Диссертация (1149594)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиГученко Роман АлександровичПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВДЛЯ ДИСКРИМИНАЦИИРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙСпециальность 01.01.07 —вычислительная математикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наукпрофессор Мелас Вячеслав БорисовичСанкт-Петербург — 20172ОглавлениеСтр.Введение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Глава 1. Постановка задачи планирования дискриминационныхэкспериментов и обзор известных результатов . . . . . . 141.1Задачи анализа и планирования в контексте восстановлениярегрессионных зависимостей . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .141.2Планы эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3Планирование экспериментов для дискриминациирегрессионных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.4Связь задачи дискриминации и задачи по оцениванию параметров 191.5Критерий -оптимальности и его статистическая интерпретация .201.6Теорема эквивалентности для критерия -оптимальности .
. . . .221.7Связь критерия -оптимальности с теорией аппроксимации . . .251.8Алгоритм для численного построения -оптимальных планов . .261.9Различные обобщения критерия -оптимальности . . . . . . . . .28Глава 2. -оптимальные планы для дискриминациидробно-рациональных и полиномиальных моделей. . . . 302.1Простейшая дробь и полином . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.2Другие дробно-рациональные модели . . . . . . . . . . . . . . . .342.3EMAX-модель и квадратичная модель . . . . . . . . . . . . . . . .372.3.1Локально-оптимальный план . . . . . . . . . . . . . . . . .372.3.2Робастный план . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40Глава 3. Построение байесовских -оптимальных планов . . . . 443.1Различные аналоги критерия -оптимальности . . . . . . . . . . .443.2Сведение байесовских планов к локально оптимальным . . . . . .473.3Теорема эквивалентности для -оптимальных планов . . . . . .493.4Численные алгоритмы для построения -оптимальных планов .513.4.1Квадратичное программирование . . .
. . . . . . . . . . . .563.4.2Градиентный метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .603.5Примеры33.5.1Байесовские -оптимальные планы для дискриминацииэкспоненциальных моделей . . . . . . . . . .
. . . . . . . .3.5.261Байесовские -оптимальные планы для дискриминациимоделей зависимости эффективности препарата от дозы .65Глава 4. Построение байесовских -оптимальных планов . . . 694.1Обобщение критерия -оптимальности на случай произвольнораспределенных ошибок наблюдения . . . . . . . .
. . . . . . . . .4.269Байесовские -оптимальные планы и их сведение к локальнооптимальным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .724.3Теорема эквивалентности для -оптимальных планов . . . . .734.4Численные алгоритмы для построения -оптимальных планов754.4.1Квадратичное программирование . . . . . . . . . . . . . . .764.4.2Градиентный метод. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .814.5Примеры4.5.14.5.24.5.3-оптимальные планы для дискриминацииEMAX-модели и модели Михаэлиса–Ментен . . . . . . . .Байесовские -оптимальные планы длядискриминации экспоненциальных моделей . . . . . . . . .Байесовские -оптимальные планы длядискриминации моделей зависимости эффективностипрепарата от дозы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .818384Глава 5. Построение полу-параметрических оптимальных планов 905.1Полу-параметрические оптимальные планы . . . . . . . . . . . . .5.2Теоремы эквивалентности для полу-параметрическихоптимальных планов . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .5.39099Связь полу-параметрических критериев с критерием -оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1045.4.1 Полу-параметрические оптимальные планы длядискриминации EMAX-модели и модели Михаэлиса–Ментен1055.4.2 Полу-параметрические оптимальные планы длядискриминации экспоненциальной модели и моделиМихаэлиса–Ментен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10845.4.3Сравнение подходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 108Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 117Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185ВведениеАктуальность темы. Математическая теория планирования эксперимента предоставляет методологию для оптимального выбора условий проведения наблюдений при практических исследованиях, которая позволяет получать результаты, касающиеся числовых характеристик регрессионных моделейдля изучаемых явлений, с заданной степенью статистической погрешности принаименьших затратах. Название этому направлению в науке дала книга «TheDesign of Experiments» знаменитого английского статистика Р. Фишера. Базовый аппарат теории был разработан во второй половине прошлого века в трудахДж.
Элфвинга, Дж. Кифера, Дж. Вольфовица, К. Рао, В. Стаддена, В.В. Федорова, Г. Уинна и других авторов. Целью планирования является нахождение(приближенного) плана эксперимента — дискретной вероятностной меры, заданной на множестве всех возможных условий проведения измерений, оптимальнойс точки зрения некоторого заранее заданного критерия.Большинство работ по оптимальному планированию экспериментов посвящено планам для оценивания неизвестных параметров регрессионных моделей. В этом случае предполагается, что функция регрессии задана с точностью до неизвестных параметров, которые необходимо оценить с некоторойточки зрения оптимально посредством выбора условий для проведения измерений.
Примерами оптимальных планов для оценивания параметров являются -оптимальные планы, минимизирующие объем доверительного эллипсоидадля оценок неизвестных параметров в предположении о независимости, гомоскедастичности и нормальной распределенности случайных ошибок измерения,или -оптимальные планы, минимизирующие в том же эллипсоиде длину максимальной оси.
Однако при проведении прикладных исследований в различныхобластях знаний нередко возникает ситуация, когда вид регрессионной моделис точностью до параметров не известен a priori до проведения эксперимента, нотем не менее у экспертов есть несколько гипотез о возможном виде модели. Вэтом случае проводят эксперимент специального вида — дискриминационныйэксперимент, планируемый таким образом, чтобы по его результатам можнобыло оптимально относительно некоторого критерия проверить гипотезу об истинном виде исследуемой регрессионной модели. Самыми популярными критериями, используемыми для решения задач дискриминации, являются критерий6 -оптимальности, введенный в работах Аткинсона и Федорова, и различные егообобщения.Критерий -оптимальности для дискриминации двух конкурирующих моделей предполагает наличие априорно заданного фиксированного значения параметров для одной из моделей.
Это его свойство называется локальностью. Современная статистическая практика требует нахождения планов, устойчивыхотносительно некорректного выбора фиксированного вектора параметров, таких как байесовские оптимальные планы, где вместо точечного фиксированного значения параметров берется некоторое распределение. Явный вид опорныхточек и весов даже для локального -оптимального плана получен в литературе только в случае дискриминации полиномиальных моделей, отличающихсяна один или на два порядка. Отыскание же байесовских планов в явном видеобычно не представляется возможным. Для численного нахождения дискриминационных планов обычно используют различные варианты алгоритма, предложенного Аткинсоном и Федоровым. В случае байесовских планов применениеэтого алгоритма становится проблематичным. Данная диссертационная работапосвящена разработке эффективных численных алгоритмов для нахождениядискриминационных планов, а также нахождению -оптимальных планов в явном виде для некоторых специальных пар регрессионных моделей.Современное состояние исследований.
Первые работы по планированию дискриминационных экспериментов появились в начале 70-х годов прошлого века и были связаны с дискриминацией вложенных моделей, когда однамодель является частным случаем другой при определенных значениях параметров. Так в работе [1] для дискриминации между двумя вложенными полиномиальными моделями в предположении о независимости, нормальностии гомоскедастичности ошибок было предложено искать план, доставляющийминимум объему доверительного эллипсоида для тех параметров более общеймодели, которые не входят в менее общую.
В рамках этого подхода также написаны следующие работы: [2], где планы для оценивания старших коэффициентов полиномиальной модели были найдены в явном виде; [3], где определяетсяплан, оптимальный для выбора количества слагаемых в модели Фурье; [4], гдерассматриваются одновременно задача оценивания степени полинома и задачаоценивания его коэффициентов; [5], где рассматривается задача дискриминациидля нескольких вложенных нелинейных по параметрам моделей.7Другой критерий оптимальности, -критерий, применимый для решениязадачи о дискриминации двух конкурирующих регрессионных моделей в случаенезависимых нормально распределенных гомоскедастичных ошибок, не предполагающий вложенности этих моделей, был введен в [6].
В этой же работебыл предложен численный алгоритм для нахождения -оптимальных планов.Критерий -оптимальности тесно связан с задачей наилучшей чебышёвской аппроксимации. Наиболее полно соответствующие результаты изложены в [7], ав [8] они использованы для получения в явном виде -оптимальных планов длядискриминации двух полиномиальных моделей, отличающихся на два порядка.Базовый критерий -оптимальности имеет ряд существенных ограничений. Одно из ограничений заключается в требовании о нормальности и гомоскедастичности ошибок наблюдения. На случай дискриминации двух моделейпри нормальных гетероскедастичных ошибках -критерий был обобщен в [9].В [10] был предложен критерий -оптимальности, основанный на расстояниях Кульбака–Лейблера и связанный с тестом отношения правдоподобия, нетребующий нормальности и пригодный для дискриминации двух произвольныхконкурирующих моделей для плотностей ошибок.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
