Диссертация (1149654), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Сравнивая (A.17) и (A.19), находим˜ ∼ ˜2 .Для зеркал достаточно большого радиуса, когда шейка луча много шире дифракционного масштаба, память поддерживает моды |˜ | ≤ ˜ , ˜ ≫ 1, то есть режимпамяти существенно многомодовый. При этом, очевидно, |˜ | ≪ ˜ , и для актуальных мод условие малого изменения их наклона и положения выполняется сзапасом (чем больше мод, тем лучше).Выявим требования к оптической схеме, позволяющие описывать памятьв приближении одной продольной моды поля, и при этом работать в режимемногих поперечных мод.
Чтобы ограничиться одной продольной модой, длительность сигнала и тем самым время взаимодействия ≥ −1 должно бытьмного большим времени = 2/ обхода резонатора. Перепишем оценку(A.17), выделив ,√︂√︂2˜21 2 , →≥,(A.20)˜ ≤2 где 1/ ≫ 1. Если считать, что ˜2 ≫ 1 и 1/ ≫ 1 означает больше на одинпорядок величины, то радиус зеркал должен быть более чем на 4 порядка большедлины резонатора. Таким образом, при данном радиусе зеркал следует братькороткий низкодобротный резонатор, чтобы максимально сократить дифракциюна многократном пробеге.102ПРИЛОЖЕНИЕBПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО МЕТОДА ЗАПИСИВ этом приложении мы обсуждаем проблему оптимальной эффективности, достигаемой в процессе записи в рассматриваемую резонаторную модельпамяти, и показываем, что подход с обращением сигнала – возбуждение пустого резонатора с последующим быстрым перебросом возбуждения резонаторногополя на атомы – является наиболее эффективным для заданной длительностисигнала.
Напомним, что процесс записи, рассмотренный в главе 3, описываетсясистемой уравнений(︁ 1)︁(q, ) = − + ∆(q) (q, ) − ( )(q, ) + () (q, ),2(q, ) = −( )(q, ),() (q, ) = (q, ) − () (q, ).(B.1)Поскольку входящий и отходящий от резонатора сигналы, резонаторноеполе и коллективный спин образуют замкнутую систему, в которой сохраняется общее число возбуждений, общее решение основных уравнений эволюцииквантовой памяти представляется унитарной матрицей, которая может быть рассмотрена для классических полей.
Мы разбиваем временной интервал (0, ) на ≫ 1 интервалов длительностью = / , центрированных на , = 1 . . . ,и рассматриваемый дискретный набор входных и выходных амплитуд сигналь√ных полей: ˜ () ( ) = () ( ), и аналогично для отходящего поля.
Поперечный индекс опускается для краткости и будет восстановлен позже. Коэффициент103√ позволяет определить число возбуждений на n-ом интервале входящего сигнала как |˜() ( )|2 . Если в начальный ( = 0) и конечный ( = ) моментывремени стадии записи учесть наличие амплитуд коллективного спина и резонаторного поля, то вектора-столбцы, состоящие из (2 + ) компонент, вида}︁)︁(︁{︁√()() ( ) ,˜= (0), (0),˜()(︁= ( ), ( ),{︁√()}︁)︁( ) ,(B.2)представляют полные наборы начальных и конечных амплитуд.Унитарная матрица эволюции амплитуд определяется как˜ () = ˆ ˜ () .(B.3)Из ортонормированности строк матрицы ˆ следует, что начальный векторстолбец амплитуд, который обеспечивает возбуждение коллективного спина сединичной эффективностью, то есть переходит после преобразования в ˜ () =(1, 0, {0}), составляется из -строки матрицы ˆ ,(︀ *{︀ * }︀)︀*˜ () = , , ,где = 1 . .
. . На этапе записи мы полагаем начальные амплитуды локальныхполей (0), (0) равными нулю, и оптимальный нормированный входной вектор амплитуд, который обеспечивает максимальную амплитуду ( ) и, следовательно, максимальную эффективность пропорционален редуцированной строкематрицы ˆ ,(︀{︀ * }︀)︀10, 0, .(B.4)˜ () = √︀1 − (| |2 + | |2 )Амплитуда коллективной спиновой волны (q) и эффективность ее возбуждениясигнальной волной с поперечным индексом q находится из (B.4) и нормы строки,(︀)︀() = |˜ |2 = 1 − | |2 + | |2 .(B.5)Мы в общем виде установили связь между оптимальной эффективностью записи для заданной поперечной моды сигнала и для заданной временной формыпараметра связи и значениями двух элементов матрицы эволюции (функциямиГрина) системы.
Так как в параллельной квантовой памяти матрица эволюции104зависит от поперечного волнового вектора, ˆ → ˆ (q), оптимальная форма входного сигнала (B.4) в общем случае зависит от q (отметим, что в главе 3 входнойсигнал оптимизируется для q = 0).Можно переписать эффективность (B.5) как)︀(︀ ††(q)|2 .(q)|2 + |(q) = 1 − |(B.6)Здесь матрица ˆ † (q) описывает обращенную во времени эволюцию, а сумма вправой части (B.6), по определению элементов матрицы эволюции, дает числовозбуждений в резонаторе при = 0 для обращенной во времени эволюции,начинающейся при и начальных условий ˜ () = (1, 0, {0}), когда возбужденколлективный спин, а остальные амплитуды равны нулю,|(q, )| = 1,(q, ) = 0,{() (q, )} = 0.(B.7)Обращенные во времени уравнения эволюции получаются из (B.1),(︁ 1)︁(q, − )= − − ∆(q) (q, − ) + (− )(q, − ) + () (0, q, − ),−2(q, − ) = +(− )(q, − ),−() (0, q, − ) = −() (0, q, − ) + (q, − ),(B.8)где − = − , и развитие происходит от − = 0 до − = .
Преобразуя (B.8) вуравнения для числа возбуждений, мы приходим к)︀ (︀|(q, − )|2 + |(q, − )|2 =−[︀]︀− |(q, − )|2 + 2Re * (q, − )() (0, q, − ) .(B.9)Интегрирование по времени и учет (B.7) приводит к следующему выражениюдля эффективности∫︁ (︀)︀22(q) = 1 − |(q, )| + |(q, )| =− |(q, − )|2 .(B.10)0Хотя это равенство не зависит в явном виде от ( ), оно справедливо для любойвременной формы параметра связи.Отметим, что уравнения (B.8) эволюции для времени − и для начальных условий (B.7) отличаются от уравнений (B.1) эволюции для физического105времени и для начальных условий вида (q, = 0) = 1, (q, = 0) = 0,() (q, = 0) = 0, только инверсией частотной расстройки и знаком параметрасвязи.Таким образом, мы можем рассматривать оптимизацию эффективности(B.10) в терминах эквивалентной физической эволюции, как если бы − былофизически временем, с начально возбужденным спином, нулевым начальнымрезонаторным полем и нулевой амплитудой входного поля, когда исключаетсяинтерференция на входном зеркале.
Поскольку обезразмеренная скорость затухания резонаторного поля равна единице, правая часть (B.10) дает энергию поля,вытекшего из резонатора к моменту времени − = , и, очевидно, будет максимальной, если в момент времени − = 0 быстро перебросить возбуждение изатомов в резонаторное поле и позволить ему вытекать из «пустого» резонатора. В терминах физического времени = − − это соответствует подходу собращением сигнала, который обсуждается в разделе 3.2.106.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
