Диссертация (1149645), страница 15
Текст из файла (страница 15)
d n x n 1 b1x b2 x 2 ... bm x mгде m, n, k (m ≥ 2, n ≥ 2, 0 ≤ k < m). Этот метод выражен теоремами 2.1, 2.2 и2.3 (с. 38, 47, 50). Известный ранее алгебраический метод ([81], [67]) вычисленияпроизведенийАдамарарациональныхфункцийтребуетвычисленияопределителей порядка m + n. С помощью методов комбинаторного анализа илинейной алгебры порядок определителей автором снижен до величиныmin(m, n), что расширяет возможности применения произведения Адамара дляполучения решения конкретных задач в явном виде, поскольку в этом случаепорядокопределителейотвеличиныmax(m, n)независит,онравенпроизвольному, но фиксированному числу min(m, n).2)С помощью доказанной автором теоремы 2.1 получено общее решениезадачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×r плитками размеров1×1, 1×m и 1×n, а для n = 3 формулы получены автором в явном виде (формула(2.2), с.
41). Решение этой задачи в частных случаях (при n = 2) с помощьюкомбинаторных методов ранее опубликовали в своих работах Л. Шапиро [99] иЙ.Х. Ким ([95], [96]).1263)С помощью доказанных автором теорем 2.2 и 2.3 получено общеерешение задачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×r плиткамипроизвольнойдлины.Полученныйавторомновыйприемвычисленияпроизведения Адамара рациональных функций позволяет в данной задаче снятьограничения на длину плитки и решить известную ранее задачу в новойпостановке.4)Спомощьюполученногоавторомновогометодавычисленияпроизведения Адамара рациональных функций (теорема 2.1) решена задачаперечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора наслагаемые (первая компонента разбивается на слагаемые 1 и n, а вторая – наслагаемые 1 и m, где m, n – произвольные целые числа, m ≥ 2, n ≥ 2).
Ранее этазадача была решена только в частных случаях при n = 2 [80, с. 367].5)С помощью доказанных автором теорем 2.2 и 2.3 решена задачаперечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора напроизвольные слагаемые. Полученный автором новый метод вычисленияпроизведения Адамара рациональных функций позволяет в данной задаче снятьограничения на величину слагаемого и решить известную ранее задачу в новойпостановке.6)Комбинаторным методом автором получены явные формулы длявычисления производящей функции суммы весов замощений прямоугольникаплитками по числу типов взаимного расположения плиток при m = 2, n = 2(теорема 2.4, с. 70), а также при m = 2, n ≥ 2 (теорема 2.5, с. 74). Объектисследования в данном случае является новым.7)Получено общее решение задач вычисления производящей функциивесов замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимногорасположения плиток, а также вычисления производящей функции весовразбиений (решение выражено сформулированной и доказанной авторомтеоремой 2.6, с.
78). Решение получено с применением метода трансфер-матрицы,что по сравнению с комбинаторным методом позволяет снять ограничения надлину плитки, а также на величину слагаемого в разбиении.1278)С применением произведения Адамара автором явно вычисленыпроизводящиефункциираспределенийнекоторыхстатистикотсерийрекуррентных событий (теорема 3.1, с. 90; теорема 3.2, с. 92), производящиефункции распределений некоторых статистик от осциллирующего случайногоблуждания (теорема 3.4, с. 109), а также производящая функция вероятностейтого, что в случайном процессе на каком-то шаге появится прямоугольникразмера k×n, состоящий из m плиток (теорема 3.6, с. 117; теорема 3.7, с. 118).Явновычисленыраспределениянекоторыххарактеристикслучайныхпоследовательностей при условии, что производящие функции исходныхслучайных величин рациональны. Ранее произведение Адамара в задачахисследования распределений статистик от серий указанных выше случайныхсобытий не применялось.
Применение произведения Адамара позволяет явновычислить производящие функции распределений некоторых характеристикслучайных последовательностей в тех случаях, в которых их явное вычисление спомощью комбинаторных методов затруднительно.128Список литературы1.Айзенберг Л.А., Лейнартас Е.К. Многомерная композиция Адамара иядра Сеге // Сибирский математический журнал. 1983. Т. 24, №3. С.
3-10.2.Амелькин В.А.Перечисление,кодированиеигенерированиепоследовательностей с ограничениями на длины минимальных серий //Сибирский журнал вычислительной математики. 2003. Т. 6, №2. С. 101-111.3.Афанасьев В.И. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы:Лекционные курсы НОЦ. Вып. 6. М.: МИАН, 2007. 188 с.4.Афанасьева Л.Г.,Булинская Е.В.Некоторыеасимптотическиерезультаты для случайных блужданий в полосе // Теория вероятностей и ееприменения.
1984. Т. 29, вып. 4. С. 654-668.5.Балагура А.А.,Кузьмин О.В.Перечислительныесвойствакомбинаторных полиномов разбиений // Дискретный анализ и исследованиеопераций. 2011. Т. 18, №1. С. 3-14.6.Баранский В.А., Королева Т.А. Решетка разбиений натурального числа //Доклады Академии наук. 2008. Т. 418, вып. 4. С. 439-442.7.Бибербах Л. Аналитическое продолжение: Пер.
с нем. М.: Наука, 1967.8.Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдуториал УРСС, 1999. 470 с.9.Боровков А.А., Рузанкин П.С. Переходные явления для случайных240 с.блужданий при отсутствии математического ожидания скачков // Сибирскийматематический журнал. 2009. Т. 50, №5. С. 987-1009.10. Вершик А.М., Якублович Ю.В. Асимптотика равномерной меры насимплексах, случайные композиции и разбиения // Функциональнй анализ и егоприложения. 2003. Т.
37, вып. 4. С. 39-48.11. Гончаров В.Л. Из области комбинаторики // Известия АН СССР. Серияматем. 1944. Т. 8, №1. С. 3-48.12912. Горбайчук В.И., Кузьмич В.И. О некоторых свойствах адамаровскихкомпозиций регулярных в круге функций // Украинский математический журнал.1975.
Т. 27, №1. С. 74-81.13. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ.М.: Наука, 1990. 504 с.14. Де Вальк В. Процессы со свойством 1-зависимости и их представлениев гильбертовом пространстве // Теория вероятностей и ее применения. 1992. Т.
37,№1. С. 149-153.15. Денисов Д.Э., Фосс С.Г. Об условиях невозвратности для цепейМаркова и случайных блужданий // Сибирский математический журнал. 2003.Т. 44, №1. С. 53-68.16. Елин М.М.МногомернаякомпозицияАдамара//Сибирскийматематический журнал. 1994. Т. 35, №5. С. 1052-1057.17. Жук С.Н.Обонлайн-алгоритмахупаковкипрямоугольниковвнесколько полос // Дискретная математика. 2007. Т. 19, вып. 4. С. 117-131.18. Захари С., Фосс С.Г. О точной асимптотике максимума случайногоблуждания с приращениями из одного класса распределений с тонкими хвостами// Сибирский математический журнал. 2006. Т. 47, №6. С.
1265-1274.19. Зубков А.М. Оценки для сумм конечно-зависимых индикаторов и длямомента первого наступления редкого события // Труды Математическогоинститута АН СССР. 1986. Т. 177. С. 33-46.20. Зубков А.М., Михайлов В.Г. Предельные распределения случайныхвеличин,связанныхсдлиннымиповторениямивпоследовательностинезависимых испытаний // Теория вероятностей и ее применения.
1974. Т. 19,вып. 1. С. 173-181.21. Ким Д.К.Асимптотическийанализосциллирующихслучайныхблужданий с двумя уровнями переключений // Математические труды. 2005. Т. 8,№2. С. 137-167.13022. Ким Д.К., Лотов В.И. Асимптотика стационарного распределенияосциллирующего случайного блуждания // Сибирский математический журнал.2004. Т. 45, №5. С. 1112-1129.23.
Ким Д.К., Лотов В.И. Об осциллирующих случайных блужданиях сдвумя уровнями переключений // Математические труды. 2003. Т. 6, №1. С. 34-74.24. Коганов Л.М.О числе парнезависимыхразбиенийконечногомножества // Комбинаторный и асимптотический анализ. Красноярск: Изд-воКрасноярского ун-та, 1975. С. 71-80.25.
Коганов Л.М.Ободном ориентированномграфе, связанномсупорядоченной парой упорядоченных разбиений // Математические заметки.1987. Т. 41, №1. С. 101-103.26. Коршунов А.Д. Об асимптотике числа бинарных слов с заданнойдлиной максимальной серии // Дискретный анализ и исследование операций.1997. Т. 4, №4. С. 13-46.27. Косточка А.В., Мазуров В.Д., Савельев Л.Я. Число q-ичных слов сограничениями на длину максимальной серии // Дискретная математика. 1998.Т. 10, вып. 1. С. 10-19.28.
Кривоколеско В.П., Лейнартас Е.К. О тождествах с полиномиальнымикоэффициентами // Известия Иркутского государственного университета. Сер.Математика. 2012. Т. 5, №3. С. 56-62.29. Кузьмин О.В.Рекуррентныесоотношенияиперечислительныеинтерпретации некоторых комбинаторных чисел и полиномов // Дискретнаяматематика. 1994. Т. 6, вып. 3. С. 39-49.30. Кузьмин О.В., Леонова О.В. О полиномах разбиений // Дискретнаяматематика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
