Диссертация (1149645), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Найдем производящую функцию U  y0 , y1,... рассмотреннойвыше последовательности при подстановке xi 1 y при i  r ,yi  при i  r.097В силу равенства (3.1) получаемnU  y0 , y1 ,...   Pnr,k x n y k ,n 1 k 1где Pnr,k– вероятность того, что в последовательности из n испытанийрекуррентное событие E произошло k раз, причем событие E произошло напоследнем месте подпоследовательностей, длина которых не превышает r + 1.Далее находимx r 1t r 1  1.z0  t , y0 , y1 ,...   yn1t  y  x t  yxtxt  1n 1n 1r 1nn nПо теореме 3.2 с использованием свойства дистрибутивности произведенияАдамара и свойства (1.11) находимx r 1t r 1  1pt F  y0 , y1,...   yxt xt  11  qt  t 1 pqyxt q r 1 x r 1t r 1  1 x r 1t r 1  1 p  1  yxt  1    xt1q1qtqqxt1  t 1  t 1 pyxt 1  qxt  q 2 x 2t 2  ...

 q r x r t r t 1 pxy 1  qx  q 2 x 2  ...  q r x r  .Отсюда по теореме 3.1 следуетpxy 1  qx  q 2 x 2  ...  q r x r F  y0 , y1 ,....U  y0 , y1 ,... 1  F  y0 , y1 ,... 1  pxy 1  qx  q 2 x 2  ...  q r x r П р и м е р 3.4. При подстановке xi 1 y0 ,yi  i 1 x y1 ,если i  четное,если i  нечетное,98для рассмотренной в примере 3.1 последовательности найдем производящуюфункцию U  y0 , y1,... .По формуле (3.1) получаемnU  y0 , y1 ,...  n 1 k 1 s0  s1 kPns,0k,s1 x n y0s0 y1s1 ,где Pns,0k,s1 – вероятность того, что в последовательности из n испытанийрекуррентное событие E произошло k раз, причем событие E произошло напоследнемместеs0подпоследовательностейнечетнойдлиныиs1подпоследовательностей четной длины,n1i 0i 0z0  t , y0 , y1,...   yn1t n  y0  x 2i 1t 2i 1  y1  x 2i 2t 2i 2 .Воспользовавшись формулой (3.4), а также свойством дистрибутивностипроизведения Адамара и свойством (1.11), получаем pt F  y0 , y1,...    y0  x 2i 1t 2i 1  y1  x 2i 2t 2i 2   1qti 0  i 0 t 1   2i 1 2i 1 p 1   y0  x t  y1  x 2i 2t 2i 2    1  i 0 q  1  qt   t 1  i 0p   2i 1 2i 1 2i 1  y0  x q t  y1  x 2i 2q 2i 2t 2i 2  q  i 0i 0 t 1p  y0 xqty1 x 2q 2t 2 y  y xqt y  y xq  pxt 0 2 1 2 2   px 0 21 2 .2 2 22 2 2 q  1  x q t 1  x q t  t 1 1  x q t  t 11 x qПрименяя теорему 3.1, находимU  y0 , y1 ,... F  y0 , y1 ,...px  y0  y1 xq .1  F  y0 , y1 ,... 1  x 2q 2  px  y0  y1xq 99П р и м е р 3.5.

Найдем производящую функцию U  y0 , y1,... рассмотреннойв примере 3.1 последовательности при подстановке yi  xi 1 y  i  0, 1, ... .В силу равенства (3.1) имеемnnU  y0 , y1 ,...   Pn,k x n y k   Cnk11 p k q nk x n y k n 1 k 1 n 1  Csn1n 1 s 0 py s 1qn 1 k 1 n1x  pxy  Cns1  py  q n1s x n1 n  s 1 nn 1 s 0 pxy   q  py n 1x n1 n 1где Pn ,kspxy,1   q  py  x(3.10)– вероятность того, что рекуррентное событие E произошло впоследовательности из n испытаний k раз.Далее находимz0  t , y0 , y1 ,...   yn1t  y  x nt n nn 1n 1xyt.1  xtИспользуя произведение Адамара, получаем xyt xytpt p 1F  y0 , y1,...    1    1  xt 1  qt  t 1  1  xt q  1  qt   t 1p qxytpxy.q 1  qxt t 1 1  qxОтсюда имеемU  y0 , y1 ,... F  y0 , y1 ,...pxy,1  F  y0 , y1 ,... 1   q  py  xчто совпадает с результатом (3.10).П р и м е р 3.6.

Найдем производящие функции U  y0 , y1,... и F  y0 , y1,...рассмотренной выше последовательности при подстановке100 xi 1yi  i 1x yпри i  0,при i  0в равенства, их определяющие.В этом случае функция U  y0 , y1,... принимает видnU  y0 , y1 ,...  n 1 k 1 d  d0 kPnd,k0 ,d x n y d ,где Pnd,k0 ,d – вероятность того, что в последовательности из n испытанийрекуррентное событие E произошло k раз, причем событие E произошло напоследнемместеподпоследовательностейd0единичнойдлиныподпоследовательностей, длина которых превышает единицу.Далее находимx 2 yt 2.z0  t , y0 , y1 ,...   yn1t  xt  y  x t  xt 1  xtn 1n2nn nИспользуя произведение Адамара, получаемx 2 yt 2 pt F  y0 , y1,...    xt  1xt1qt t 1x 2 yt 2  p  1pq 2 x 2 yt 2    xt  1    qxt   1xtq1qtq1qxt  t 1 t 1pqx 2 y px 1  qx  qxy  px .1  qx1  qxОтсюда имеемU  y0 , y1 ,... F  y0 , y1 ,...px 1  qx  qxy 1  F  y0 , y1 ,... 1  qx  px 1  qx  qxy иd101Такимобразом,px 1  qx  y  1 1  x  pqx 2  y  1авторомпоказано,.чтопосредствомвычисленияпроизведения Адамара с использованием теорем 3.1 и 3.2 можно находитьпроизводящиефункциираспределенийразличныхстатистикотсерийрекуррентных событий.

Решение задач данного типа с применением произведенияАдамара имеет явные преимущества по сравнению с комбинаторным методом,поскольку в данном случае для вычисления производящей функции (3.1) нетребуется непосредственно вычислять вероятность Pi1 ,i2 ,...,ik , что значительноупрощает решение.3.2 Вычислениераспределенийнекоторыхстатистикотосциллирующего случайного блужданияВероятности некоторых событий, а также условные распределения намножестве решений линейного неравенства между целочисленными случайнымивеличинами могут быть выражены через произведения Адамара.

Справедливаследующая сформулированная и доказанная автором теорема.Т е о р е м а 3.3. Пустьf  x    P  X  k  xkk 0иg  x    P Y  k  x kk 0производящиефункциинезависимыхнеотрицательныхцелочисленныхслучайных величин X и Y. Тогда справедливы следующие свойства: f t  g t   ;1) P  X  Y    1 t t 1102g t  2) P  X  Y    f  t   ;1t t 13) P  X  Y    f  t   g  t  t 1; tf  t 4) P  X  Y    g t   ; 1 t t 1t g t  5) P  X  Y    f  t   ;1  t  t 1k f t 1 g t   ;P  X  Y   1  tx t 1kg t  1 f t   ;P X  Y  1  tx  t 16) P Y  X  k X  Y  xk 07)P X  Y  k X  Y  xk 08) P Y  X  k X  Y  x k k 09)P X  Y  k X  Y  xk 0k txf  t 1 g t   ;P  X  Y   1  tx t 1txg  t  1ft .P X  Y  1  tx  t 1Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Левую часть доказываемого равенства можнопредставить в следующем виде: P  X  Y   P    X  m Y  m   . m 0Так как события  X  m Y  m  при m = 0, 1,… попарно несовместны, тоP  X  Y    P   X  m Y  m   m 0103    P  X  m  P Y  m  t m   m 0 t 1 m     P  X  m  t     P Y  m  t m   .  m 0  t 1  m 0Поскольку производящие функции f(x) иh  x    P  X  m xmm 0связаны равенствомh x f  x,1 xто f t P X  Y    g t   , 1 t t 1что и требовалось доказать.2) Воспользовавшись свойством 1), доказанным выше, а также свойствомкоммутативности произведения Адамара:    f  x   g  x     am x m     bm x m    ambm x m  m 0  m 0 m 0     bm am x m    bm x m  *   am x m   g  x  * f  x  ,m 0 m 0  m 0получаемg t   g t P  X  Y   P Y  X    f t     f t   .1t1t t 1  t 13) Рассмотрим левую часть доказываемого равенства104  P  X  Y   P    X  m Y  m     P   X  m Y  m    m 0 m 0    P  X  m  P Y  m  t m   m 0 t 1 m     P  X  m  t     P Y  m  t m     f  t   g  t   .t 1  m 0  t 1  m 04) Покажем,чтопроизведениеАдамараобладаетсвойствомдистрибутивности: f  x   g  x   h  x   f  x   h  x   g  x   h  x  .Пустьm 0m 0m 0f  x    am x m , g  x    bm x m , h  x    cm x m .Тогда mm  f  x   g  x    h  x     am x   bm x     cm xm  m 0 m 0  m 0 m m    am  bm  x     cm x     am  bm  cm x m  m 0  m 0 m 0  amcm x   bmcm x m mm 0m 0          am x m     cm x m     bm x m     cm x m   m 0  m 0  m 0  m 0 f  x  h x  g  x  h x .Применяя свойства 1) и 3), доказанные выше, а также свойстводистрибутивности произведения Адамара, получаемP X  Y   P X  Y   P X  Y  105 f t  g t     f t   g t  t 1 1 t t 1  f t  f t  g t   f t   g t      f t    g t    1 t t 1   1  t t 1 f t   f t   t f t  t f t  g t     g t   .1 t t 1  1  t t 15) Свойство непосредственно вытекает из свойства 4):t g t   t g t P  X  Y   P Y  X    f t     f t   .1  t  t 1 1 t t 1 6) Если k = 0, 1,…, тоY  X  k    X  Y  ;тогдаY  X  k  X  Y   Y  X  k  .Следовательно,k 0k 0 P Y  X  k X  Y  x k  P  Y  X  k  X  Y  P X  Y xk 1P Y  X  k  x k P  X  Y  k 0 1P Y  m  P  X  m  k  x k .P  X  Y  k 0 m  kРассмотрим правую часть доказываемого равенства f t 1gt P  X  Y   1  tx t 1(3.11)106 1k k  fttxP Y  m  t m     P  X  Y    k 0  m 0  t 1     1j k k     P  X  j  t  t x     P Y  m  t m  P  X  Y    k 0  j 0   m 0  1j k k  mPXjtxPYmt       P  X  Y    k 0 j 0  m 0t 1t 1  1m k  PXmktx    P Y  m  t m      P  X  Y    k 0 m  k  m 0  t 1   m1k  m PXmkxt     P Y  m  t m      P  X  Y    m 0  k 0   m 0t 11  mP  X  m  k  x k P Y  m  t m  P  X  Y   m 0 k 0 t 1 1P Y  m  P  X  m  k  x k ,P  X  Y  k 0 m  kчто совпадает с правой частью (3.11).7) В равенстве 6) заменяемf  xнаg  xи наоборот, а такжеодновременно заменяем X на Y и наоборот.

Характеристики

Список файлов диссертации