Диссертация (1149579), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поэтомудля задачи передискретизации геофизических сигналов описанный вышепреобразователь не подходит.29В главе 3 описан разработанный автором преобразователь сигнала спроизвольной и медленно меняющейся частотой дискретизации в сигнал сзаданной частотой дискретизации с сохранением динамического диапазонаисходного сигнала[120].1.2.2Операция обратной сверткиПри обработке данных цифровой регистрации компонент поля мысталкиваемся с тем, что отсчеты цифрового сигнала на выходе регистрирующейсистемы, сохраняемые в файлах данных для дальнейшей обработки, являютсясверткой напряженности ЭМ поля и импульсной функции регистратора. Приобработке данных цифровой регистрации компонент поля возникает задача ихпреобразования в напряженности компонент поля. Операция, обратная свертке,не является устойчивой, поскольку и импульсная функция регистратора, иэкспериментальные отчеты данных в принципе неточны.При решении любой обратной задачи, в том числе и интегральногоуравнения типа свертки, возникают три основных вопроса: 1) существует лирешение; 2) если решение существует, то является ли оно единственным; 3)устойчиво ли решение, т.

е. приводят ли малые изменения исходных данных кмалым изменениям решения. Если решение существует и оно единственное иустойчивое, то задача называется корректно поставленной. Понятие корректнойпостановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром [97]и долгое время считалось, что задача всегда должна удовлетворять этимтребованиям. Если задача не удовлетворяет им, то она называется некорректнопоставленной или некорректной.

Задачи восстановления геофизическихсигналов, как правило, являются некорректно поставленными, так как для нихне выполняется ни одно из вышеперечисленных условий. Для решения такойзадачи было предложено несколько подходов.Метод Фурье–разложения. Самым распространенным методом решенияинтегральных уравнений типа свертки является метод Фурье–разложения.30Если правая часть уравнения∫︁ ( − ) () = ()известна приближенно () = 0 () + , где – статистический разброс, чтовсегда имеет место при обработке экспериментальных данных, то, как следуетиз работы [18], преобразование Фурье искомого решения с приближеннойправой частью выглядит следующим образом1() = √2(︂)︂()0 ()+()() ()где () – функция фильтрации.По свойству преобразования Фурье функции () и () стремятся кнулю при → ∞, но это стремление «несогласованное», так как функция() носит случайный характер.

Поэтому отношение ()/() может неиметь обратного преобразования Фурье, и для построения решения уравнения,устойчивого к малым изменениям правой части, необходимо «подавить»влияние высоких частот с помощью функции фильтрации (), котораяподбирается в соответствии со спецификой задачи.Достоинства: не используется процедура подгонки в соответствии с критериемнаименьших квадратов; подход не требует задания априорной информации орешении.Недостатки:появлениеосцилляцийвследствиеограниченияинтервалаинтегрирования и действия функции фильтрации; необходимость выборафункции фильтрации; плохо восстанавливаются быстрые изменения сигнала.Статистическиеметоды основанынаиспользованииаприорнойинформации статистического характера о матрице, аппроксимирующейинтегральный оператор, искомом решении и ошибке экспериментальныхданных[151].Вэтихметодахинтегрального уравнения + рассматривается=дискретныйаналог и конструируется функциянеопределенности, характерным свойством которой является одновременная31неулучшаемость в определении решения и матрицы.

Например, в качествефункции неопределенности в методе Байеса используется апостериорнаяплотностьвероятности (|)векторарешенияпризаданныхэкспериментальных значениях : (|) =ДляпримененияметодаБайеса (|) () ()необходимаследующаяаприорнаяинформация:1. математическое ожидание случайного вектора равно нулю: [] = 0;2.

задана симметричная положительно определенная матрица – ковариацияошибок правой части: = [ · T ];3. заданоматематическоеожиданиевекторарешения(начальноеприближение, модельное решение, прогноз): = [];4. задана симметричная положительно определенная матрица – априорнаяковариация ошибок решения: = [( − ) · ( − )T ].Достоинства: дает решение задачи при любом уровне шумов в матрице и правойчасти, причем уровень погрешности может задаваться для каждого элементаматрицы в отдельности.Недостатки: требует наличия априорной информации об искомом решении.Метод регуляризации Тихонова.

Для того, чтобы избавиться отпроизвольных факторов и определить общие методы решения некорректнопоставленных задач академик А. Н. Тихонов предложил метод, получившийв отечественной и зарубежной литературе название «метод регуляризацииТихонова» [96; 145]. Регуляризация решения состоит в построении семействаобратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра (параметррегуляризации).Книга[96]посвященаметодампостроенияустойчивых приближенных решений для широкого класса некорректнопоставленных задач, в [145] описаны алгоритмы и приведены программыдля реализации этих методов. Здесь же описана схема поиска оптимального32значения параметра регуляризации в соответствии с обобщенным принципомневязки.Пусть сигнал на выходе измерительной системы (()) связан интегральнымуравнением типа свертки с сигналом на входе этой системы (()):∞∫︁ℎ ( − ) ( ) = ()(1.2)−∞где ℎ() – импульсная характеристика этой системы.Решение такого уравнения при помощи обратного преобразования Фурьевыглядит следующим образом:1 () =2∫︁∞ ()exp− −∞ ()где () и () есть прямые преобразования Фурье от записанного сигнала () и ℎ ().

Однако, такая функция может и не существовать, так как интегралможет быть расходящимся.В качестве приближенного решения применяется функция:1¯ () =2∫︁∞ ()exp− ¯−∞ () + Параметр ¯ выбирается методом проб и ошибок. С одной стороны, ондолжен быть достаточно мал, чтобы не внести значительные искаженияв результат, а с другой, достаточно велик, чтобы избежать «раскачки»приближенного решения на краях частотного диапазона.Пусть некоторой функции () соответствует единственное решениеуравнения (1.2) — функция (), причем известны не сама функция () иоператор , а заданные с известными погрешностями > 0, ℎ ≥ 0 такиефункции () и оператор ℎ типа свертки с ядром (), что ‖ − ¯‖ ≤, ‖ − ℎ ‖21 →2 ≤ ℎ. Как показано в [145], в качестве решения (1.2) можновыбрать функцию1 () =2∞ * () () −*2−∞ () () + ( + 1)∫︁(1.3)33доставляющую минимум сглаживающему функционалу Тихонова [] = ‖ℎ − ‖2 + ‖‖2где «* » означает комплексное сопряжение, – параметр регуляризации.Определениеоптимальногозначенияпараметрарегуляризациипроизводится по предполагающимся известными погрешностям (ℎ, ) всоответствии с обобщенным принципом невязки [145], заключающемся ввыборе в качестве параметра регуляризации положительного корня уравненияобобщенной невязки () ‖ℎ − ‖2 − ( + ℎ ‖ ‖)2 = 0(1.4)Если такой корень существует, то решение получается из (1.3) при = .Если выполнено условие () > 0 для всех > 0, то приближенное решение () = lim ().

В случае, когда ошибка превышает норму записанного→0сигнала, | | < , наилучшим приближением считается () = 0.Достоинства: наиболее универсальный метод; использует минимум априорнойинформации о решении; гладкость решения.Недостатки:необходимостьвыборапараметрарегуляризации;плоховосстанавливаются узкие пики.В результате проведенного автором сравнения описанных в литературеметодов восстановления сигнала на входе линейной системы с известнойимпульсной характеристикой из измеренного выходного сигнала регистраторапоказано, что безусловно заслуживает внимания метод регуляризацииТихонова [96], не использующий априорной информации при его применениии требующий лишь выбора параметра регуляризации. Однако, при обработкедлинной, в пределе бесконечной, последовательности данных, а такжепри работе в реальном времени, что является спецификой геофизическихизмерений, данный метод становится слишком сложно реализуемым итребующим большого количества времени для поиска решения.Следуетотметить,чтозадачаобработкиданных,стоящаяпередавтором, обладает свойствами, не учтенными в перечисленных выше34универсальных подходах.

Во-первых, для измерения скорости распространенияЭМ возмущений и отношения / требуется реконструкция компонентполя в полосе частот, которая всегда у́же максимально возможной полосычастот, обеспечиваемой регистратором. Во-вторых, как следует из главы 2,передаточная функция регистратора вs –областиможет быть представленав виде дробно-рациональной функции.

Это очень важно, так как для такойzфункции передачи можно построить фильтр в –области, позволяющий вестиобработку потоков данных.1.2.3НаМетоды подавления квазигармонических помехзаписиданныхКНЧ-ОНЧсигналов,регистрируемыхназемнойаппаратурой, существенное влияние оказывает присутствие электромагнитныхполей от линий электропередачи в окрестности 50 Гц. Гармоники такихполей могут простираться до сотен кГц и мешать обнаружению естественныхи искусственных сигналов, для регистрации которых и ведутся данныегеофизические измерения.

Удаление квазигармонических помех не должноизменять характеристик импульсных сигналов, что является достаточносложной задачей в условиях изменяющейся во времени основной частотылинии электропередачи и сильно изменяющихся характеристик различныхэнергосистем.Помехи с частотой 50 Гц и ее гармоники накладываются на естественныйшум волновода Земля-ионосферы, в котором доминируют импульсные помехи- атмосферики, на основе анализа которых сделана основная часть этой работы[19]. Типичные амплитуды атмосфериков - 1-100 пТл. Электромагнитныепомехи от линий электропередач часто могут быть значительно сильнее. ВВеликобритании [87] проводились количественные измерения магнитных иэлектрических полей для широкого ряда различных линий электропередачи нарасстоянии до 100 м.

Характеристики

Список файлов диссертации