Автореферат (1149561), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Также на основе первого приближения сделан вывод о том, чтона напряженно-деформированное состояние упругой плоскости с отверстием,близким к круговому, влияет форма этого отверстия. Распределение окружных напряжений на границе зависит как от величины малого параметра ,так и от радиуса кривизны отверстия.Методом конечных элементов при использовании пакета ANSYS построено решение близкое к найденному, методом возмущений с погрешностьюв два − три процента вплоть до значения = 0,5, что позволяет сделатьвывод о приемлемой точности метода в первом приближении для рассмотренных вариантов отверстий.В главе 3 метод возмущений, примененный для случая почти кругового отверстия, обобщен для решения более сложной и общей задачи онапряженно-деформированном состоянии в окрестности упругого включения, для которой точного аналитического решения не существует.
Достаточнохорошая точность первого приближения, которая была выявлена в главе 2,позволяет здесь для получения результатов так же, как и в задаче с почтикруговым отверстием, ограничиться рассмотрением первого приближения.Рассматривается бесконечное упругое тело с включением, форма которого мало отличается от окружности единичного радиуса. Считаем, чтопод действием нагрузки на бесконечности, тело находится в условиях плоской деформации. Таким образом, приходим к двумерной постановке краевойзадачи для упругой плоскости с почти круговым включением. Пусть матрицесоответствует область Ω1 , включению — Ω2 . Упругие свойства каждой области Ω , = 1,2, определяются коэффициентом Пуассона и модулем сдвига .
Общая граница Γ определяется тем же соотношением (1).Предполагаем, что на границе контакта двух сред Γ выполнены условия идеального сцепления+Δ () = − − + = 0, Δ () = − − = 0,(2)а на бесконечности заданы напряжения в декартовой прямоугольной системе координат 1 , 2 ( = 1 + 2 ) и угол поворота . Здесь = + , = 1 + 2 ; , — нормальное и касательное напряжения, действующиена площадке с нормалью n; 1 , 2 —компоненты вектора перемещений в си10стеме координат 1 , 2 .
В формуле (2) введены обозначения ± = lim (),→∈Γ± = lim (). Знак «–» берется при ∈ Ω1 , а «+» при ∈ Ω2 .→∈ΓСогласно работе М. А. Грекова8 , напряжения и перемещения в каждойобласти Ω ( = 1, 2) выражаются через четыре голоморфные функции Φ ()и ϒ ()[︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂)︂]︂111(, ) = Φ () + Φ () + 2 Φ () + ϒ+ −Φ′ () −2 .¯¯¯Здесь(, ) =⎧⎨ , = 1,, = −κ ,где κ = (3 − )/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, κ = 3 − 4при плоской деформации; — угол между осями t и 1 .Применяя метод возмущений границы, в каждом приближении, решение задачи сводится к двум независимым краевым задачам Римана –Гильберта. В отличие от работы H. Gao9 , где решение получено только в первом приближении, разработан алгоритм нахождения любого приближения втерминах элементарных функций. Значения для комплексных потенциаловмогут быть найдены по формулам⎩ −2 Σ () − () κ Σ (¯ −1 ) − (¯ −1 )−1Φ () =, ϒ (¯ )=, + κ + κгде Σ (), () — решения соответствующих задач Римана – Гильберта, ∈ Ω , = 3 − , = 1, 2.В главе 3 в явном виде для первого приближения приведены выражения комплексных потенциалов и формулы для напряжений на границе включения, форма которого задана по косинусоидальному закону.
Получены распределения и построены графики зависимости коэффициента концентрацииокружных напряжений вдоль границы от полярного угла для различныхупругих свойств матрицы и включения. Опираясь на результаты нулевого ипервого приближения, исследовано напряженно-деформированное состояниетела с включением в зависимости от геометрических и физических параметров в окрестности упругого включения.
Из сопоставления соответствующихграфических результатов с задачей о почти круговом отверстии сделан вы8Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2001. —192 c.9Gao H. Nearly circular shear mode cracks // Int. J. Solids Struct. — 1988. — Vol. 24, no.
2. — P. 177-193.11вод, что наличие включения снижает концентрацию напряжений в матрицепо сравнению с отверстием.В главе 4 рассматривается упругая плоскость с почти круговым отверстием нанометрового размера. Согласно обобщенному закону Лапласса —Юнга10 , граничное условие имеет вид () = + =1 −+ () ≡ () + ().ℎ Здесь , — нормальные и касательные усилия в локальной декартовойпрямоугольной системе координат , ; — радиус кривизны границы; ℎ —метрический коэффициент; — поверхностное напряжение; — внешняя нагрузка. На бесконечности заданы напряжения и угол поворота .Исследование основано на использовании соотношений объемной и поверхностной теории упругости = 0 + ( + 2 ) , 33= 0 + ( + 0 ) ,(3) = ( + 2) + , = ( + 2) + ,(4) = 2 , 33 =( + ).+(5)В равенствах (3)–(5) величина 0 — остаточное поверхностное напряжение, которое действует при отсутствии деформаций, — окружная поверхностная деформация, — окружное напряжение, и — модулиповерхностной упругости, аналогичные постоянным Ламе и , — компоненты объемной деформации в классической теории упругости.Также, для решения задачи используется условие идеального сцепления поверхности с основным материалом11 , выраженное в равенстве окружных деформаций на границе Γ () = (), ∈ Γ.С помощью комплексных потенциалов Гурса – Колосова и соотношений Мусхелишвили, решение задачи сведено в каждом приближении к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно поверхност10Греков М.
А., Язовская А. А. Эффект поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения в упругом теле с эллиптическим наноотверстием // Прикладная математика и механика. —2014. — Т. 78. № 2. — С. 249-261.11Викулина Ю. И., Греков М. А. Напряженное состояние плоской поверхности упругого тела нанометрового размера при периодическом силовом воздействии // Вестник Санкт-Петербургского университета.Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2012.
— № 4. — С. 72-80.12ного напряжения:⎛⎞ (κ + 1)⎜ 1 () +Re ⎝2 − (κ − 1)2∫︁ () − ′ () ⎟ ⎠ = (),−||=1где = ( + 2 )/2; κ = ( + 3)/( + ). Функции выражаются черезвсе предыдущие приближения.Разработан алгоритм решения интегрального уравнения для любогоприближения в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами. Вотличие от работы М. А. Грекова и А. А.
Язовской, решение построено безпривлечения конформного отображения. Рассмотрены различные формы наноотверстий близких к круговым (см. рис. 1). Выведена формула для окружного напряжения в первом приближении и продемонстрирован размерныйэффект, который проявляется в зависимости напряженного состояния границы от размера и формы наноотверстия.Также, методами компьютерного моделирования при использованиипакета конечно-элементного анализа ANSYS построена модель упругой пластины с отверстием нанометрового размера, форма которого мало отличаетсяот круговой. Проанализировано напряженное состояние пластины на границеотверстия при одноосном растяжении.
Опираясь на результаты компьютерного моделирования, сделан вывод о приемлемой точности результата в первомприближении. При сопоставлении решения задачи, полученного при помощиметода возмущений границы, с решением метода конечных элементов обнаружено, что погрешность первого приближения, для рассмотренных случаеввплоть до = 0,3, не превышает пяти процентов.
В том числе, проведеносравнение результатов в пакете ANSYS с классическим решением задачи безучета поверхностного напряжения.На рис. 2 представлены зависимости коэффициента концентрации на∞пряжений (ККН) = max /22на границе отверстия рис. 1а от радиуса∞базового кругового отверстия при одноосном растяжении 22вдоль оси 2(размерный эффект) при 0 = 0, = 0. Расчеты выполнены для различных упругих свойств поверхности при 1 = 0,1 нм (красные кривые) и при2 = −0,152 нм (зеленые кривые). Прямые линии синего цвета отвечаетклассическому решению ( = 0).13Рис.
2 — ККН на границе отверстия рис. 1a в зависимости от радиуса базовогокругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c)Таким образом, в главе 4 проанализирован эффект поверхностных напряжений, проявляющихся в нанометровом диапазоне, вследствие различияупругих свойств поверхности и основного материала. В частности:∙ с увеличением радиуса базового кругового отверстия, максимальные значения окружных напряжений на границе стремятся к классическому решению без учета поверхностного напряжения;∙с уменьшением радиуса базового отверстия для различных упругихсвойств поверхности максимальные значения окружных напряжений будутнеограниченно возрастать или убывать в зависимости от коэффициента ;∙ с увеличением отклонения границы отверстия от круговой формы, возрастает влияние поверхностного напряжения на напряженное состояние вблизиотверстия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
