Диссертация (1149594), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , — весами. Носи­тель плана будем далее обозначать как supp( ). Точный план экспериментаопределяет, при каких условиях (то есть в каких точках 1 , . . . , из множествапланирования ) и в каком количестве (определяемом числами 1 , . . . , ) экс­периментатору необходимо совершить измерения при условии, что общее числодоступных измерений равно . Тут мы предполагаем, что измерения при раз­личных условиях, то есть в различных точках множества , имеют одинаковуюцену. В сущности, мы всегда хотели бы видеть точный план в качестве конеч­ного результата планирования эксперимента, так как точный план реализуемна практике.Наряду с точными планами эксперимента, Кифером в работе [24] быловведено в употребление более общее понятие приближенного плана, где рацио­нальные веса заменяются на положительные вещественные. Дискретную веро­ятностную меру , задаваемую таблицей[︃]︃1 .

. . =,1 . . . ∈ , ≥ 0,∑︁ = 1,(1.5)=1принято называть приближенным планом эксперимента (approximate experi­mental design). Приближенный план удобнее тем, что в отличии от точного онне зависит от числа доступных наблюдений . Также в классе приближенныхпланов, как мы впоследствии увидим, задача оптимального планирования экспе­римента в некоторых частных случаях может быть решена аналитически. Длятех же случаев, когда аналитическое решение не удается получить, существуют18достаточно простые численные процедуры, позволяющие найти приближенныйплан. В отличии от точного плана, приближенный план нельзя реализовать напрактике, но имея приближенный план можно получить точный план положив∑︀ равными , округленными предварительно так, чтобы =1 = .

Болееподробное обсуждение того, как округление при переходе от приближенногоплана к точному влияет на качество плана, можно найти в главе 12 книги [25].Отметим, что точные планы также иногда называют дискретными, а при­ближенные планы — непрерывными, ввиду рациональной/вещественной приро­ды весов (смотри книгу [26], c.53).1.3Планирование экспериментов для дискриминациирегрессионных моделейПри проведении прикладных исследований в различных областях знанийчасто возникает ситуация, когда вид регрессионной модели, описывающей связьмежду зависимыми и независимыми переменными, не известен a priori до про­ведения эксперимента, но тем не менее у экспертов имеются несколько гипотезо возможном виде этой модели.

Также возможна ситуация, когда данные, по­лученные в ходе предыдущих исследований, хорошо аппроксимируются сразунесколькими различными регрессионными моделями. В таких случаях прово­дят эксперимент специального вида (дискриминационный эксперимент), пла­нируемый таким образом, чтобы по его результатам можно было выбрать однумодель среди заданных, наилучшим образом описывающую изучаемое явление.Для простоты сначала разберем случай, когда конкурирующих моделейрассматривается всего две:1 (,1 ), ∈ , 1 = (1,1 , . . .

,1,1 ) ∈ Θ1 ;(1.6)2 (,2 ), ∈ , 2 = (2,1 , . . . ,2,2 ) ∈ Θ2 .(1.7)Также мы будем считать, что одна из этих моделей, которую мы далее будемназывать истинной, удовлетворяет в точности уравнению (1.3), то есть (,) =1 (,1 ) или (,) = 2 (,2 ) при каких-то значениях неизвестных параметров.191.4Связь задачи дискриминации и задачи по оцениваниюпараметровВ первую очередь обсудим один из возможных подходов к планированиюдискриминационных экспериментов в случае так называемых вложенных ре­грессионных моделей. Мы будем говорить, что модель 2 (, 2 ) вкладывается вмодель 1 (, 1 ), если1.

Любой вектор 1 ∈ Θ1 представим в виде(︂ )︂21 =,2 ∈ Θ2 , ∈ Λ,где Λ имеет размерность 1 − 2 (мы предполагаем, что 1 > 2 ), тоесть Θ1 = Θ2 × Λ.2. Существует такой 0 ∈ Λ, что[︂ (︂ )︂]︂21 ,= 2 (,2 )0для любого 2 ∈ Θ2 .В случае вложенных регрессионных моделей задачу дискриминации 1 (,1 ) и2 (,2 ) можно свести к задаче проверки статистической гипотезы0 : = 0 , то есть (,) = 2 (,2 );(1.8)против альтернативы1 : ̸= 0 , то есть (,) = 1 (,1 ).(1.9)Первые работы, посвященные планированию дискриминационных экспе­риментов для вложенных моделей, появились еще в 70-х годах прошлого ве­ка.

Так в [1] для дискриминации между двумя вложенными полиномиальнымимоделями было предложено искать план, доставляющий минимум объему до­верительного эллипсоида для тех параметров более общей модели, которые невходят в менее общую. В рамках этого подхода также написаны следующие ра­боты: [2], где планы для оценивания старших коэффициентов полиномиальноймодели были найдены в явном виде; [3], где определяется план, оптимальный20для выбора количества слагаемых в модели Фурье; [4], где рассматриваютсяодновременно задача оценивания степени полинома и задача оценивания егокоэффициентов; [5], где рассматривается задача дискриминации для несколь­ких вложенных нелинейных по параметрам моделей.1.5Критерий -оптимальности и его статистическаяинтерпретацияДругой подход к решению задачи дискриминации, который не предпо­лагает вложенности конкурирующих регрессионных моделей, был предложенАткинсоном и Федоровым в работах [6; 12].

Этот подход и его обобщения при­обрели достаточно широкую популярность.Мы будем рассматривать, как и в предыдущем параграфе, случай двухконкурирующих моделей 1 (,1 ) и 2 (,2 ). Пусть случайные ошибки, , = 1, . . . , ; = 1, . . . , в уравнении (1.3) имеют нормальное распределение c постоянной дисперсией 2 . Не умаляя общности можно считать, что 2 = 1. Будем также полагать,что имеются аппроксимации 1 и 2 для неизвестных параметров моделей 1 и2 , которые были получены, например, из другого эксперимента.Тогда при фиксированном точном плане , который задается табли­цей (1.4), случайная величина ∑︁∑︁[︀]︀2ℎ=, − 2 ( ,2 )=1 =1будет иметь (как сумма квадратов нормально распределенных случайных вели­чин с соответствующими средними) нецентральное 2 -распределение с сте­пенями свободы и параметром нецентральности∑︁[︀]︀2Δ( ) = 1 ( ,1 ) − 2 ( ,2 ) ,=1если верна гипотеза0 : (,) = 1 (,1 ).21Если же верна альтернативная гипотеза1 : (,) = 2 (,2 ),то ℎ имеет обычное 2 -распределение с степенями свободы.Мощность 2 -теста в задаче проверки гипотезы 0 против альтернати­вы 1 прямо пропорциональна величине параметра нецентральности Δ( ).Очевидно, что в такой постановке любой план, сосредоточенный на множестветочек{︂}︂]︀[︀]︀[︀22* : 1 (* ,1 ) − 2 (* ,2 ) = sup 1 (,1 ) − 2 (,2 ),∈будет доставлять максимум величине Δ( ), а значит и мощности соответству­ющего теста.В сущности, основная проблема при таком подходе состоит в том, чтоаприорные значения 1 и 2 не всегда известны.

Один из способов ослабленияаприорных предположений таков: пусть имеется только 1 . При фиксированномплане и фиксированном априорном значении 1 рассмотрим совокупностьвсех возможных альтернатив1 : (,) = 2 (,2 )при различных 2 ∈ Θ2 и выберем среди них ту, которая имеет наименьшийпараметр нецентральности, то есть∑︁[︀]︀2Δ( ) = 1 ( ,1 ) − 2 ( ,̂︀2 ) ,(1.10)=1где оценка ̂︀2 вектора неизвестных параметров второй модели 2 получается изуравнения∑︁∑︁]︀2[︀]︀2[︀ 1 ( ,1 ) − 2 ( ,̂︀2 ) = arg inf 1 ( ,1 ) − 2 ( ,2 ) .=12 ∈Θ2(1.11)=1Точный план , который доставляет максимум Δ( ), будем называть -оп­тимальным. Таким образом, -оптимальный план максимизирует мощность222 -теста (или аналогичного -теста, если дисперсия 2 неизвестна) для наи­более близкой альтернативы.Задачу поиска точного плана , доставляющего максимум Δ( ), сле­дуя подходу Дж.

Кифера, заменим на задачу поиска приближенного плана, тоесть произвольной дискретной вероятностной меры , доставляющей максимумфункционалу∫︁[︀]︀21,2 () =1 (,1 ) − 2 (,̂︀2 ) (),(1.12)где ̂︀2 = ̂︀2 () получаются из уравнения∫︁]︀2[︀1 ( ,1 ) − 2 ( ,̂︀2 ) () = arg inf2 ∈Θ2∫︁]︀2[︀1 ( ,1 ) − 2 ( ,2 ) (). (1.13)Решение этой оптимизационной задачи, которое будет иметь вид (1.5), мы так­же будем называть -оптимальным планом. Множество приближенных плановявляется выпуклым, а функционал 1,2 () — вогнутым, то есть1,2 ([1 − ]1 + 2 ) ≥ [1 − ]1,2 (1 ) + 1,2 (2 )поэтому любой локальный максимум 1,2 () также будет и глобальным макси­мумом.Так как решение оптимизационной задачи зависит от фиксированного за­ранее значения 1 параметров первой модели, -критерий оптимальности яв­ляется локальным критерием по Чернову [27]. Иногда, чтобы подчеркнуть этузависимость, мы будем писать 1,2 (,1 ) вместо 1,2 ().

В данной работе мы небудем останавливаться на том, откуда на самом деле берутся априорные значе­ния 1 , но мы позднее обсудим более робастные аналоги -критерия, позволя­ющие сгладить зависимость от априорных параметров. Отметим также, что вобщем случае -критерий (1.12) не является симметричным в том смысле, чтопоменяв местами 1 и 2 мы получим другой критерий.1.6Теорема эквивалентности для критерия -оптимальностиОсновным средством исследования в математической теории планирова­ния экспериментов являются так называемые теоремы эквивалентности, предо­23ставляющие необходимые и достаточные условия для оптимальности планов.В этом параграфе мы сформулируем теорему эквивалентности для -критерия(смотри работу [6]).Пусть имеют местоПредположение 1.

Множество планирования компактно; вдобавок, функ­ции 1 (,1 ), 2 (,2 ) непрерывны по на .Предположение 2. Множества Θ1 и Θ2 компактны. Функции 1 (,1 ),2 (,2 ) дифференцируемы по 1 , 2 на Θ1 , Θ2 соответственно.Предположение 3. Если * — -оптимальный план, то существует един­ственный вектор 2* = ̂︀2 ( * ), удовлетворяющий условию (1.13).Введем функцию[︀]︀21,2 (,) = 1 (,1 ) − 2 (,̂︀2 ) ,(1.14)где ̂︀2 = ̂︀2 () есть решение уравнения (1.13).Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1, 2 и 3. Тогда(1) План * является -оптимальным тогда и только тогда, когда длялюбой точки ∈ выполнено неравенство1,2 (, * ) ≤ 1,2 ( * ),(1.15)причем равенство в (1.15) достигается только в опорных точках оп­тимального плана.(2) Если план не является -оптимальным, то всегда найдется такаяточка ˙ ∈ , что выполнено обратное по отношению к (1.15) нера­венство1,2 (,)˙> 1,2 ( * ).(1.16)Теорема 1 имеет важное значение для дальнейшего изложения, поэтомуостановимся на ней подробнее.

Характеристики

Список файлов диссертации