Диссертация (1149594), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть первая модель 1 имеет фиксированные параметры 1 = (1,1,1). Рассмотрим ситуацию, когда в критерии (4.4) = 2 и1,2 = 1, 2,1 = 0. В таблице 7 представлены оптимальные планы, найденныепри разных функциях для дисперсии:(1) 12 (,1 ) = 22 (,2 ) = 1(2) 12 (,1 ) = 22 (,2 ) = 1(3) 2 (, ) = exp( (, ))(4.17)Нижняя оценка эффективности для всех представленных планов равна 0.999.Каждый план был вычислен тремя методами: 1) алгоритмом 4, рассматриваемым [10], 2) алгоритмом 5 со вторым шагом из параграфа 4.4.1, использующимквадратичное программирование, 3) алгоритмом 5 со вторым шагом из параграфа 4.4.2, использующим градиентный метод. Для случая (2), который предполагает равенство функций дисперсии в (4.17), соответствующая функция в(4.13) упрощается до (1 (,¯1 ) − 2 (,1,2 ))2 , поэтому мы можем использоватьпроцедуру для вычисления оптимального плана в случае нормальных ошибокнаблюдения, описанную в главе 3, где (, ) = log (, ), = 1,2.
Эта процедура работает значительно быстрее, что видно из таблицы 7, в которой указано время работы каждого алгоритма в секундах. Все тесты выполнялись накомпьютере с процессором intel core i7-4790K. Предложенные методы работаютсущественно быстрее, нежели чем стандартный алгоритм из [10]. Так градиентный метод показывает прирост от 5 до 30 раз, а подход, основанный на квадратичном программировании — от 25 до 120 раз по сравнению со стандартнымалгоритмом.83Таблица 7 — Локальные -оптимальные планыдля дискриминации моделей (4.16) прилогнормальных откликах с дисперсиями из (4.17)(4.17) Оптимальный план AF grad quad0.130 2.501 5.0007.15 0.56 0.060.489 0.378 0.1330.100 1.569 5.000(2)2.74 0.52 0.010.294 0.500 0.2060.100 1.218 5.000(3)10.87 0.33 0.080.326 0.510 0.164Примечание — В колонках 3–5 показано время работы различных алгоритмов: AF — алгоритм 4 из [10];grad — алгоритм 5 со вторым шагом из § 4.4.2; quad —алгоритм 5 со вторым шагом из § 4.4.1(1)4.5.2Байесовские -оптимальные планы для дискриминацииэкспоненциальных моделейТеперь найдем байесовский -оптимальный план для дискриминациидвух конкурирующих экспоненциальных моделей:1 (,1 ) = 1,1 − 1,2 exp(−1,3 1,4 );(4.18)2 (,2 ) = 2,1 − 2,2 exp(−2,3 ).на интервале [0,10].
Снова будем считать, что параметры первой модели 1фиксированы. В случае нормально распределенных ошибок наблюдения оптимальный план для этих моделей был найден в работе [15] (смотри предыдущуюглаву). Посмотрим на то, как изменится планы в предположении логнормальности ошибок наблюдения. Как и в предыдущем примере, рассмотрим три типалогнормальных ошибок, определяемых соотношениями (4.17). Отметим, что оптимальный план для дискриминации моделей (4.18) не зависит от параметров2,1 и 2,2 , поэтому их можно взять произвольными.
Рассмотрим независимыеаприорные распределения в точках√ +0.3( − 3),2 = 1, . . . ,5 ; = 3,4 ,(4.19)84для параметров 1,3 и 1,4 , где 3 = 0.8, 4 = 1.5. Соответствующие веса в обоихслучаях пропорциональны(︁ ( − 3)2 )︁1√exp −;82 · 0.3 = 1, . . .
, 5 .(4.20)В таблице 8 представлены байесовские -оптимальные планы для дискриминации моделей (4.18) в случае логнормальных ошибок наблюдения длятрех вариантов функции дисперсии, которые описаны в (4.17). На рисунке 4.1представлены графики функций из левой части неравенства (4.8) в теореме эквивалентности 13. Из результатов в таблице 8 видно, что алгоритм 5 со вторымшагом, использующим квадратичное программирование, существенно превосходит другие алгоритмы по времени работы. Интересно также сравнить байесовские -оптимальные планы для логнормальных ошибок с байесовским -оптимальным планом для тех же конкурирующих моделей из главы 3. Соответствующий -оптимальный план сосредоточен в пяти точках 0.000, 0.452,1.747, 4.951 и 10.000 с весами 0.207, 0.396, 0.292, 0.003 и 0.102.
Эффективностивида()()*Eff (())=* (())()sup ()*приведены в таблице 9. Так, например, эффективность плана (0), вычисленногов предположении гомоскедастичных нормальных ошибок наблюдения, в модели с логнормальными ошибками наблюдения типа (2) из (4.17) равна 0.953. Изтаблицы видно, что байесовские планы, найденные в предположении о нормальности ошибок наблюдения, достаточно устойчивы и имеют высокие эффективности в моделях с логнормальными ошибками.4.5.3Байесовские -оптимальные планы для дискриминациимоделей зависимости эффективности препарата от дозыВ качестве еще одного примера построим байесовский -оптимальныйплан для дискриминации четырех моделей зависимости эффективности препа85Таблица 8 — Байесовские -оптимальные планы длядискриминации моделей (4.18) при логнормальныхоткликах с дисперсиями из (4.17)*(4.17) Оптимальный план ()AFgradquad00.406 1.706 10298.37 44.36 3.70.186 0.418 0.289 0.10700.374 1.650 10(2)390.44 7.39 2.390.189 0.397 0.311 0.10300.356 1.604 10(3)570.45 39.19 4.420.186 0.394 0.313 0.107Примечание — В колонках 3–5 показано время работы различных алгоритмов в секундах: AF — алгоритм 4 из [10];grad — алгоритм 5 со вторым шагом из § 4.4.2; quad — алгоритм 5 со вторым шагом из § 4.4.1(1)Таблица 9 — Относительные эффективностипланов из таблицы 8 при различныхпредположениях о распределении ошибок(0)(1)(2)(3)(0)10.978 0.953 0.908(1) 0.98110.988 0.966(2) 0.951 0.98710.992(3) 0.923 0.970 0.9961Примечание — (0): гомоскедастичное нормальное распределение; (1) - (3): логнормальные распределения с различными функциями дисперсиииз (4.17)●●●●●●●●0.0010Psi0.0010.00050.002Psi0.0030.0040.00150.005●0.0020860246810024x6810xа) Случай (4.17)(1)●●●0.00020.00040.0006Psi0.00080.00100.0012●б) Случай (4.17)(2)0246810xв) Случай (4.17)(3)*Непрерывной линией обозначен график функции Ψ (,()), задаваемой*формулой (4.9), пунктирной — значение функционала KLP (()),определенного в (4.4), а выколотыми точками — опорные точки* -оптимального плана ().*Рисунок 4.1 — Графики функций Ψ (,()) для планов из таблицы 887рата от дозы, рассмотренных в работе [35]:1 (, 1 ) = 1,1 + 1,2 ;2 (, 2 ) = 2,1 + 2,2 (2,3 − );(4.21)3 (, 3 ) = 3,1 + 3,2 /(3,3 + );4 (, 4 ) = 4,1 + 4,2 /(1 + exp(4,3 − )/4,4 );на интервале = [0,500].
В [35] также приводится априорная информация опараметрах:1 = (60, 0.56),2 = (60, 7/2250, 600),3 = (60, 294, 25),4 = (49.62, 290.51, 150, 45.51).В главе 3 были найдены байесовские -оптимальные планы для дискриминации этих моделей в предположении о нормальности ошибок наблюдения. Априорное распределение задавалось только для параметров 4 . В соответствующемкритерии использовались веса , = 1/6, (1 ≤ < ≤ 4). В этом параграфе мы рассмотрим похожий пример для логнормальных ошибок наблюдения.Априорное равномерное распределение для 4 зададим в 81 точке из R4 :(49.62 + 1 , 290.51 + 2 , 150 + 3 , 45.51 + 4 ),(4.22)где 1 ,2 ,3 ,4 ∈ {−20,0,45}. Итоговый байесовский критерий -оптимальности (4.6) предусматривает 246 попарных сравнений конкурирующих моделей.Планы, оптимальные относительно этого критерия, представлены в таблице 10.Рассматривается три типа задач:(1) 12 (,1 ) = 1 , = 1,2,3,4;(2) 2 (, ) = 1 , = 1,2,3,4;(3) 2 (, ) = exp( (, )/100) , = 1,2,3,4.(4.23)Все представленные планы имеют нижнюю границу эффективности 0.999.
Графики функций из левой части теоремы эквивалентности 13 для всех трех слу88Таблица 10 — Байесовские -оптимальные планы для дискриминациимоделей (4.21) при логнормальных откликах с дисперсиями из (4.23)*(4.23)Оптимальный план ()AFgrad quad(1)(2)(3)0.7590.41900.200033.120.279 0.09267.320.15658.90.35478.00.225248.60.233220.60.247161.60.0035001674.14 679.52 48.910.192500255.03 33.420.199215.7 5002382.64 631.53 82.330.224 0.177чаев приведены на рисунке 4.2. Стандартный алгоритм не сошелся к плану сзаданной эффективностью в случае (4.23)(2). Из таблицы 10 видно существенное преимущество новых алгоритмов в скорости работы по сравнению со стандартным методом.89●●●●●●●0.8Psi400010000.620003000Psi1.050001.26000●01002003004005000100200x300400500xа) Случай (4.23)(1)●●●●●Psi300400500600700800900●б) Случай (4.23)(2)0100200300400500xв) Случай (4.23)(3)*Непрерывной линией обозначен график функции Ψ (,()), задаваемой*формулой (4.9), пунктирной — значение функционала KLP (()),определенного в (4.4), а выколотыми точками — опорные точки* -оптимального плана ().*Рисунок 4.2 — Графики функций Ψ (,()) для планов из таблицы 1090Глава 5.
Построение полу-параметрических оптимальных плановВ литературе по планированию дискриминационных экспериментов основное внимание, как правило, уделяется случаю, когда конкурирующие модели,каждая из которых определяется связкой из функции регрессии и закона распределения для случайных ошибок наблюдения, заранее заданы с точностью донеизвестных параметров. В пионерских работах [6; 12] рассматривается случайнормально распределенных ошибок наблюдения с постоянной дисперсией, [9]обобщают этот подход на случай нормальных ошибок с произвольной дисперсией, а более новые результаты [10] позволяют проводить дискриминацию в случаепроизвольно распределенных ошибок с заранее заданными законами распределения с помощью критерия, основанного на расстоянии Кульбака-Лейблера.В работе [11] был предложен полу-параметрический критерий оптимальностидля планирования дискриминационных экспериментов, обобщающий критерийиз [10].
Суть этого критерия состоит в том, что функции регрессии для всехконкурирующих моделей и закон распределения ошибок для одной из них задаются a priori, как и раньше, а закон распределения для оставшейся моделиполучается как решение некоторой оптимизационной задачи.В этой главе мы опишем новый способ, позволяющий достаточно простонаходить оптимальные относительно полу-параметрического критерия планы.Мы также сформулируем соответствующие теоремы эквивалентности, позволяющие проверять полученные планы на оптимальность и выведем несколькоинтересных соотношений между полу-параметрическими и параметрическимикритериями оптимальности.5.1Полу-параметрические оптимальные планыПусть — абсолютно непрерывная зависимая переменная, а — независимая переменная, заданная на компактном множестве планирования .
Плотность при фиксированном относительно меры Лебега обозначим как (,).Мы хотим построить план эксперимента, который бы позволил эффективно дискриминировать две конкурирующие модели для плотности (,). Пусть плотности (,, ), = 1,2 заданы с точностью до параметров ∈ Θ , где Θ91компактно. Расстояние Кульбака-Лейблера между ними зададим как∫︁1,2 (, 1 , 2 , 1 , 2 ) =1 (, , 1 ) log1 (,, 1 ).2 (,,2 )(5.1)Пусть первая модель имеет фиксированные параметры 1 .
Критерий -оптимальности в этом случае записывается как∫︁KL1,2 (, 1 ) = inf2 ∈Θ21,2 (, 1 ,2 , 1 , 2 )().(5.2)В работе [11] было предложено в критерии (5.2) одну из моделей задать параметрически, а другую модель получать как решение некоторой задачи вариационного исчисления с ограничениями. Рассмотрим подробнее постановку задачииз [11].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
