепозволило наделить его следующими дополнительными свойствами:- правые части исходных уравнений задаются в терминах функций пакета и библиотеки и могут содержать любые допустимые в них зависимости и от параметров;- если, кроме самой исходной системы, рассматривается и задача Коши, то начальныеданные также могут содержать любые допустимые зависимости от параметров;- конечные уравнения и данные получаются в аналитической форме.Алгоритм описывается в двух разделах настоящего параграфа, а пример его применения - в третьем, но вначале приведем (повторим) необходимые обозначения иуравнения.

Полагаяx  ( x1 ,..., xm )  С m , t  (t1 ,..., ts )  С s ,   (1 ,...,  )  С , f i j  R ,рассмотрим уравнения (полную систему уравнений в частных производных [30,63])xi / t j  fi j ( x,  ) , i [1: m] , j [1: s] ,(2.18)которые, в случае s  1 , образуют систему ОДУ. Полиномиальной называют системууравнений (2.18), в которой все fi j - полиномы по x1,..., xm с коэффициентами, которыемогут зависеть от параметра  .

Говорят, что скалярная функция  аргументаx  ( x1,..., x ) удовлетворяет полиномиальной системе, если она является одной из ком-понент вектор-функции того же аргумента x  ( x1 ,..., x ) - решения некоторой полиномиальной системы. Класс скалярных функций аргумента x  ( x1 ,..., x ) , удовлетворяющих полиномиальной системе, обозначают  .

Большое число специальных функций, представленных в справочниках и компьютерных системах, принадлежит  .Классомm,  , m [1: ) называют множество скалярных функций аргументаx  ( x1 ,..., xm ), которые можно получить из x1 ,..., xm при помощи конечного числа опе-раций , , , / и конечного числа функций 1,...,l  .Рассмотрение алгоритма сведения системы (2.18) к полиномиальной форменачнем с описания элементарного преобразования (п. 2.5.1), а затем приведем схему64алгоритма (п. 2.5.2).

Далее полагаем, что система (2.18) принадлежит какому-то изклассовm. В этом случае, предлагаемый алгоритм применим: как увидим, он также, как и предложенный выше алгоритм символьного дифференцирования всегда состоит из конечного числа шагов, а каждый шаг – из конечного числа арифметическихопераций.2.5.1 Элементарное преобразованиеРассмотрим систему (2.18) при условии, что все f i j принадлежатm.

Алгоритмпреобразования следующий:(a) ищем в правых частях функцию вида  k ( P1 ( x1 ,..., xm ), ..., P ( x1 ,..., xm )) , где P алгебраические полиномы,    ( p1 ,..., p ) - функция из библиотеки, аk , -нату-ральные числа;(b) пусть   1 ,...,  - все функции расширения функции  и пустьi / p  Qi (1,...,  ) , i  [1:  ] ,   [1:  ] ,(2.19)где Qi - полиномы. Вводим новые дополнительные переменныеxm1  1 ( P1 ( x1 ,..., xm ),..., P ( x1 ,..., xm )),...........................................................xm     ( P1 ( x1 ,..., xm ),..., P ( x1 ,..., xm ))(2.20)(c) Заменяя все функции 1 ( P1 ,..., P ),...,  ( P1 ,..., P ) в правых частях уравнений(2.18) на новые переменные xm1 ,..., xm соответственно, получаем:xi / t j  gij ( x1,..., xm , xm1,..., xm ) , i [1: m] , j [1: s](2.21)(d) Выписываем уравнения для введенных переменных ( i  [1:  ] , j [1: s] ):xmi / t j   1 Qi ( xm1,..., xm  )  k 1 P / xk  gkj ( x1,..., xm , xm1,..., xm )m(2.22)2.5.2 Схема алгоритма сведенияШаг 1.

Заносим правые части (2.18) и начальные данные в пакете «Mathematica»:xi / t j  fi j ( x1,..., xn ) , i  [1: n] , j [1: s](2.23)65x1 (t0 )  x1,0 ,..., xn (t0 )  xn,0(2.24)Введенные правые части и начальные данные могут содержать параметры. Еслидля обозначения каких-то из этих параметров использованы символы вида i , где i- натуральное число, то полагаем, что  равно максимальному из таких i , а если таких параметров нет, то полагаем   0 .Образуем подбиблиотеку, состоящую из объединения расширений всех функций,участвующих в написании правых частей системы (2.23) (см.

п. 2.1.4).Параметры, от которых зависят функции подбиблиотеки, переобозначим символами 1, 2 , ... и запоминаем таблицу соответствий исходных и новых обозначений параметров.Шаг 2. Преобразуем (2.23) шаг за шагом, пока не получим полиномиальную сисистему, применяя на каждом шаге элементарное преобразование к системе полученной на предыдущем шаге (см п.2.2.1).

Характеристики

Список файлов диссертации