Диссертация (1149654), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Фундаментальная мода дается(A.1) при = 0 с учетом 0 (0) = 1.A.2Резонатор, близкий к плоскомуРассмотрим линейный резонатор с зеркалами равного (по модулю) радиуса кривизны , причем расстояние между зеркалами мало, ≪ . В среднемсечении, = 0, поле по предположению не имеет кривизны,1=− 2 ,˜(0) (0)˜(0) = 2 (0).На оси системы на правом зеркале имеем(︂)︂111=≈1−,˜(/2) ˜(0) + /2 2 (0)22 (0)(A.4)что дает для кривизны поля на зеркале, ( = /2) = , и радиуса поля связьвида√12,(0)=.(A.5)=2 2(2 (0))2Из сравнения (A.2) и (A.4) видно, что в близком к плоскому резонаторе радиусполя мало меняется по ходу луча, (0) ≈ (/2).Фаза (A.3) оценивается как√︂2 ( = /2) 1 ( = /2) ≈≈≪ 1.(A.6)22 Дополнительный набег фазы от центрального сечения до зеркала в (A.1) с учетом удвоения в поперечно двумерной задаче, где полный поперечный профильдля сферических зеркал строится перемножением профилей ˜ () и ˜ (), дляфундаментальной моды, = 0, = 0, совпадает с (A.6).Условие сшивания поля на полный обход линейного резонатора достаточно рассмотреть на оси системы, = 0.
Набег фазы за четыре прохода расстояния/2 от центрального сечения до зеркала должен отвечать целому числу волн,)︁√︀1 (︁2 + 2( + + 1) / .2 −4(++1)( = /2) = 2, =2(A.7)96Отсюда шаг частоты эрмит-гауссовых мод находится из√︂111 =√=,∆ = ∆ 2 (0)(A.8)где ∆ = / – шаг частоты продольных мод. При условии ≪ поперечныемоды расположены много ближе друг к другу, чем продольные.
Для сравненияоценим собственную частоту наклонной моды q в плоском резонаторе с расстоянием между зеркалами , и ее шаг в задаче о квантовой памяти. Условиесшивания на обход пояснено на рисунке, где длина обхода подсчитываетсяLaРисунок A.1: Длина обхода наклонной волны.не как расстояние между зеркалами, а как пробег волнового фронта до совпадения с предыдущим положением. Для малого угла ∼ / находим = 2/ cos − 2 tg sin ≈ 2(1 + 2 /2) − 22 = 2(1 − 2 /2 2 ).Волновое число моды с продольным индексом ищется из условия () =2,1() =2(1 + 2 /2()2 ) ≈ (1 + 2 /2 2 ),(A.9)2где в малой поправке не учитывается изменение волнового числа с наклоном,() → .Шаг частоты наклонных мод резонатора с плоскими зеркалами, которыеявляются взаимно ортогональными на поперечном размере атомного ансамбляи выделяют ортогональные волны спиновой когерентности (для прямоугольногообразца вещества для простоты), оценим через поперечный размер атомногоансамбля в резонаторе.
Условие, выделяющее ортогональные спиновые моды,качественно записывается через поперечные компоненты , = , , волновоговектора q как22,∆ =, =97где – целочисленный поперечный индекс. Учитывая вид (), находим шагволнового числа наклонных световых волн,(︂ )︂2 ∆ 2∆() ≈=.(A.10)который растет с номером моды, в отличие от ∆ . Сравнивая (A.8) и (A.10)находим, что если шейка поля в резонаторе со сферическими зеркалами многошире поперечника атомного ансамбля, 2 ≫ , что качественно напоминаетслучай плоских зеркал, то выполняется∆ ≪ ∆(),даже для младших наклонных мод.
При этом актуальным наклонным модам резонатора с почти плоскими зеркалами, которые выделены взаимодействием с ортогональными волнами спиновой когерентности, отвечают суперпозиции большого числа эрмит-гауссовых мод с близкими собственными частотами.Если шейка поля сравнима по поперечнику с атомным ансамблем, имеем∆ ∼ ∆().Более подробно структура и свойства ограниченных наклонных волн в резонаторе с зеркалами конечного радиуса обсуждается ниже в рамках аналогии ссостояниями квантового осциллятора.A.3Аналогия с состояниями квантового осциллятораИмеется тесная аналогия между движением во времени одномерного поперечного распределения поля в резонаторе и развитием волновой функции одномерного квантового осциллятора.
Это позволяет без дополнительных расчетоврассмотреть поведение поперечных профилей поля с гауссовой огибающей поаналогии с известным поведением глауберовского когерентного состояния (вакуумного и смещенного), а также с динамикой сжатых состояний.Проследим эту аналогию по [81] для определенности. Для механическогоосциллятора с массой и частотой оператор уничтожения вводится как(︂)︂(︂)︂√√111 + √ = √ + √ ~,=√ 2~2~98где = −~/, безразмерная координата ˜ и импульс ˜ вводятся как√︂√︂√√(︀)︀1~ = √ ˜ + ˜ , ˜ = 2 Re =, ˜ = 2 Im =.~ 2Ортонормированные осцилляторные волновые функции от безразмерной координаты есть(︂ 2 )︂(︂ )︂1/4 √︂˜11(˜)exp−.(A.11) (˜) =2 !2Сравнивая с (A.1) находим, что в шейке гауссова пучка, где кривизна равна нулю, как и фаза Гуи, эрмит-гауссовы моды совпадают по виду с осцилляторнымиволновыми функциями, причем безразмерная координата для поля в центральном сечении луча нормирована на размер шейки как√2.(A.12)˜ =(0)Осцилляторный характер поперечного движения поля в резонаторе, близком кплоскому, подчеркивается эквидистантным видом набора собственных частот,см.
(A.8), где частота осцилляций есть∆ = √1.Основное состояние с волновой функцией 0 (˜) есть вакуумное, оно жекогерентное состояние Глаубера | = 0⟩. Наклонные волны, которые мы считалисобственными в плоском резонаторе, естественно ограничить гауссовым профилем основного состояния. В квантовой аналогии им отвечают волновые функциивида0 (˜ , ˜) = 0 (˜)˜˜ .(A.13)Применяя к таким состояниям оператор импульса ˜ = −/ ˜ легко проверить,что эти волновые функции в импульсном представлении соответствуют исходному (вакуумному) состоянию, сдвинутому по импульсу на ˜, то есть ˜ → ˜ + ˜.Тем самым они являются когерентными состояниями вида | = ˜ ⟩ с чисто мнимым аргументом.Как следует из известных свойств когерентных состояний осциллятора ссобственной частотой , их развитие во времени сводится к зависимости () =(0)− .
При этом средние координата и импульс меняются соответственно какRe () = Re(˜ − ) = ˜ sin(),Im () = Im(˜ − ) = ˜ cos(),99причем неопределенность по безразмерным импульсу и координате не меняетсяи имеет одинаковую величину. Возвращаясь в координатное представление иучитывая, что возникшее выше смещение по импульсу выражается в волновойфункции осциллирующей зависимостью от координаты, находим(︀)︀(︀)︀0 (˜ , ˜, ) = 0 ˜ + ˜ sin() exp ˜ cos()˜ .(A.14)Этот результат показывает, что поперечные профили такого вида, во–первых,периодически смещаются относительно оси резонатора, и, во–вторых, периодически меняют свой наклон.Различные наклонные волны условно можно связать со слабо перекрывающимися, т. е.
достаточно разнесенными, когерентными состояниями, перекрывание которых в общем случае оценивается через′′′ 2⟨′ |′′ ⟩ = −| − | ,а для наклонных волн с гауссовой огибающей – с помощью′′′ 2⟨˜ ′ |˜ ′′ ⟩ = −|˜ −˜ | .Таким образом, шаг поперечного индекса ∆˜ ≥ 1 выделяет приближенно ортогональные поперечные моды.A.4Число поперечных мод и дифракционное ограничениеВ этом разделе мы оценим число условно ортогональных наклонныхгауссовых мод, которые могут быть возбуждены за время записи или чтения ≥ −1 , где – скорость затухания энергии поля в резонаторе, и выясним, насколько можно пренебрегать их деформацией за данное время за счет развитияполя в пустом резонаторе с зеркалами конечного радиуса.В разделе 3 выявлено дифракционное ограничение на поперечный размердеталей, разрешаемых схемой с плоскими зеркалами. Была введена характернаяпространственная частота , где2 = 2/.100(A.15)Если резонатор освещается монохроматическим сигналом на собственной частоте резонатора для волны = 0, наклонные волны = в резонаторес плоскими зеркалами имеют собственную частоту, отстроенную от на скорость затухания , и по закону отклика затухающего осциллятора возбуждаютсяслабее.
Это означает, что резонатор не поддерживает мелкие поперечные деталиволнового фронта приходящего изображения, что можно независимо объяснитьих дифракционным размыванием на длине = / пробега поля в резонатореза время жизни.Покажем, что в резонаторе с зеркалами, близкими к плоским ( ≫ ),возникает аналогичное дифракционное ограничение. Применим те же соображения, то есть ограничим отстройку собственной частоты гауссовых наклонныхволн при возбуждении резонатора монохроматическим сигналом на величиной . При этом используем приведенное выше рассмотрение для собственнойчастоты гауссовых наклонных волн в зависимости от поперечного индекса.
Дляпакета мод, отвечающего когерентному состоянию |⟩ = |˜ ⟩, средняя энергия вчастотных единицах есть∆ ⟨|† |⟩ = ∆ |˜ |2 = √|˜ |2 .(A.16)Отстройка, равная , возникает для граничного значения ˜ → ˜ , такого, что√√˜2 = (/) =.(A.17)Оценим отвечающую этому значению размерную пространственную частоту .Исходя из связи размерной и безразмерной поперечной координаты (A.12), сле√дует принять ˜ = / 2. Используя оценку (A.17) и выражение (A.5) длярадиуса шейки, находим2 = 2/,(A.18)то есть ту же предельную частоту (A.15), что для плоских зеркал. Отсюда можнозаключить, что поперечный размер «пиксела» памяти для резонатора с зеркалами большого радиуса определяется дифракционным размытием, как и в случаеплоских зеркал.
Число условно ортогональных наклонных гауссовых мод в диапазоне наклонов ±˜ оценивается как 2˜ из (A.17).Для того, чтобы за время взаимодействия поля со спинами в ячейке памяти резонатор не менял существенно наклон и положение гауссовых волновых101профилей (A.14), следует потребовать|Im ()|˙≤ 1,|Re ()|˙≤ 1,→˜ ≤ 1.Моды слишком большого наклона нарушат это ограничение, откуда следует, сучетом расщепления (A.8) эрмит-гауссовых мод, → ∆ , оценка для верхнейграницы ˜ значения допустимого поперечного индекса мод:√.(A.19)˜ ∆ ≤ 1,˜ ≤Таким образом, можно ввести ≤ ˜ условно ортогональных наклонных волн сгауссовой огибающей, которые за данное время ≥ −1 развития поля не будут значительно деформированы за счет волнового распространения поля междусферическими зеркалами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
