Автореферат (1149647), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ôîðìóëû íóìåðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ãëàâîé, â êîòîðîé îíè íàõîäÿòñÿ. Îáú¼ì ðàáîòûñîñòàâëÿåò 103 ñòðàíèöû. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû âêëþ÷àåò 125 íàèìåíîâàíèé.ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛÂî Ââåäåíèè ïðèâîäèòñÿ îáçîð ëèòåðàòóðû ïî òåìå ðàáîòû, îáñóæäàþòñÿ àêòóàëüíîñòüèññëåäîâàíèÿ, åãî òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü, íàó÷íàÿ íîâèçíà. Ãëàâå 1ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, âûïóêëîãî àíà-ëèçà, òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è íåãëàäêîãî àíàëèçà, èñïîëüçóåìûå â ñëåäóþùèõ5ãëàâàõ. ÷àñòíîñòè, ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïî Ãàòî, ñóáäèôôåðåíöèðóåìîñòè, ãèïîäèôôåðåíöèðóåìîñòè.ÏóñòüXÔóíêöèÿ âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.fíàçûâàåòñÿäèôôåðåíöèðóåìîé ïî Ãàòîïî íàïðàâëåíèÿì â äàííîé òî÷êå è îòîáðàæåíèåôóíêöèîíàë, ãäågâ òî÷êåx, åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìàg → f 0 (x, g)åñòü ëèíåéíûé íåïðåðûâíûéåñòü íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå.Ñóáäèôôåðåíöèàëîìâûïóêëîé ôóíêöèèf : X → R ∪ {+∞} â òî÷êå x íàçûâàåòñÿ ìíîæå-ñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ñóáãðàäèåíòîâ ôóíêöèèfâ òî÷êåx,ò.å.∂f (x) = {p ∈ X ∗ | f (y) − f (x) > p(y) − p(x) ∀y ∈ X},ãäåX∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæ¼ííîå ê ïðîñòðàíñòâóx → ∂f (x)ÎòîáðàæåíèåÏóñòüåìîéΩ∈Xíàçûâàåòñÿ ñóáäèôôåðåíöèàëüíûì.
íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Ôóíêöèÿíà ìíîæåñòâåΩ,X.åñëè äëÿ ëþáîãîx∈Ωf: Ω→Ríàçûâàåòñÿãèïîäèôôåðåíöèðó-ñóùåñòâóåò âûïóêëûé êîìïàêòòàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïðèðàùåíèÿ∆x ∈ X(ò. å.df (x) ∈ R × X ∗co{x, x + ∆x} ∈ Ω)ñîîòâåòñòâó-þùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ïðåäñòàâèìî â âèäåf (x + ∆x) = f (x) +max (a + ϕ(∆x)) + o(∆x, x),[a,ϕ]∈df (x)o(α∆x, x)/α → 0ÎòîáðàæåíèåÔóíêöèÿfx → df (x)íàçûâàåòñÿïðèα → 0.íàçûâàåòñÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëüíûì.íåïðåðûâíî ãèïîäèôôåðåíöèðóåìîéâ òî÷êåx ∈ Ω,åñëè îíà ãè-ïîäèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè è ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå (ïî Õàóñäîðôó) ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèådfâ ýòîé òî÷êå.Òàêæå ïðèâîäèòñÿ îïðåäåëåíèå òî÷íîé øòðàôíîé ôóíêöèè.Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó âèäàñòâî ïðîñòðàíñòâàf → inf , ãäå Ω íåêîòîðîå íåïóñòîå ïîäìíîæåx∈ΩX , à âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ fîïðåäåëåíà íàýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò.Ïóñòü ìíîæåñòâîΩçàäàíî â âèäåΩ = {x ∈ X | ϕ(x) = 0},ãäåϕ : X → [0, +∞) íåêîòîðàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.Äëÿ ëþáîãî íåîòðèöàòåëüíîãîλââåä¼ì ôóíêöèþFλ (x) = f (x) + λϕ(x),6X .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèåøòðàôíîé ôóíêöèåéêîòîðàÿ íàçûâàåòñÿïàðàìåòðîìäëÿ çàäàííûõfϕ, à ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿèøòðàôíûì.Øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãîλ > λ∗òî÷íîé øòðàôíîéλ∗ > 0, åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëîìíîæåñòâî òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèèñ ìíîæåñòâîì òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà â çàäà÷åf → inf .x∈Ωêîíñòàíòîé òî÷íîãî øòðàôà ýòîì ñëó÷àåFλλ∗òà-ñîâïàäàåòíàçûâàåòñÿ.Âàæíûì ïîíÿòèåì âûïóêëîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ îïîðíàÿ ôóíêöèÿ.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâàF ⊂ Rnîïðåäåëèìîïîðíóþ ôóíêöèþâåêòîðàψ ∈ Rnñîîòíîøåíèåìc(F, ψ) = sup(f, ψ).f ∈F Ãëàâå 2 âûâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâPk I1 (x), . .
. , In (x) ,Z TIj (x) =fj x(t), ẋ(t), t dt, j = 1, n,(1)0ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìx(0) = x0 .Pk âûðàæåíèè (1)(2) ïîëèíîì çàäàííîé êîíå÷íîé ñòåïåíèPk =`Xk ∈ N:ai F i ,i=1ãäåFi =TZmi1Zf1 dt× ... ×0Tminfn dt.0Çäåñüfj = fj (x, ẋ, t), j = 1, n,k = max(mi1 + . . . + min ), mij ∈ N ∪ {0}, ai ∈ R, i = 1, `.i=1,`ÇäåñüT >0 íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè,fj çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïîxèïðîìåæóòêåẋ, xn-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ êîîðäèíàò, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà[0, T ].Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ âåêòîð-ôóíêöèþx∗ ∈ Cn1 [0, T ],(2), êîòîðàÿ äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (1).Ïîëîæèìz(t) = ẋ(t), z ∈ Cn [0, T ].7óäîâëåòâîðÿþùóþ îãðàíè÷åíèþÎáîçíà÷èìZ Tmi1Z Tmij−1 Z Tmij −1if=fdt×...×fdt×fdt×1j−1jj000Z Tmij+1Z Tmin×fj+1 dt× ··· ×fn dt, åñëè mij > 1,00f i = 0, åñëè mi = 0,jiãäå fj=fjiZtz(τ )dτ, z, tx0 +j,i = 1, `, j = 1, n.0Äëÿ òîãî, ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ z∗ áûëà òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà Pk ,íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèéËåììà 1.`Xi=1ainXZTtj=1`Xi=1ai!∂fj∂fjdτ +mij fji = 0n ∀t ∈ [0, T ],∂x∂znX∂fj (x∗ , z ∗ , T )∂zj=1mij fji = 0n .Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ìèíèìóìà ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ ïðèìåíÿåò ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà.Äîïîëíèòåëüíî èññëåäóåòñÿ èñõîäíàÿ çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèåì íà ïðàâîì êîíöå.
Ñ ïîìîùüþ òåîðèè òî÷íûõ øòðàôîâ ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãîíåãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ìèíèìóìà äàííîãî ôóíêöèîíàëà ê çàäà÷å ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäàèëëþñòðèðóþòñÿ íà ïðèìåðàõ.Îòìå÷åíî ïðèëîæåíèå ïîëèíîìîâ îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ ê çàäà÷àì óïðàâëåíèÿ,íåêîòîðûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì è íåêîòîðûì çàäà÷àì àýðîäèíàìèêè. Ãëàâå 3 èëëþñòðèðóåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîäàãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîéîáúåêòà, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷óãäåx0 , xT ∈ Rnẋ = f (x, u, t), t ∈ [0, T ],(3)x(0) = x0 ,(4)x(T ) = xT ,(5) çàäàííûå âåêòîðû. Ñ÷èòàåì ñèñòåìó (3) óïðàâëÿåìîé èç íà÷àëüíîãî ïî-ëîæåíèÿ (4) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (5). Çäåñüâåùåñòâåííàÿn-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ,xT >0 çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè,n-ìåðíàÿ8f (x, u, t)âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò,êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü íåïðåðûâíîé ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íàãàåì[0, T ]ïðîèçâîäíîé.
Ïðåäïîëà-f (x, u, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî x è u è íåïðåðûâíîé ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì.Ïóñòüm-ìåðíîåóïðàâëåíèåuïðèíàäëåæèò ñëåäóþùåìó ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèéU = u ∈ Pm [0, T ] ZTu(t), u(t) dt 6 C ,(6)0ãäåC çàäàííàÿ êîíñòàíòà.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå, êîòîðîå ïðèíàä-ëåæèò ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé (6) è ïåðåâîäèò ñèñòåìó (3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ (4) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (5) çà âðåìÿÏîëîæèìT.z(t) = ẋ(t), z ∈ Pn [0, T ].Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàë1I(z, u) =2Tn Z+ max 0,ZTϕ(z, u, t), ϕ(z, u, t) dt+0no Xu(t), u(t) dt − C +ψi (z),0i=1ãäåZϕ(z, u, t) = z(t) − f x0 +tz(τ )dτ, u, t ,0TZψi (z) = |ψ i (z)|, ψ i (z) = x0i +zi (t)dt − xT i , i = 1, n,0àx0ii-àÿêîìïîíåíòà âåêòîðàx0 , xT ii-àÿêîìïîíåíòà âåêòîðàxT , i = 1, n.Ââåä¼ì ìíîæåñòâîΩ = z ∈ Pn [0, T ] x0 +ZTz(t)dt = xT .0Ôóíêöèîíàë I ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåËåììà 2.∂I(z, u) =nhZz(t) − f (x, u, t) −t− ∂f (x, u, t) 0∂uT ∂f (x, u, τ ) 0∂xnXXωi ei +µj ej ,z(τ ) − f (x, u, τ ) dτ +i∈I0j=1iz(t) − f (x, u, t) + 2νu ωi ∈ [−1, 1], i ∈ I0 ,µj = 0, j ∈ I0 , µj = 1, j ∈ I+ , µj = −1, j ∈ I− ,oν ∈ [0, 1], u ∈ U0 , ν = 1, u ∈ U+ , ν = 0, u ∈ U− ,ãäå I+, I−, I0 è U+, U−, U0 íåêîòîðûå èíäåêñíûå ìíîæåñòâà è ìíîæåñòâà óïðàâëåíèéñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå îïðåäåëåíû äëÿ êàæäîé òî÷êè [z, u], ei êàíîíè÷åñêèé áàçèñ â Rn,(·)0 îçíà÷àåò îïåðàöèþ òðàíñïîíèðîâàíèÿ.9Åñëè z ∈ Ω, u ∈ U , òî ôóíêöèîíàë I ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåÑëåäñòâèå 1.∂I(z, u) =nhTZ ∂f (x, u, τ ) 0z(t) − f (x, u, t) −∂xtnXz(τ ) − f (x, u, τ ) dτ +ωi ei ,i=1i ∂f (x, u, t) 0z(t) − f (x, u, t) + 2νu ωi ∈ [−1, 1], i = 1, n,−∂uoν ∈ [0, 1], u ∈ U0 , ν = 0, u ∈ U− .(7)Äëÿ òîãî, ÷òîáû óïðàâëåíèå u∗ ∈ U ïåðåâîäèëî ñèñòåìó èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå çà âðåìÿ T , íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè ñèñòåìûè äîñòàòî÷íî, ÷òîáûÒåîðåìà 1.(3)(4)(5)(3)0n+m ∈ ∂I(z ∗ , u∗ ),ãäå 0n+m íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Pn[0, T ] × Pm[0, T ], à âûðàæåíèåZ äëÿñóáäèôôåðåítöèàëà ∂I(z, u) âûïèñàíî â ôîðìóëå .
Çäåñü âåêòîð-ôóíêöèÿ x∗(t) = x0 + z∗(τ )dτ ÿâëÿåò0ñÿ ïðîãðàììíûì äâèæåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùèì èñêîìîìó ïðîãðàììíîìó óïðàâëåíèþ u∗.(7)Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèîíàëàIâû÷èñëÿåòñÿ ãèïîäèôôåðåíöèàë â òî÷êå[z, u]è â åãîòåðìèíàõ ôîðìóëèðóþòñÿ óñëîâèÿ ìèíèìóìà.Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ìèíèìóìà ê èñõîäíîé çàäà÷å ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. Ïðèìåíåíèå îïèñàííûõìåòîäîâ èëëþñòðèðóåòñÿ íà ÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ. Ãëàâå 4ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ èíòåãðàëüíûì îãðàíè-÷åíèåì íà óïðàâëåíèå è èíòåãðàëüíûì êðèòåðèåì êà÷åñòâà. Äëÿ ðåøåíèÿõ ýòèõ çàäà÷ ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ(t) = f (x, u, t), t ∈ [0, T ].Òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå(8)u∗ ∈ Pm [0, T ], óäîâëåòâîðÿþùåå èíòåãðàëüíîìó îãðàíè-÷åíèþZTu(t), u(t) dt 6 1,0êîòîðîå ïåðåâîäèò ñèñòåìó (8) èç çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿx(0) = x0(9)x(T ) = xT(10)â çàäàííîå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå10è äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëóTZf0 (x, ẋ, u, t)dt.I(x, u) =(11)0u∗Ñ÷èòàåì, ÷òî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåìîìåíò âðåìåíè,f (x, u, t) âåùåñòâåííàÿñóùåñòâóåò.
 ñèñòåìå (8)n-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ,xT >0 çàäàííûén-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò, êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü íåïðåðûâíîé ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íàèíòåðâàëå[0, T ]ïðîèçâîäíîé,um-ìåðíàÿêóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêåðóåìîé ïîxèu[0, T ].Ïðåäïîëàãàåìf (x, u, t)íåïðåðûâíî äèôôåðåíöè-è íåïðåðûâíîé ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì. ôóíêöèîíàëå (11)f0 (x, ẋ, u, t) âåùåñòâåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ áóäåì ñ÷èx, ẋòàòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïîÏîëîæèìâåêòîð-ôóíêöèÿ óïðàâëåíèé, êîòîðóþ ñ÷èòàåìz(t) = ẋ(t), z ∈ Pn [0, T ].èuè íåïðåðûâíîé ïî âñåì ÷åòûð¼ì àðãóìåíòàì.Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàënhn ZXFλ (z, u) = I(z, u)+λΦ(z, u) = I(z, u)+λ ϕ(z, u)+ψi (z)+max 0,Toiu(t), u(t) dt−1 ,(12)0i=1ãäåsZTZtz(t) − f x0 +ϕ(z, u) =0z(τ )dτ, u, t , z(t) − f x0 +Z0tz(τ )dτ, u, t dt,0ψi (z) = ψ i (z), ψ i (z) = x0i +TZzi (t)dt − xT i , i = 1, n,0àx0ii-àÿêîìïîíåíòà âåêòîðàx 0 , xT ii-àÿêîìïîíåíòà âåêòîðàxT , i = 1, n, λ > 0íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.Ââåä¼ì ìíîæåñòâàΩ = [z, u] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ] Φ(z, u) = 0 ,Ωδ = [z, u] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ] Φ(z, u) < δ .Ïóñòü íàéä¼òñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî λ0 < ∞, ÷òî ∀λ > λ0 ñóùåñòâóåòòî÷êà [z(λ), u(λ)] ∈ Pn[0, T ]×Pm[0, T ], äëÿ êîòîðîé Fλ z(λ), u(λ) = [z,u]inf Fλ (z, u).
Ïóñòü òàêæåôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì íà ìíîæåñòâå Ωδ \ Ω. Òîãäà ôóíêöèîíàëáóäåòòî÷íîé øòðàôíîé ôóíêöèåé.Òåîðåìà 2.(12)Ââåä¼ì ìíîæåñòâàΩ1 = z ∈ Pn [0, T ] x0 +ZTz(t)dt = xT ,0 TΩ2 = u ∈ Pm [0, T ] u(t), u(t) dt 6 1 ,0Ω3 = [z, u] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ] ϕ(z, u) = 0 .Z11Åñëè [z, u] ∈ Ω3, z ∈ Ω1, u ∈ Ω2, òî ôóíêöèîíàë Fλ ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãîñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåËåììà 3.Z T 0X∂f∂f0∂f0∂Fλ (z, u) =dτ ++ λ v(t) −v(τ )dτ +ωi ei ,∂x∂z∂xtti∈I0i0∂f∂f0+λ −v(t) + 2νu(t) ωi ∈ [−1, 1], i = 1, n,∂u∂uZ Tov(t), v(t) dt 6 1 ,ν ∈ [0, 1], u ∈ U0 , ν = 0, u ∈ U− , v ∈ Pn [0, T ],nh ZT(13)0ãäå U−, U0 íåêîòîðûå ìíîæåñòâà óïðàâëåíèé, êîòîðûå îïðåäåëåíû äëÿ êàæäîé òî÷êè [z, u],ei êàíîíè÷åñêèé áàçèñ â Rn , (·)0 îçíà÷àåò îïåðàöèþ òðàíñïîíèðîâàíèÿ.Òåîðåìà 3. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óïðàâëåíèå u∗ ∈ Ω2 ïåðåâîäèëî ñèñòåìóèç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèåè äîñòàâëÿëî ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó , íåîáõîäèìî,à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè ñèñòåìû è âûïóêëîñòè ôóíêöèîíàëàè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû(8)(9)(10)(11)(8)(11)0n+m ∈ ∂Fλ (z ∗ , u∗ ),ãäå 0n+m íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Pn[0, T ] × Pm[0, T ], à âûðàæåíèå äëÿ ñóáäèôôåðåíöèàëà ∂Fλ(z, u) âûïèñàíî â ôîðìóëå .(13)Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèîíàëàFâû÷èñëÿåòñÿ ãèïîäèôôåðåíöèàë â òî÷êå[z, u]è â åãîòåðìèíàõ ôîðìóëèðóþòñÿ óñëîâèÿ ìèíèìóìà.Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ìèíèìóìà ê èñõîäíîé çàäà÷å ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
