Диссертация (1149594), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть выполнены предположения пункта (a) теоремы 15 иплотность 1 (,,1 ) удовлетворяет условию:1 (,,1 ) = ( − 1 (,1 )),(5.27)где функция есть симметричная плотность, заданная на конечном интервале [−,], то есть плотность 1 (,,1 ) имеет носитель[− + 1 (,1 ), + 1 (,1 )].Тогда -оптимальный план также является () -оптимальным.Доказательство. Пусть Δ = 2 − 1 . Используя представление (5.27), имеемследующее выражение для расстояния Кульбака-Лейблера из (5.1):∫︁+1log {1 + ( − 2 )} 1 () (1 ,2 ,) =1∫︁−+log {1 + ( − Δ )} () =: (Δ ,).=−Аналогично для левой части уравнения (5.10) мы можем получить следующеепредставление∫︁+1(1 ,2 ,) =−+11 () =1 + ( − 2 )∫︁().1+(−Δ)−По предположению данной теоремы существует ненулевой корень уравнения(1 ,2 ,) = 1 при всех ∈ и при всех 2 ∈ Θ2 .Обозначим этот ненулевой корень (Δ ). Также введем обозначение (Δ ) = (Δ ,(Δ )).102Заметим, что функцияℎ(,Δ ) =()1 + (Δ )( − Δ )является плотностью со средним Δ , так как функция () симметрична наинтервале и имеет нулевое среднее.
Посчитаем теперь производную функции (Δ ) по Δ :∫︁ }︀{︀ (Δ )=log 1 + (Δ )( − Δ ) ()ΔΔ −]︂∫︁ [︂(Δ )()=( − Δ ) − (Δ )Δ1 + (Δ )( − Δ )−∫︁∫︁ (Δ ) ( − Δ )ℎ(,Δ ) − (Δ )ℎ(,Δ ) = −(Δ ).=Δ−−В последней формуле первый интеграл равен нулю, так как функция ℎ(,Δ )имеет среднее, равное Δ , а второй интеграл равен единице, так как ℎ(,Δ ) —это плотность. Из леммы 4 получаем, чтоесли 1 > 2 , то Δ < 0 ⇒ (Δ ) > 0 ⇒ (Δ ) убывает,если 1 < 2 , то Δ > 0 ⇒ (Δ ) < 0 ⇒ (Δ ) возрастает.Также отметим, что из симметричности функции следует симметричностьфункции , то есть (Δ ) = (−Δ ).
Пусть[︃* =*11*......**]︃есть -оптимальный план. Определим2* = arg inf2∫︁[1 (,1 ) − 2 (,2 )]2 * ().Из теоремы эквивалентности для -оптимальных планов из работы [7] следует,что для всех ∈ выполняется соотношение|1 (,1 ) − 2 (,2* )| ≤ = |1 (*1 ,1 ) − 2 (*1 ,2* )| = · · · = |1 (* ,1 ) − 2 (* ,2* )|.103Учитывая последнее соотношение и представление (5.13) для “оптимальной”плотности 2* , при всех ∈ получаем1,2 (,1 ,2* ,1 ,2* ) = (1 (,1 ) − 2 (,2* ))= (|1 (,1 ) −2 (,2* )|)≤ () =∑︁* ()=1=∑︁* (1 (* ,1 ) − 2 (* ,2* )) =∫︁1,2 (,1 ,2* ,1 ,2* ) * ().=1Второе равенство следует из симметричности функции (Δ ), а неравенство является следствием монотонности (Δ ). По пункту (a) теоремы эквивалентности 16 из последнего неравенства следует, что план * является() -оптимальным.Похожий результат можно получить для () -оптимальных планов.Пусть 2 (,,2 ) — это плотность нормального распределения (2 (,2 ),22 (,2 )) и 1 (,,1 ) — это плотность нормального распределения (1 (,1 ),22 (,2 )).
План, доставляющий максимум величине∫︁inf2 ∈Θ2[1 (,1 ) − 2 (,2 )]2(),22 (,2 )(5.28)является -оптимальным для дискриминации между двумя плотностяминормального распределения с одинаковой функцией для дисперсии (смотриработу [9]). Следующая теорема показывает, что этот план также является() -оптимальным.Теорема 18. Пусть плотность 2 (,,2 ) — это плотность нормального распределения со средним 2 (,2 ) и дисперсией 22 (,2 ). Тогда наилучшая аппроксимация 1* (,,1 ) будет плотностью нормального распределения со средним1 (,1 ) и дисперсией 22 (,2 ) и оптимальный план, доставляющий максимумвыражению (5.28), также будет () -оптимальным. Последнее утверждение верно также и в обратную сторону.Доказательство. Для простоты обозначим1 = 1 (,1 ), 2 = 2 (,2 ), 2 = 2 (,2 ).104Из части (b) теоремы 15 следует, что1* (,,1 )[︁ { − }2]︁12exp −∝ 2 () exp(−) = √− 22222[︁ {︀ − ( − 2 )}︀2 ]︁[︁122 2 ]︁22=√exp −exp − 2 +.222222Из того, что 1* (,,1 ) — это плотность со средним 1 , получаем[︁22 2 ]︁2 − 1 ′, = exp 2 −,=222откуда следует, что 1* (,,1 ) является плотностью нормального распределениясо средним 1 и дисперсией 22 .
Теперь нетрудно увидеть, что расстояние Кульбака-Лейблера между плотностями 1* (,,1 ) и 2 (,,2 ) равно [1 − 2 ]2 /22 ,откуда получаем критерий (5.28).5.4ПримерыДля численного нахождения () - и () -оптимальных планов можно воспользоваться любым методом для -оптимальных планов, подставляя“оптимальные” функции 2* (,,2 ) и 1* (,,1 ), задаваемые соотношениями изтеоремы 15, в критерии () (,1 ) и () (,1 ), так как эти критерии сводятся к критерию -оптимальности. Эффективные алгоритмы для численногонахождения -оптимальных планов описаны в главе 4 и в работе [16]. Мыбудем использовать версию алгоритма Аткинсона–Федорова из [6], адаптированную для вычисления полу-параметрических планов, которая не являетсясамой эффективной, но достаточно проста в реализации.Пусть — некоторая заранее заданная маленькая положительная константа.
Из леммы 4 и неравенства (5.11) предлагается искать численное решениеуравнения (5.10) следующим образом:1. Если 1 (,1 ) = 2 (,2 ), то = 0;2. Если 1 (,1 ) < 2 (,2 ), то решение ищем на интервалеΛ− = [−1/(, max − 2 (,2 )), −];1053. Если 1 (,1 ) > 2 (,2 ), то решение ищем на интервалеΛ+ = [, −1/(, min − 2 (,2 ))].Аналогично может быть найдено решение уравнения (5.16).
Будем искать > 0, если 1 (,1 ) < 2 (,2 ), так как такое смещает среднее заданнойплотности 2 (,,2 ) влево. Из тех же соображений будем искать < 0, если1 (,1 ) > 2 (,2 ). Если — это достаточно маленькая положительная константа и — это достаточно большая положительная константа, мы можемпредполагать, что решение уравнения (5.16) находится в интервале [−, + ].Тогда численное решение уравнения (5.16) предлагается искать следующим образом:1.
Если 1 (,1 ) = 2 (,2 ), то = 0;2. Если 1 (,1 ) < 2 (,2 ), то решение ищем на интервале Λ+ = [+, +];3. Если 1 (,1 ) > 2 (,2 ), то решение ищем на интервале Λ− = [−, −].Теперь рассмотрим три численных примера, в которых -оптимальныепланы и полу-параметрические оптимальные планы не совпадают.5.4.1 Полу-параметрические оптимальные планы длядискриминации EMAX-модели и модели Михаэлиса–МентенРассмотрим пару моделей из работы [10]:1 (,1 ) = 1,1 +1,2 , + 1,32,1 ,2 (,2 ) = + 2,2(5.29)при ∈ [0.1,5]. Пусть параметры первой модели 1 = (1,1,1) фиксированы. Дляэтого случая найдены четыре разных типа оптимальных планов:1.
-оптимальный план,2. -оптимальный план для дискриминации двух логнормальных плотностей со средними 1 (,1 ) и 2 (,2 ) и фиксированными дисперсиями12 (,1 ) = 22 (,2 ) = 0.1 (далее просто -оптимальный план),3. () -оптимальный план для усеченной плотности логнормальногораспределения 1 (,,1 ) с параметрами 1 (,1 ) и 12 (,1 ),106Таблица 11 — -, -, () - и () -оптимальныепланы для дискриминации моделей (5.29)Тип плана*0.5080.5800.218-оптимальный0.6290.454() -оптимальный0.5310.509() -оптимальный0.611 -оптимальный2.9920.2982.8590.2602.9610.3442.9940.2735.0000.1225.0000.1115.0000.1255.0000.1162*(22.564, 14.637)(21.112, 13.436)(22.045, 14.197)(22.824, 14.857)4. () -оптимальный план для усеченной плотности логнормальногораспределения 2 (,,2 ) с параметрами 2 (,2 ) и 22 (,2 ),где[︀]︀1 (,) = log [ (,)] − log 1 + 2 (,)/2 (,) , = 1,2,2[︀]︀2 (,) = log 1 + 2 (,)/2 (,) , = 1,2.Эти усеченные плотности заданы на интервалах[︀]︀1 (0.0001,,1 ), 1 (0.9999,,1 ) , [2 (0.0001,,2 ), 2 (0.9999,,2 )]соответственно, где (,,) — это функция квантилей для обычного логнормального распределения со средним (,) и дисперсией 2 (,) = 0.1.
Заметим, что из-за усечения по краям 1 (,1 ) и 2 (,2 ) не совпадают с реальными средними плотностей 1 (,,1 ) и 2 (,,2 ), но достаточно близкик ним. В таблице 11 представлены найденные численно планы для дискриминации, оптимальные относительно четырех критериев, описанных выше, атакже “оптимальные” значения параметров 2* для второй модели, соответствующие значениям, на которых в критериях достигается минимум по 2 .
Отметим, что () -оптимальный план сосредоточен почти в тех же точках, что и -оптимальный план, но веса у него другие. На рисунке 5.2 показаны функциивлияния для всех четырех планов.В таблице 12 представлены эффективности -, -, () - и () -оптимальных планов относительно -, -, () - и () -критериев опти0.00−0.06012345012x450.00●●●−0.04−0.03−0.03−0.02sensitivity function−0.01●−0.01●б) -оптимальный.−0.020.00●3xа) -оптимальный.sensitivity function●−0.02sensitivity function−0.002−0.004●●−0.04●●●−0.006−0.008sensitivity function0.00010701234xв) () -оптимальный.5012345xг) () -оптимальный.Рисунок 5.2 — Графики функций влияния для -, -, () - и() -оптимальных планов дискриминации из таблицы 11Таблица 12 — Эффективности -, -, () - и() -оптимальных планов для дискриминациимоделей (5.29) относительно различных критериевоптимальности() ∖ () ()10.321 0.7410.8300.739 10.7960.650() 0.552 0.544 10.454() 0.876 0.254 0.6331108мальности.
Так, например, значение 0.321 в первой строке таблицы обозначаетэффективность -оптимального плана относительно критерия -оптимальности.5.4.2 Полу-параметрические оптимальные планы длядискриминации экспоненциальной модели и моделиМихаэлиса–МентенРассмотрим похожий пример с другой функцией 1 (,1 ) из работы [37].Необходимо дискриминировать модели{︀}︀1 (,1 ) = 1,1 1 − exp(−1,2 ) ,2,1 2 (,2 ) =,2,2 + (5.30)при ∈ [0.1,5].
Фиксируем параметры 1 = (1,1) первой модели (5.30). Для этого случая найдем те же типы оптимальных планов: -оптимальный, -оптимальный (для ошибок, имеющих логнормальное распределение), () -оптимальный и () -оптимальный для ошибок, имеющих усеченные логнормальные распределения. Дисперсии ошибок для случая дискриминации с помощью-критерия: 12 (,1 ) = 22 (,2 ) = 0.02, для () -критерия: 12 (,1 ) = 0.02,для () -критерия: 22 (,2 ) = 0.02. В таблице 13 представлены оптимальныепланы всех четырех видов, а также соответствующие оптимальные значениядля параметров 2* второй модели.
В таблице 14 находятся значения относительных эффективностей. В целом результаты напоминают предыдущий пример. На рисунке 5.3 показаны графики функций влияния для -, -, () и () - оптимальных планов.5.4.3Сравнение подходовВ общем случае сравнить предложенный в теореме 15 подход с изначально описанным в работе [11] не представляется возможным в связи с вычислительными сложностями, о которых говорится в конце параграфа 5.1. Алгоритмиз [11] часто не находит -оптимальный план, в частности, для моделейиз предыдущих двух примеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
