Автореферат (1149647), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðèìåíåíèå îïèñàííûõìåòîäîâ èëëþñòðèðóåòñÿ íà ÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ. Ãëàâå 5 ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå ñ çàäàííûìè ìíîãîçíà÷íûìîòîáðàæåíèåì è íà÷àëüíîé òî÷êîé. Äëÿ ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå, äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì èíòåãðàëüíîìó ôóíêöèîíàëó. Ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè îïîðíîé ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì ïîëó÷åíû íåêîòîðûå êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòûïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé.Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèåẋ ∈ F (x, t)(14)x(0) = x0 .(15)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì ôîðìóëå (14)F (x, t) çàäàííîå íåïðåðûâíîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïðèt ∈ [0, T ], xn-ìåðíàÿ íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà [0, T ]12ïðîèçâîäíîé,âðåìåíèT > 0t ∈ [0, T ] çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäîìó ìîìåíòóx ∈ Rnè êàæäîé ôàçîâîé òî÷êåíåêîòîðûé âûïóêëûé êîìïàêò èçôóíêöèÿF (x, t)ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèåRn .x∗ ∈ Cn [0, T ],Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ âåêòîð-ôóíêöèþÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì âêëþ÷å-íèÿ (14) è óäîâëåòâîðÿþùóþ íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (15), êîòîðàÿ äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëóTZI(x) =f0 (x, t)dt,(16)0ãäåf0 çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ ïî îáîèì àðãóìåíòàì èíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïîÎáîçíà÷èìx.z(t) = ẋ(t), z ∈ Pn [0, T ].Ââåä¼ì ôóíêöèèl(ψ, z, t) = (z, ψ) − c(F, ψ),h(z, t) = max max 0, l(ψ, z, t) ,ψ∈SsZTh2 (z, t)dtϕ(z) =0è ñîñòàâèì ôóíêöèîíàëΦλ (z) = I(z) + λϕ(z),ãäåλ íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,S åäèíè÷íàÿ ñôåðà â ïðîñòðàíñòâåRn .Ââåä¼ììíîæåñòâîΩ = {z ∈ Pn [0, T ] | ϕ(z) = 0},Åñëè îïîðíàÿ ôóíêöèÿ c(F, ψ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (x, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé x, òî:Ëåììà 4.ïðè z ∈/ Ω ôóíêöèîíàë ϕ äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî è åãî ãðàäèåíò â òî÷êå z íàõîäèòñÿïî ôîðìóëåZ T∗h(z, t) ∗ψ (t) −ϕ(z)∇ϕ(z) =th(z, τ ) ∂c(F (x, τ ), ψ (τ ))dτ,ϕ(z)∂xïðè z ∈ Ω ôóíêöèîíàë ϕ ñóáäèôôåðåíöèðóåì è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå z íàõîäèòñÿïî ôîðìóëåZn∂ϕ(z) = w(t)ψ(t) −To∂c(F (x, τ ), ψ(τ )) dτ w ∈ W, ψ(t) ∈ R(t) ,∂xtnoR(t) = ψ(t) ∈ B(0, 1) | max{0, l(ψ, z, t)} = max max{0, l(ψ, z, t)} ,w(τ )ψ(t)∈B(0,1)ZW = {w ∈ P [0, T ] |Tw(t), w(t) dt 6 1; w(t) > 0 ∀t ∈ T0 , w(t) = 0 ∀t ∈ T− },013ãäå T0, T− íåêîòîðûå ìíîæåñòâà òî÷åê t èç îòðåçêà [0, T ], êîòîðûå îïðåäåëåíû äëÿ êàæäîéôèêñèðîâàííîé òî÷êè z, B(0, 1) åäèíè÷íûé øàð ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå Rn, ψ∗(t) ∈ S îïðåäåë¼ííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ.Ïóñòü òî÷êà z0 ∈ Ω ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ôóíêöèîíàëà I íà ìíîæåñòâå Ω â ìåòðèêå ρ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèÒåîðåìà 4.Ωδ = {z ∈ Pn [0, T ] | ρ(z, z0 ) < δ}òî÷êè z0 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåϕ↓ (z) 6 −a < 0 ∀z ∈ Ωδ \ Ω.Ïóñòü òàêæå ôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì íà ìíîæåñòâå Ωδ . Òîãäà ñóùåñòâóåòòàêîå ÷èñëî λ∗, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ > λ∗ òî÷êà z0 áóäåò ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ôóíêöèîíàëàΦλ â ìåòðèêå ρ.Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ Òåîðåìû 4.
Ïóñòü òàêæå îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî x. Äëÿ òîãî, ÷òîáûZ t F (x, t) èçè óñëîâèþè äîñòàâëÿëàòî÷êà x∗(t) = x0 + z∗(τ )dτ óäîâëåòâîðÿëà âêëþ÷åíèþ0ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó , íåîáõîäèìî, ÷òîáû íàøëàñü òàêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Ψ(t), ÷òîäëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [0, T ] âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿÒåîðåìà 5.(14)(14)(15)(16)Ψ̇(t) = −∂c(F (x∗ , t), Ψ(t)) ∂f0 (x∗ , t)+,∂x∂x(17)(ẋ∗ , Ψ(t)) − c(F (x∗ , t), Ψ(t)) = 0,(18)Ψ(T ) = 0.(19)Òåîðåìà 5 ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ çàäà÷è ñî ñâîáîäíûì ïðàâûì êîíöîì. Íåòðóäíî ïîêàçàòü,÷òî ñîîòíîøåíèÿ (17), (18) áóäóò èìåòü ìåñòî è äëÿ çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì ïðàâûì êîíöîì,îäíàêî êîíöåâîå çíà÷åíèåΨ(T ) äëÿ ýòîé çàäà÷è â îáùåì ñëó÷àå áóäåò íåíóëåâûì, òî åñòü çäåñü(19) óæå íå áóäåò èìåòü ìåñòà.Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðàõ. Ãëàâå 6ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ÎÄÓ.
Ýòà çàäà÷àñâîäèòñÿ ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà.Ðàññìîòðèì ñèñòåìóẋ = f (x, t), t ∈ [0, T ],(20)x(0) = x0 .(21)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì14ÇäåñüT íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè,êîîðäèíàò,x ∈ Cn1 [0, T ], f (x, t)x èñêîìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿn-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ,x0 ∈ Rn çàäàííûé âåêòîð.
Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (20), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (21). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ (20), (21) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ïèêàðà.Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (20), (21) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Ïîëîæèìz(t) = ẋ(t), z ∈ Cn [0, T ]è ââåä¼ì ôóíêöèîíàëTZ1I(z) =2ϕ(z, t), ϕ(z, t) dt,(22)0ãäåZϕ(z, t) = z(t) − f x0 +tz(τ )dτ, t .0Ëåììà 5.ôîðìóëåÔóíêöèîíàë I äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî, è åãî ãðàäèåíò â òî÷êå z âûðàæàåòñÿ ïîZT∇I(z) = z(t) − f (x, t) − ∂f (x, τ ) 0∂xtÄëÿ òîãî, ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿz∗z(τ ) − f (x, τ ) dτ.áûëà òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (22), íåîáõî-äèìî, à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè èñõîäíîé ñèñòåìû è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ∗∗Zz (t) − f (x , t) −tãäå0nT ∂f (x∗ , τ ) 0∂xz ∗ (τ ) − f (x∗ , τ ) dτ = 0n ∀t ∈ [0, T ],Ztz ∗ (τ )dτ .0Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ìèíèìóìà ê èñõîäíîé çàäà÷å ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîä íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà∗Cn [0, T ], x (t) = x0 +íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé.
Ïðèâîäÿòñÿ ÷èñëåííûå ïðèìåðûðåàëèçàöèè ýòèõ ìåòîäîâ. Äîïîëíèòåëüíî èññëåäóåòñÿ çàäà÷à Êîøè, êîãäà ñèñòåìà ÎÄÓ íåðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ. Çàêëþ÷åíèè äà¼òñÿ êðàòêèé îáçîð âñåé ðàáîòû ñ ïåðå÷èñëåíèåì ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è îáñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå íàïðàâëåíèÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.ÏÓÁËÈÊÀÖÈÈ ÏÎ ÒÅÌÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈÏóáëèêàöèè â èçäàíèÿõ, âõîäÿùèõ â ïåðå÷åíü ÂÀÊ ðåöåíçèðóåìûõ íàó÷íûõæóðíàëîâ:1.Ôîìèíûõ À. Â. Ãðàäèåíòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ íåëèíåéíîéñèñòåìû ÎÄÓ // Èçâ. Ñàðàò. óí-òà.
Íîâ. ñåð. Ñåð. Ìàòåì. Ìåõ. Èíô. 2014. Âûï. 3.Ñ. 311316.152.Ôîìèíûõ À. Â. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõôóíêöèîíàëîâ // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ 10. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2015. Âûï. 2. Ñ. 93107.3.Ôîìèíûõ À. Â., Êàðåëèí Â. Â. Òî÷íûå øòðàôû â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ îïòè-ìàëüíîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ // Òðóäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ. 2015. T.
21. 3. Ñ. 153163.4.Ôîìèíûõ À. Â. Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ10. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2016. Âûï. 1.Ñ. 117124.5.Ôîìèíûõ À. Â. Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿîïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ10.
Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2016. Âûï. 3.Ñ. 106125.Ïóáëèêàöèè â äðóãèõ èçäàíèÿõ:6.Fominyh A. V.The subdierential descent method in the optimal control problem //The XLVI annual international conference on Control Processes and Stability (CPS'15). Abstracts St. Petersburg: Publishing House Fedorova G.V. 2015, vol. 2(18), pp. 90-95.7.Ôîìèíûõ À. Â.Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ê çàäà÷å ïî-ñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ // Óñòîé÷èâîñòü è ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. Ìàòåðèàëû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè, ïîñâÿù¼ííîé 85-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ ïðîôåññîðà, ÷ë.-êîðð. ÐÀÍÂ.
È. Çóáîâà, 2015. Ñ. 557558.8.Ôîìèíûõ À. Â.Òî÷íûå øòðàôû â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ äèô-ôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ / Òåçèñû äîêëàäîâ XVI Áàéêàëüñêîé ìåæäóíàðîäíîé øêîëûñåìèíàðà ¾Ìåòîäû îïòèìèçàöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ¿. 2014. Ñ. 136.9.Ôîìèíûõ À. Â.Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà â çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ îïòè-ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ / XV Âñåðîññèéñêàÿ êîíôåðåíöèÿ ¾Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèåè ïðèëîæåíèÿ¿. 2015.
Ñ. 228229.10.Fominyh A. V., Karelin V. V., Polyakova L. N. Exact Penalties and DierentialInclusions // Electron. J. Di. Equ., vol. 2015 (2015), no. 309, pp. 113.11.Fominyh A. V. Application of the Hypodierential Descent Method to theProblem of Constructing an Optimal Control // IEEE 2015 International Conference¾Stability and Control Processes¿ in Memory of V.I. Zubov (SCP), pp. 560563.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
