Диссертация (1149594), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для того, чтобы провести сравнительный анализ скорости работы обоих методов, рассмотрим более простой пример, длякоторого оптимальный план получилось найти методом из [11]. Для пары моде109Таблица 13 — -, -, () - и () -оптимальныепланы для дискриминации между моделями (5.30)Тип плана*2*0.3080.3160.136-оптимальный0.2970.395() -оптимальный0.3960.308() -оптимальный0.289 -оптимальный2.0440.4281.9020.4572.0900.3552.0440.4585.0000.2565.0000.2525.0000.2495.0000.253(1.223, 0.948)(1.244, 1.020)(1.216, 0.920)(1.225, 0.956)Таблица 14 — Эффективности -, -, () - и() -оптимальных планов для дискриминациимоделей (5.30) относительно различных критериевоптимальности() ∖ () ()T10.266 0.6630.8580.786 10.5650.879() 0.407 0.346 10.388() 0.882 0.396 0.60810.00●●−0.01●−0.02sensitivity function−0.0004●−0.04−0.03●●−0.0008−0.0012sensitivity function0.0000110012345012x5−0.015●●●−0.010sensitivity function−0.005●−0.030−0.020●−0.025sensitivity function4б) -оптимальный.0.000а) -оптимальный.●3x01234xв) () -оптимальный.5012345xг) () -оптимальный.Рисунок 5.3 — Графики функций влияния для -, -, () - и() -оптимальных планов дискриминации из таблицы 13111лей (5.30) построим () -оптимальный план.
В качестве плотности 1 (,,1 )возьмем плотность случайной величины 1 (,1 )+(−), где имеет усеченноелогнормальное распределение с параметрами 1 = 0 и 12 = 1 на интервале от(0.001) до (0.9) (здесь () функция квантилей для стандартного логнормального распределения). Константа выбирается для каждого таким образом, чтобы выполнялось равенство E[ − ] = 0.
В итоге () -оптимальныйплан задается как[︃]︃0.308 2.044 5.000* =.(5.31)0.323 0.415 0.262Отметим, что этот план сосредоточен в тех же точках, что и -оптимальныйплан, но имеет другие веса. Для того, чтобы получить этот план, алгоритму, основанному на теореме 15, понадобилось 540 секунд. У алгоритма из работы [11]на решение той же задачи потребовалось 1230 секунд (в обоих случаях использовался адаптированный алгоритм Аткинсона–Федорова, отличался только методвычисления значения критерия). То есть даже в этом простом случае разницав скорости вычислений является существенной.112ЗаключениеВ диссертационной работе рассмотрен критерий -оптимальности и связанные с ним критерии для дискриминации конкурирующих регрессионных моделей.
Получены следующие результаты.В аналитическом виде найдены -оптимальные планы для дискриминации полиномиальных моделей и аналогичных моделей, содержащих дополнительное дробно-рациональное слагаемое.Предложен метод построения байесовских -оптимальных планов путемих сведения к локально оптимальным планам.
Разработан двухэтапный алгоритм для нахождения локальных -оптимальных планов, состоящий в чередовании обновления носителя плана и оптимизации по его весам. Доказана сходимость этого алгоритма. Для оптимизации по весам предложено две эффективные численные процедуры. Проведено сравнение наиболее часто используемого в литературе алгоритма с новым, выявившее значительное преимуществопоследнего. Создан пакет для языкаR, включающий реализацию нового алгоритма и примеры из работы.Сформулирован байесовский критерий -оптимальности и теорема эквивалентности для него.
Результаты, касающиеся байесовских -оптимальныхпланов, обобщены на случай байесовских -оптимальных планов, реализация обобщенного алгоритма и новые численные примеры также включены впакет для R.Предложен упрощенный метод численного нахождения полу-параметрических оптимальных планов. Доказаны две теоремы, связывающие полу-параметрические критерии с критерием -оптимальности.Возможные направления для дальнейшей работы: поиск аналитическихпредставлений -оптимальных планов для дискриминации двух дробно-рациональных моделей, например, EMAX-модели и модели Михаэлиса–Ментен, атакже исследование комбинированных критериев для дискриминации и оценкинеизвестных параметров конкурирующих моделей.113Список литературы1. Stigler S.
Optimal experimental design for polynomial regression. // Journal ofthe American Statistical Association. — 1971. — Vol. 66. — Pp. 311–318.2. Studden W.J. -optimal designs for polynomial regression using continued fractions // Annals of Statistics. — 1980. — Vol. 8, no. 5.
— Pp. 1132–1141.3. Dette H., Haller G. Optimal designs for the identification of the order of aFourier regression. // Annals of Statistics. — 1998. — Vol. 26. — Pp. 1496–1521.4. Song D., Wong W.K. On the construction of -optimal designs. // StatisticaSinica. — 1999. — Vol. 9. — Pp.
263–272.5. May C., Tommasi C. Model selection and parameter estimation in non-linearnested models: A sequential generalized DKL-optimum design // Statistica Sinica. — 2014. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 63–82.6. Atkinson A.C., Fedorov V.V. The designs of experiments for discriminatingbetween two rival models // Biometrika. — 1975.
— Vol. 62. — Pp. 57–70.7. Dette H., Titoff S. Optimal discrimination designs. // Annals of Statistics. —2009. — Vol. 37, no. 4. — Pp. 2056–2082.8. Dette H., Melas V.B., Shpilev P. T-optimal designs for discrimination betweentwo polynomial models // Annals of Statistics. — 2012. — Vol. 40, no. 1.
—Pp. 188–205.9. Ucinski D., Bogacka B. T-Optimum Designs for Multiresponse Dynamic Heteroscedastic Models. // Proceedings of the 7th International Workshop onModel-Oriented Design and Analysis / Ed. by A. Di Bucchianico, Läuter H.,Wynn H.P. — Springer, 2004. — June. — Pp. 191–199.10. López-Fidalgo J., Tommasi C., Trandafir P.C. An optimal experimental designcriterion for discriminating between non-normal models // Journal of the RoyalStatistical Society, Series B. — 2007. — Vol.
69. — Pp. 231–242.11. Otsu T. Optimal experimental design criterion for discriminating semi-parametric models // Journal of Statistical Planning and Inference. — 2008. — Vol.138. — Pp. 4141–4150.11412. Atkinson A.C., Fedorov V.V. Optimal design: Experiments for discriminatingbetween several models // Biometrika. — 1975. — Vol. 62. — Pp. 289–303.13. Braess D., Dette H. Optimal discriminating designs for several competing regression models // Annals of Statistics. — 2013.
— Vol. 41, no. 2. — Pp. 897–922.14. Гученко Р.А., Мелас В.Б. -оптимальные планы для дискриминациидробно-рациональных и полиномиальных моделей // Вестник СПбГУ.Математика. Механика. Астрономия. — 2017 — Т.4(62), №2 — С.208-219.15. Dette H., Melas V.B., Guchenko R. Bayesian -optimal discriminating designs. // Annals of Statistics. — 2015. — Vol.
43, no. 5. — Pp. 1959–1985.16. Dette H., Guchenko R., Melas V.B. Efficient computation of Bayesian optimaldiscriminating designs. // Journal of Computational and Graphical Statistics.— 2017. — Vol. 26, no. 2. — Pp. 424–433.17. Guchenko R. rodd: Optimal Discriminating Designs. — R package version 0.2-1.— 2016. — http://CRAN.R-project.org/package=rodd.18. Dette H., Pepelyshev A., Zhigljavsky A. Optimal designs in regression with correlated errors // Ann.
Statist. — 2016. — Vol. 44. — Pp. 113–152.19. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимальногоэксперимента. — Москва: Наука, 1987.20. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning:Data Mining, Inference, and Prediction. Springer Series in Statistics. — 2 edition.— New York, NY, USA: Springer, 2009.21. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. — Springer, 2006.22. Мелас В.Б., Шпилев П.В.
Планирование и анализ для регрессионныхмоделей. — Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2014. — 94с.23. Atkinson A., Donev A., Tobias R. Optimum Experimental Designs, with SAS(Oxford Statistical Science Series).
— 2nd edition. — Oxford University Press,USA, 2007.11524. Kiefer J. General equivalence theory for optimum designs (approximate theory). // Annals of Statistics. — 1974. — Vol. 2, no. 5. — Pp. 849–879.25. Pukelsheim F. Optimal Design of Experiments. — Philadelphia: SIAM, 2006.26. Ермаков С.М., Бродский В.З., Жиглявский А.А. и др. Математическаятеория планирования эксперимента. — Москва: Наука, 1983.27. Chernoff H. Locally optimal designs for estimating parameters // Annals ofMathematical Statistics. — 1953. — Vol. 24. — Pp. 586–602.28. Pshenichny B.N.
Necessary Conditions of an Extremum. — New York: MarcelDekker, 1971.29. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функцийполиномами. — Москва: Наука, 1977. — 512с.30. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — Москва: Наука, 1965. —406с.31. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшееприближение непрерывных функций одной вещественной переменной. —Ленинград, Москва: Гостехиздат, 1937. — 203с.32. Dette H., Melas V.B., Shpilev P. Robust -optimal discriminating designs //Annals of Statistics. — 2013. — Vol. 41, no.
4. — Pp. 1693–1715.33. Ratkowsky D.A. Handbook of Nonlinear Regression Models. —New York:Dekker, 1990.34. Han C., Chaloner K. - and -optimal designs for exponential regression modelsused in pharmacokinetics and viral dynamics. // Journal of Statistical Planningand Inference. — 2003. — Vol. 115.
— Pp. 585–601.35. Pinheiro J., Bretz F., Branson M. Analysis of dose-response studies: Modelingapproaches. // Dose Finding in Drug Development / Ed. by N. Ting. — NewYork: Springer-Verlag, 2006. — Pp. 146–171.36. Tommasi C., López-Fidalgo J. Bayesian optimum designs for discriminatingbetween models with any distribution // Computational Statistics and DataAnalysis. — 2010. — Vol. 54, no. 1. — Pp. 143–150.11637. Wiens D. P. Robust discrimination designs. // Journal of the Royal StatisticalSociety, Ser. B. — 2009. — Vol.
71. — Pp. 805–829.117Список рисунков2.1Иллюстрации к теоремам эквивалентности для оптимальных*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .планов * и 433.1Графики функций Ψ(,*2 ) для планов из таблицы 4 . . . . . . .643.2График функции Ψ(, ˜1 ) после первой итерации алгоритма 3 . .663.3Графики функций Ψ(,*2 ) для планов из таблицы 6 . . . . . . .684.1*Графики функций Ψ (,()) для планов из таблицы 8 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
