Диссертация (1149594), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако было обнаружено (смотри книгу [26], с.369, или статью [7]), что опорнымиточками -оптимальных планов служат экстремальные точки функции, представляющей собой разность модели из нулевой гипотезы и ее наилучшей чебышёвской аппроксимации альтернативной моделью. На основе этого факта вработе [8] были аналитически построены -оптимальные планы для дискриминации полиномиальных моделей, отличающихся на два порядка. Задача нахождения наилучшей чебышёвской аппроксимации лучше всего изучена в случаеприближения непрерывных функций полиномами. В этой главе при аналитическом построении -оптимальных планов для дискриминации полиномиальныхи некоторых дробно-рациональных моделей будут использованы известные результаты из теории аппроксимации.
Введенный новый способ построения экстремальных точек упомянутых выше функций, возможно, представляет некоторый независимый интерес. Изложение в данной главе опирается на материализ работы [14].2.1Простейшая дробь и полиномРассмотрим пару регрессионных моделей1 (,1 ) =2 (,2 ) =∑︁=0∑︁=01, +2, ,1,−(2.1)31заданных на промежутке ∈ [−1,1]. Задача нахождения -оптимального планадля дискриминации моделей (2.1) сводится (в силу теоремы 2 из главы 1) к классической задаче теории чебышёвской аппроксимации — нахождению полиноманаилучшего приближения для функции 1/( − ).
Естественно предполагать,что ̸∈ [−1,1]. Без ограничения общности будем считать, что > 1.Напомним (смотри, например, книгу [29], с.42), что полиномы Чебышёвапервого и второго рода, задаваемые тригонометрическими формулами () = cos( arccos ), () =sin([ + 1] arccos()),sin(arccos()) ∈ [−1,1],соответственно, имеют также следующие явные представления:√(︀)︀+ − 2 − 1 () =,2√√(︀)︀+1 (︀)︀+1 + 2 − 1− − 2 − 1√ () =.2 2 − 1(︀+√2 − 1)︀(2.2)Сформулируем лемму о полиномах Чебышёва первого и второго рода, которая будет использована для доказательства теорем, характеризующих опорныеточки -оптимальных планов.Лемма 2.
Полиномы Чебышёва первого и второго рода имеют следующие комплексные представления: () = Re( );Im( +1 ) () =,Im()где — комплексное число, описывающее верхнюю половину единичной окруж√ности, т.е. = + 1 − 2 при ∈ [−1,1].Доказательство. Этот факт следует из явных формул для полиномов Чебышёва, приведенных в (2.2).Следующий результат предлагает решение задачи нахождения опорныхточек -оптимальных планов для дискриминации моделей (2.1) при любой степени ≥ 1 полиномиальной части в обеих моделях:Теорема 4. -оптимальный план для дискриминации моделей (2.1) сосредоточен в ( + 2)-х точках из отрезка [−1,1], причем точки ±1 принадлежат32плану при любом , а опорные точки из интервала (−1,1) являются корнямиполиномовΨ1 () = () − 2−1 () + 2 −2 (),(︀)︀(︀)︀Ψ2 () = 2 − 1 () + 2 − − 2 −1 (),где = −√ ≥ 2,(2.3) ≥ 1,(2.4)2 − 1 .Доказательство.
Пусть > 1. Введем обозначениеΦ() =1− (),−где () — это полином степени с вещественными коэффициентами, наименее уклоняющийся от 1/( − ). В главе 2 книги [30] было доказано, что[︂]︂ −− 1 − Φ() =+,21 − −где зависимости между и , и выражаются уравнениями[︂]︂[︂]︂√︀√︀1111=+, =+, = − 2 − 1, = + 1 − 2 ,22а константа4+2=[1 − 2 ]2(2.5)есть величина наилучшего приближения.По теореме Чебышёва (книга [30], страница 66) число точек в альтернансефункции Φ(), а значит и число точек в оптимальном плане, не меньше, чем + 2.
Найдем экстремальные точки функции Φ(). Обозначим = −.1 − Так как || = 1, то и || = 1, поэтому Φ() можно переписать в виде:[︂]︂1Φ() =+=[ + ¯] = Re().2233Функция Φ() достигает наибольших по модулю значений в точках, где Re() =±1, или, что то же самое, Im() = 0. В итоге имеем уравнение для экстремальных точек)︂(︂ )︂(︂−[−][1−¯]= Im= 0,(2.6)Im() = Im 1 − |1 − |2которое эквивалентно уравнениюIm(2 − +1 − 2 −1 ) = 2Im( ) − Im( +1 ) − 2 Im( −1 ) = 0.
(2.7)Заметим, что тождество (2.7) выполнено при = ±1, так как в этом случае Im() = 0. Из этого следует, что точки = ±1 принадлежат носителю -оптимального плана. Если ∈ (−1,1), то Im() > 0, поэтому можно умножить выражение (2.7) на 1/Im():−1Im( ) Im( +1 ))2 Im(2−−= 0.Im()Im()Im()Пользуясь представлением полиномов Чебышёва второго рода через комплексные числа из леммы 2, получим (2.3):2−1 () − () − 2 −2 () = 0.Число корней в последнем уравнении не превосходит . Заметим, что последняя формула верна при ≥ 2.Теперь выведем уравнение (2.4), верное при ≥ 1.
Запишем в тригонометрической форме(︀)︀(︀)︀ = cos arccos() + sin arccos() .(2.8)Подставим выражение (2.8) для в уравнение (2.6) и получим√︀Im() = 1 − 2(︀)︀2 − 1cosarccos()1 − 2 + 2(︀)︀2 − − 2 +sinarccos()= 0.1 − 2 + 234Таблица 1 — Опорные точки -оптимального плана длядискриминации моделей (2.1) 1 , . . .
,1 −1, , 12 −1, − 12 + 2 , 12 + 2 , 1√2 +8 + 2 +8,,,14√24√√√−1− 2 +2+5 +1− 2 −2+5 −1+ 2 +2+5 +1+ 2 −2+5,,,,144443−1, −4−1,√√Умножим последнее выражение на 1/ 1 − 2 , полагая, что ̸= ±1, и получимформулу для нахождения точек плана внутри промежутка (−1,1), верную при ≥ 1:(︀)︀(︀)︀2 − 1 () + 2 − − 2 −1 () = 0.В таблице 1 приведены опорные точки -оптимального плана для дискриминации моделей (2.1), полученные как корни полиномов (2.3) и (2.4) изтеоремы 4, при небольших значениях .2.2Другие дробно-рациональные моделиВ этом параграфе рассматриваются две другие пары конкурирующих регрессионных моделей.
Первая модель в каждой паре имеет дробно-рациональное слагаемое со знаменателем второй степени, вторая модель является полиномиальной. Решения задач -оптимального планирования для этих пар связаны.Итак, пусть у нас имеются две следующие пары регрессионных моделей1 (,1 ) =2 (,2 ) =∑︁=0∑︁11, + 2; −1 (,1 ) =2, ;2 (,2 ) ==0∑︁=0∑︁1, +;2 − (2.9)2, ;=0заданные на промежутке ∈ [−1,1]. Будем, как и ранее, полагать, что > 1.Сформулируем результат, который позволяет аналитически решать задачу нахождения опорных точек -оптимального плана для моделей (2.9) в некоторых частных случаях.35Теорема 5. -оптимальные планы для дискриминации моделей (2.9) сосредоточены в ( + 2)-х точках.
Если — нечетное, то опорные точки изинтервала (−1,1) плана для левой пары моделей совпадают с корнями полиномовΨ1 () = () − 22 −2 () + 4 −4 (), ≥ 4,(2.10)(︀)︀(︀)︀Ψ2 () = 2 4 − 1 −1 () + 4 + 22 + 1 − 22 [4 + 1] −2 (), ≥ 2,(2.11)а если — четное, то это верно для правой пары. Точки ±1 принадлежат√оптимальному плану при любом ; = − 2 − 1.К сожалению, для четных не удалось получить аналитического решениядля левой пары моделей, а для нечетного – для правой пары, так как мы ненашли соответствующих результатов в работах по теории аппроксимации.Доказательство. Доказательство данной теоремы также опирается на известный результат из теории аппроксимации. Пусть > 1.
Рассмотрим функцию:Φ() = −12 2 2 − 21− − 1,+2 2 − 1 2 − 2где зависимости между и , и выражаются уравнениями[︂]︂[︂]︂√︀√︀1111+,=+, = − 2 − 1, = + 1 − 2 .=22В [31] доказано, что точки экстремума этой функции являются точками альтернанса для задачи наилучшего приближения функции 1/(2 − 2 ) полиномомстепени , если является нечетным, и функции /(2 − 2 ), если являетсячетным.Введем обозначение = −1 2 − 2.2 2 − 136Заметим, что || = 1, так как || = 1, поэтомуΦ() = +1= + ¯ = 2Re().Функция Φ() достигает своего наибольшего значения при Re() = ±1 или, чтото же самое, при Im() = 0. Проведем ряд эквивалентных преобразований:(︃22)︃(︃ −= Im 2 2 − 1(︀[︀]︀[︀]︀)︀Im −1 2 − 2 2 2 − 1 = 0,(︀)︀Im 22 −1 − 4 −3 − −1 = 0.Im() = Im −1[︀ 2]︀[︀]︀ )︃222 −1−1 − |2 2 − 1|2= 0,(2.12)(2.13)Из уравнения (2.13) видно, что точки = ±1 принадлежат альтернансу.
Умножим уравнение (2.13) на 1/Im(), считая, что ̸= ±1, и получим следующееуравнение для нахождения опорных точек оптимального плана при ∈ (−1,1): () − 22 −2 () + 4 −4 () = 0.Последнее уравнение позволяет найти опорные точки -оптимального планапри ≥ 4.Выведем теперь другое уравнение, позволяющее найти опорные точки при ≥ 2. Вернемся к уравнению (2.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
