Диссертация (1149594), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Критерии из работ [6] и [9]являются частными случаями -критерия. В [11] был введен полу-парамет­рический критерий, в котором функции регрессии для всех конкурирующих мо­делей и закон распределения ошибок для одной из них считаются известными,а закон распределения для оставшейся модели получается как решение специ­альной задачи вариационного исчисления.

Другое ограничение -критерия со­стоит в количестве сравниваемых моделей. Авторы оригинальной работы пред­ложили в [12] вариант его обобщения на случай дискриминации произвольногоколичества конкурирующих моделей. Симметричная версия -критерия длядискриминации многих моделей, -критерий, а также численный алгоритмдля нахождения оптимальных планов, основанный на многомерной чебышёв­ской аппроксимации, были введены в [13]. Еще одно ограничение -критерия —зависимость от априорных значений для параметров одной из моделей, можетбыть компенсировано с помощью байесовского подхода, обсуждавшегося ещев [6].Цели и задачи работы. Целью диссертации является исследование раз­личных критериев оптимальности для дискриминации конкурирующих регрес­сионных моделей, а также разработка эффективных алгоритмов для численно­8го нахождения соответствующих оптимальных планов.

Для достижения постав­ленной цели необходимо было сформулировать и решить следующие задачи:1. Использовать аппарат теории чебышёвской аппроксимации для нахожденияв явном виде -оптимальных планов в случае дискриминации полиномиаль­ных моделей и моделей, отличающихся от полиномиальных добавлениемпростого дробно-рационального слагаемого.2.

Предложить метод построения байесовских -оптимальных планов длядискриминации нескольких моделей, преодолевающий недостатки методаАткинсона и Федорова.3. Обобщить этот метод на случай байесовских -оптимальных планов.4. Исследовать полу-параметрические критерии оптимальности и их связь склассическими критериями, упростить их численное нахождение.Научная новизна.

Все результаты, представленные в диссертационнойработе, являются новыми.Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты ра­боты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы при плани­ровании реальных экспериментов. В частности, на второй фазе клиническихисследований для установления вида зависимости эффекта препарата от до­зы, а также для дискриминации моделей аналитической химии, описывающихпрошедшую реакцию.Методология и методы исследования.

В работе применяются методытеории аппроксимации, функционального анализа, математической статистики,вариационного исчисления и общие методы теории планирования эксперимента.Численные примеры выполнены с использованием статистического пакета R.Положения, выносимые на защиту.1. В явном виде получены -оптимальные планы для дискриминации поли­номиальных моделей и аналогичных моделей, содержащих дополнительноедробно-рациональное слагаемое.2. Предложен метод построения байесовских -оптимальных планов путемих сведения к локально оптимальным планам.

Разработан двухэтапный ал­горитм для нахождения локальных -оптимальных планов, состоящий вчередовании обновления носителя плана и оптимизации по его весам. Дока­зана сходимость этого алгоритма. Для оптимизации по весам предложенодве эффективные численные процедуры. Проведено сравнение наиболее ча­9сто используемого в литературе алгоритма с новым, выявившее значитель­ное преимущество последнего.3. Сформулирован байесовский критерий -оптимальности и теорема эк­вивалентности для него.

Результаты, касающиеся байесовских -оптималь­ных планов, обобщены на случай байесовских -оптимальных планов.4. Предложен упрощенный метод численного нахождения полу-параметриче­ских оптимальных планов. Доказаны две теоремы, связывающие полу-пара­метрические критерии с критерием -оптимальности.Степень достоверности и апробация результатов.

Правильность -оптимальных планов, выведенных аналитически во второй главе, подтвер­ждается численными результатами. Все планы, полученные численно, были про­верены на оптимальность с помощью теорем эквивалентности. Для утвержде­ний, доказанных диссертантом, в работе представлены полные доказательства;для остальных утверждений приведены ссылки на доказательства.Основные результаты диссертационной работы докладывались на семи­наре кафедры статистического моделирования математико-механического фа­культета СПбГУ. Исследования по теме диссертации были частично поддержа­ны грантами СПбГУ (проект 6.38.435.2015) и РФФИ (проект 17-01-00161).Публикации на тему диссертации. Основные результаты диссертацииизложены в трех работах [14], [15], [16], которые опубликованы в журналах,индексируемых системой Scopus.Вклад диссертанта в совместные работы.

Вторая глава основанана работе [14], в которой все результаты и основной текст принадлежат дис­сертанту. Постановка задачи и текст вводной секции принадлежит соавтору.Третья глава основана на работе [15], в которой метод сведения байесовскихпланов к локально оптимальным, алгоритм 3.2, секция про метод оптимиза­ции по весам, основанный на квадратичном программировании, теорема 3.3 ивсе численные результаты принадлежат диссертанту.

Постановка задачи, итого­вый английский текст и остальные теоремы принадлежат соавторам. Четвертаяглава основана на работе [16], в которой адаптация алгоритма из предыдущейработы на случай -оптимальных планов и все численные результаты при­надлежат диссертанту. Постановка задачи, итоговый английский текст и всеостальные результаты принадлежат соавторам. Пятая глава основана на рабо­те, выполненной во время визита диссертанта в Рурский университет Бохума10совместно с Х.

Детте, В.Б. Меласом и В.К. Вонгом. Теоремы 15, 17 и 18, лем­ма 4, а также все численные результаты принадлежат диссертанту.Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и за­ключения.Во введении аргументирована актуальность темы диссертации, приведенобзор соответствующей литературы, определены цели и задачи работы, обосно­вана их научная ценность.В главе 1 сформулирована задача планирования эксперимента для дис­криминации регрессионных моделей, описано ее место в математической стати­стике и в теории планирования эксперимента, а также дан обзор имеющихсяв литературе результатов по данной теме. В § 1.1 приведены постановки за­дач анализа эмпирических данных и оптимального планирования эксперимен­тов в контексте восстановления регрессионных зависимостей, описана разницамежду этими двумя постановками.

В § 1.2 приведены понятия точного и при­ближенного планов эксперимента, описано соотношение между ними. Задачапланирования эксперимента для дискриминации конкурирующих регрессион­ных моделей в общем виде сформулирована в § 1.3. В § 1.4 описано то, каксвязаны планы эксперимента для оценивания неизвестных параметров однойрегрессионной модели и планы эксперимента для дискриминации несколькихрегрессионных моделей в случае вложенных конкурирующих регрессионныхмоделей. Наконец, в § 1.5 приведен критерий -оптимальности для планов дис­криминации (предложенный в работах [6; 12]), исследованию различных обоб­щений которого посвящена содержательная часть работы.

В том же параграфедана статистическая интерпретация -критерия для случая точных планов экс­перимента. В § 1.6 для -критерия приведена соответствующая теорема экви­валентности, дающая необходимые и достаточные условия для оптимальностиплана. В сущности, все последующие теоремы эквивалентности для обобщений -критерия, которые будут рассматриваться в данной работе, имеют схожуюструктуру и доказываются аналогично теореме из этого параграфа. В § 1.7приведены теоремы, связывающие задачу нахождения -оптимального плана сзадачей наилучшей чебышёвской аппроксимации. Используя эти теоремы в гла­ве 2 мы получим в явном виде -оптимальные планы для дискриминации поли­номиальных моделей и моделей, отличающихся от полиномиальных добавлени­ем дробно-рационального слагаемого. В § 1.8 описан самый распространенный11численный алгоритм для нахождения -оптимальных планов.

Альтернативныйэтому новый численный алгоритм для нахождения байесовских -оптимальныхпланов описан в главе 3. В § 1.9 дан обзор критериев, обобщающих критерий -оптимальности.В главе 2 в явном виде получены -оптимальные планы для дискримина­ции полиномиальных моделей и моделей, отличающихся от полиномиальных до­бавлением дробно-рационального слагаемого. Нахождение аналитических пред­ставлений для точек и весов -оптимальных планов является трудной мини­максной задачей, поэтому для получения -оптимальных планов обычно ис­пользуют численные алгоритмы.

До недавнего времени аналитическое реше­ние было известно только для случая дискриминации двух полиномиальныхмоделей, отличающихся на один порядок. Известно (смотри, например, [7]),что задача нахождения -оптимального плана тесно связана с задачей наи­лучшей чебышёвской аппроксимации в том смысле, что опорные точки опти­мального плана являются точками максимума функции, представляющей изсебя квадрат разности между регрессионной моделью из нулевой гипотезы и еенаилучшей чебышёвской аппроксимации альтернативной моделью.

На основеэтого факта в работе [8] были аналитически получены -оптимальные планыдля дискриминации полиномиальных моделей, отличающихся на два порядка.В § 2.1 с использованием известных фактов из теории аппроксимации доказа­но, что опорные точки -оптимального плана для дискриминации простейшейдробно-рациональной модели и полиномиальной модели являются корнями по­линома специального вида. Корни этого полинома, а значит и опорные точкисоответствующего плана, могут быть выписаны для небольших степеней по­линомиальной модели в явном виде. В § 2.2 аналогичный результат доказандля двух других дробно-рациональных моделей. В § 2.3 при помощи теоремыиз § 2.1 аналитически найден -оптимальный план для дискриминации EMAX­модели и квадратичной модели, а также численно построен план, оптимальныйс точки зрения байесовского стандартизированного критерия -оптимальности.Изложение в главе 2 опирается на материал из работы [14].В главе 3 предложен метод построения байесовских -оптимальных пла­нов.

У стандартного критерия -оптимальности есть ряд существенных недо­статков: он предназначен для сравнения только двух моделей и он являетсялокальным, то есть зависит от фиксированного априорного значения парамет­12ров одной из моделей. В § 3.1 перечислены различные обобщения критерия -оптимальности, призванные устранить эти недостатки.

Характеристики

Список файлов диссертации